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Factorización de polinomios I. Extracción de factor común

Publicado por wgs84 en Domingo, 16 enero, 2011

Factorizar un polinomio es convertirlo en producto de otros de menor o igual grado.

La extracción de factor común es la operación inversa de la propiedad distributiva $a(b+c)=ab +ac$
Si leemos está igualdad de izquierda a derecha estamos ante la propiedad distributiva. Si lo hacemos de derecha a izquierda estamos ante la “extracción de factor común”.

Una expresión algebraica esta compuesta por distintos términos separados por los signos se suma y resta. Cada término está formado por diversos “factores” .ara extraer factor común analizamos cada uno de los términos de la expresión algebraica buscando factores que se repitan en todos y cada uno de los términos

$3x^2 +3y -3z$ . En está expresión el factor “3″ se repite en todos los términos y por lo tanto lo podemos extraer fuera: $3(x^2+y-z)$ .
Hay que observar que si se aplica la propiedad distributiva se vuelve a la expresión original.

Para extraer factor común correctamente hay que fijarse en algunos aspectos:

Los números pueden descomponerse en factores: $8x^2 +4y^3 +12xy= 4(2x^2+y^3+3xy)$
Si aparece un factor común con distintos exponentes se extrae siempre el de menor exponente $7x^2 +5x^3 +9x^4= x^2(7+5x+9x^2)$
Si un término “desaparece por completo al extraer factor común se coloca un 1 o un -1 $5x^4+3x^3+x^2=x^2(5x^2+3x+1)$ $-3a^5 +8a^4 -a^3=a^3(-3a^2+8a-1)$
Se pueden sacar más de un factor $12x^2 y^3 -14xy^2 +22x^4 y^4= 2xy^2(6xy-7+11x^3 y^2)$
Los factores también pueden estar en los denominadores $\dfrac{3x^3}{8} + \dfrac{5x^4}{4} -\dfrac{x^2}{12}=\dfrac{x^2}{4} \cdot \left ( \dfrac{3x}{2}+5x^2-\dfrac{1}{3} \right )$

Ejemplos:
$\dfrac{3x^2 y^3}{5z^4} +\dfrac{6x^3 y^2}{20z^2}-\dfrac{9xy^5}{25 z^3}= \dfrac{3xy^2}{5z^2} \cdot \left ( \dfrac{y}{z^2} +\dfrac{2x^2}{4}-\dfrac{3y^3}{5z} \right )$

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Suma de radicales. Radicales semejantes

Publicado por wgs84 en Sábado, 6 noviembre, 2010

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando:

$2 \cdot \sqrt{7}, -3 \cdot \sqrt{7}$ y $15 \cdot \sqrt{7 }$

son semejantes y por lo tanto se pueden sumar:

$2 \cdot \sqrt{7} -3 \cdot \sqrt{7} + 15 \cdot \sqrt{7 }=14 \cdot \sqrt{7}$

Ejercicio 1:

$2 \cdot \sqrt{24} -5 \cdot \sqrt{54} + \sqrt{96}- 4 \cdot \sqrt{6}$

Para buscar radicales semejantes descomponemos en factores primos los radicandos y extraemos factores:

$2 \cdot \sqrt{2^3 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^3 \cdot 2} + \sqrt{2^5 \cdot 3}$
$2 \cdot \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3 \cdot 2} + \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3}$
$2 \cdot 2 \sqrt{\cdot 2 \cdot 3} -5 \cdot 3 \sqrt{ 3 \cdot 2} +2^2 \sqrt{ 2 \cdot 3}$
$4 \sqrt{2 \cdot 3} -15 \sqrt{ 3 \cdot 2} +4 \sqrt{ 2 \cdot 3}= -7 \sqrt{6}$

Ejercicio 2:

$\dfrac{1}{3} \sqrt{12} - \dfrac{2}{5} \sqrt{27} + \dfrac{1}{2} \sqrt{75}$

$\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}$
$\dfrac{1}{3} \sqrt{2^2 \cdot 3} - \dfrac{2}{5} \sqrt{3^2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{5^2 \cdot 3}$
$\dfrac{2}{3} \sqrt{3} - \dfrac{6}{5} \sqrt{3} + \dfrac{5}{2} \sqrt{ 3}= \dfrac{59}{30} \sqrt{3}$

Ejercicio 3:

$2a \sqrt{3a}- \sqrt{27a^3}+a \sqrt{12a}$

$2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^3 a^3}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}$
$2a \sqrt{3a}- \sqrt{3^2 \cdot 3 a^2 a}+a \sqrt{2^2 \cdot 3 a}$
$2a \sqrt{3a}- 3a \sqrt{3a}+2a \sqrt{3a}= a \sqrt{3a}$

Ejercicio 4:

$2 \sqrt[3]{16x^5}-x \sqrt[3]{54x^2} + \sqrt[6]{256x^10}$
$2 \sqrt[3]{2^3 \cdot 2 x^3 x^2}-x \sqrt[3]{3^3 \cdot 2 x^2} + \sqrt[6]{2^6 \cdot 2^2 x^6 x^4}$
$4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[6]{2^2 x^4}$

Simplificando el tercer radical nos queda:

$4x \sqrt[3]{2x^2}-3x \sqrt[3]{2x^2} +2x \sqrt[3]{2x^2}= 3x \sqrt[3]{2x^2}$

Ejercicio 4:

$\sqrt{\dfrac{3}{2}} +\sqrt{\dfrac{2}{3}} -\sqrt{6} +\sqrt{\dfrac{1}{6}}$

Para buscar radicales semejantes racionalizamos los denominadores

$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} +\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} -\sqrt{6} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$\dfrac{\sqrt{6}}{2} +\dfrac{\sqrt{6}}{3} -\sqrt{6} + \dfrac{\sqrt{6}}{6}=0$ .

De donde ha salido esto: $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

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LES

Publicado por wgs84 en Domingo, 17 enero, 2010

Una imagen vale más que mil palabras

Fuente: Kriptopolis

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Circunferencia y rectas tangentes

Publicado por wgs84 en Sábado, 22 agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea $(a,b)$ el centro de la circunferencia.

Pasa por ( 3,6), luego el radio será $\sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}$
Es tangente a $x+y-11=0$ , luego el radio será la distancia del centro a esa recta $\dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}$
Es tangente a $-7y+57=0$ , luego el radio será la distancia del centro a esa recta $\dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}$

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

$\dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2$ . Desarrollando nos queda:
$-b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0$
$\dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2$ .Desarrollando nos queda: $-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0$

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en $b^2$
$16ab+200b+48a^2-424a-968=0$ . Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda: $2ab+25b+6a^2-53a-121=0$ .
De aquí podemos despejar $b$ en función de $a$ y resolver el sistema por sustitución:
$b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}$ .

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
$a=-4,b=-11$ y $a=2, b=7$

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo $r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}$

Si $a=-4,b=-11$ entonces $r=\sqrt{338}$ y la ecuación será $(x+4)^2+(y+11)^2= 338$

Si $a=2, b=7$ entonces $r= \sqrt {2}$ y la circunferencia será $(x-2)^2+(y-7)^2=2$

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea $(a,b)$ el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

Si la circunferencia es tángente a $5x-12y+6=0$ entonces: $\dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2$
Si la circunferencia es tángente a $3x-4y+2=0$ entonces: $\dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2$

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

$5a-12b+6=26$
$5a-12b+6=-26$
$3a-4b+2=10$
$3a-4b+2=-10$

Las coordenadas $(a,b)$ las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

Combinando la 1 y la 3 obtenemos $a=1,b=-\dfrac{5}{4}$ y la circunferencia será: $(x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4$
Combinando la 1 y la 4 obtenemos $a=-14, b=-\dfrac{15}{2}$ y la circunferencia será: $(x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4$
Combinando la 2 y la 3 obtenemos $a=14, b=\dfrac{17}{2}$ y la circunferencia será : $(x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4$
Combinando la 2 y la 4 obtenemos $a=-1, b=\dfrac{9}{4}$ y la circunferencia será: $(x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4$

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Obama en el Cairo

Publicado por wgs84 en Viernes, 5 junio, 2009

Tenemos la capacidad de lograr el mundo que deseamos, pero sólo si tenemos el valor de emprender un nuevo comienzo, recordando lo que ha sido escrito. El Sagrado Corán nos dice: “¡Oh, hombres! Os hemos creado hombre y mujer; y os hemos hecho naciones y tribus para que os podáis conocer los unos a los otros”. El Talmud nos dice: “El conjunto de la Torá tiene la finalidad de promover la paz”. La Sagrada Biblia nos dice: “Benditos los pacificadores, porque ellos serán llamados hijos de Dios”. Todos los pueblos pueden vivir juntos en paz. Sabemos que esa es la visión de Dios. Ahora, esa debe ser nuestra tarea en la Tierra”.

Barak Obama

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Ben Harper. Un prolífico músico americano

Publicado por wgs84 en Jueves, 28 mayo, 2009

Como se acaba el curso y ya no apetecen más números aquí os pongo un video de Ben harper que ha cambiado de banda y ha sacado un bonito disco. Acabad bien el cuso y hasta septiembre

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Indeterminación infinito partido infinito en límites de funciones exponenciales

Publicado por wgs84 en Miércoles, 13 mayo, 2009

Para resolver estos límites hay que tener en cuenta estas consideraciones:

$a^{+\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} +\infty & a >1 \\ 0 & 0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.$
$a^{-\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} 0 & a >1 \\ +\infty & 0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.$

Veamos unos ejemplos
$2^{+\infty}=+\infty$
$2^{-\infty}= \dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{+\infty}=\dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-\infty}= 2^{+\infty}=+\infty$

Si la base es negativa, al quedar elevada a infinito cambiaría d esigno según fuese par o impar el exponente, por lo que no habrá límite

Pasamos al cálculo de límites

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{3x-5}{2x+3} \right )^{1-3x}$

dividimos en la base por el término de mayor grado:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \right )^{1-3x}$
Sustituimos por $+ \infty$ y no queda
$\left ( \dfrac{3}{2} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{+\infty}=0$
porque 2/3 es menor que 1
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3x^2-5x-2}{x^2-1} \right )^{\dfrac{4x-5}{2x+1}}$
Si sustituimos en base y exponente obtenemos infinito partido infinito en ambos casos. Resolvemos la indeterminación independientemente en base y exponente dividiendo en cada uno por su término de mayor grado. $x^2$ en la base y $x$ en el exponente.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3- \dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac {1}{x^2}} \right )^{\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}}$

sustituyendo nos da $3^2=9$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2x-7}{5x-3} \right )^{2x+1}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2-\dfrac{7}{x}}{5-\dfrac{3}{x}} \right )^{2x+1}$

Sustituyendo: $\left ( \dfrac{2}{5} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{5}{2} \right )^{+\infty}= +\infty$

ya que 5/2 es mayor que 1

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Problemas de sistemas (IV). Granjas y ruedas. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 5 abril, 2009

En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134 ¿Cuántos animales hay de cada clase?

Identificación de incógnitas:x es el número de gallinas. y es el número de conejos.

Planteamiento del sistema:
- “Si se cuentan las cabezas, son 50″. $x+y= 50$
- “las patas son 134″. $2x+4y= 134$
Resolución del sistema
$\left. \begin{array}{rcl} x+y=50 \\ 2x+4y= 134 \end{array} \right \}$
Lo resolvemos por sustitución:
$2x+4(50-x)=134$
$2x+200-4x= 134$
$2x= 66$
$x= 33$ gallinas y $y= 50-33= 17$ conejos
En un taller hay vehículos de 4 y de 6 ruedas. Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas ¿Cuántos vehículos hay de cada clase si en total hay 156 ruedas?

Identificación de incógnitas:x es el número de vehículos de 4 ruedas. y es el número de vehículos de 6 ruedas.

Planteamiento del sistema:
- “Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas”. $y-2=2x$
- “en total hay 156 ruedas”. $4x+6y= 156$
Resolución del sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} y=2x+2 \\ 4x+6y= 156 \end{array} \right \}$
Lo resolvemos por sustitución:
4latex 4x+6(2x+2)=156$
$4x+12x+12=156$
$16x= 144$
$x= 9$ vehículos de 4 ruedas. $y= 2\cdot 9 +2=20$ vehículos de 6 ruedas
En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de 4280 patas. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay?

Identificación de incógnitas:x es el número de cerdos. y es el número de gallinas.

Planteamiento del sistema:
- “4280 patas”. $4x+2y= 4280$
- “Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos”. $3(x-70)=y$
Resolución del sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} 4x+2y=4280 \\ y= 3x- 210 \end{array} \right \}$
Lo resolvemos por sustitución:
$4x+2(3x-210)=4280$
$4x+6x-420=4280$
$10x= 4700$
$x= 470$ cerdos y $y= 3 \cdot 470 -210= 1200$ gallinas

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Problemas de sistemas (III).Mezclas. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 5 abril, 2009

Se quieren mezclar vino de 0,65 euros con otro de 0.35 euros, de modo que resulte vino con un precio de 0,50 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

Identificación de incógnitas:
x será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.65 euros/litro. y será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.35 euros/litro.
Planteamiento del sistema
- “200 litros de la mezcla”. $x+y= 200$
- Planteamos la ecuación de mezcla( precio del primer vino por cantidad del primer vino más precio del segundo vino por precio del segundo vino igual a precio de la mezcla por cantidad de mezcla). $0,65x+0.35y=200 \cdot 0.5$
Resolución del sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} x+y= 200 \\ 0,65x+0.35y=100 \end{array} \right \}$
Lo resolvemos por sustitución:
$y= 200 -x$
$0.65x+0.35(200-x)= 100$
$0.65x +70-0.35x= 100$
$0.3x= 30$
$x= 100$ litros del primer vino y $y= 200-100=100$ litros del segundo vino.