Ecuaciones trigonométricas 1

Marzo 2007
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Publicado por wgs84 en Viernes, 2 Marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

Ejemplo 1: $\sin x + \cos x = 1$

Elevamos al cuadrado ambos lados y obtenemos:

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1$

Usando la formula fundamental de la trigonometría:

$2 \sin x \cos x = 0$

$\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k$

$\cos x = 0 \rightarrow \dfrac{\pi}{2} + \pi k$

Ejemplo 2: $\sec x = \sin x + \cos x$

$\sec^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x$

$\sec^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\sec^2 - 1 = 2 \sin x \cos x$

$\tan^2 x = 2 \sin x \cos x$

$\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 2 \sin x \cos x$

$\sin^2 x = 2 \sin x \cos^3 x$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos^3 x = 0$

$\sin x (\sin x - 2 \cos^3 x) = 0$

$\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k$

$\sin x - 2 \cos^3 x = 0$

$\sin x = 2 \cos^3 x$

$\dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos^2 x$

$\tan x = \dfrac{2}{\sec^2 x}$

$\tan x = \dfrac{2}{1 + \tan^2 x}$

$\tan x + \tan^3 x = 2$

Si $\tan x = t$

$t^3 + t - 2 = 0$

$(t - 1) (t^2 + t + 2) = 0$

Como el segundo polinomio es primo la única solución es

$t = 1 = \tan x \rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$

Como hemos elevado al cuadrado puede que se hayan introducidon soluciones erroneas lo que no obliga a comoprobarlas:

Si x = 0 $\sec 0 = \sin 0 + \cos 0 \rightarrow 1 = 1 + 0$ es correcta

Si x= $\dfrac{\pi}{4}$

Si x= $\dfrac{\pi}{4}$ tenemos que:

$\sec \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \sqrt{2} = \sqrt{2}$ y también es válida

Esta entrada fue publicada el Viernes, 2 Marzo, 2007 a 18:46 y está archivada en Matemáticas, Trigonometría. Puedes seguir los comentarios a esta entrada a través de RSS 2.0 feed. Puedes deja un comentario, o trackback desde tu propio sitio.

28 comentarios para “Ecuaciones trigonométricas 1”

Joaquín escribió

Jueves, 8 Marzo, 2007 a 11:28
Las ecuaciones trigonométricas son una de las partes de las matemáticas que más me han gustado siempre, bonita entrada ^^
axuu escribió

Lunes, 3 Septiembre, 2007 a 20:31
Heyy me podrias explicarr.. no entiendo nada :S.. suerte con laas matematicass..
Q ANDES DE PELOS!
BYE

axUUU!!
Jorge escribió

Martes, 11 Septiembre, 2007 a 16:50
La verdad que no entiendo una mierda…
vivi escribió

Domingo, 7 Octubre, 2007 a 20:11
Neccesito ayuda para rendir mi examen de algebra, la verdad es ke no entiendo casi nada. Gracias Bye!
andres el + hemoxo escribió

Martes, 9 Octubre, 2007 a 17:30
no entiendo nada pero nada porfa una ayudita grax xaito
andres el + hemoxo escribió

Martes, 9 Octubre, 2007 a 17:31
la verdad yo tampoko entiendo aasi ke not puedo ayudar t kiero nunk lo olvides
ANGIE escribió

Domingo, 21 Octubre, 2007 a 23:40
DETESTOOOOOOOOO LA TRIGONOMETRIA POR DIOS QUIEN NOS CASTIGO CON ESTO MUY DESOCUPADO EL Q SE PUSO A INVENTAR ESTA PORQUERIA
brayan s. escribió

Martes, 23 Octubre, 2007 a 21:56
no entiendo nada por favor ayudeme con las malditas ecuaciones trigonometricas
Ana escribió

Viernes, 16 Noviembre, 2007 a 0:45
Fantastica pagina, me gusta explicacion. Rasa no es tan dificil!!!!!!!!!!!!!!!!!!Bye
fredd escribió

Viernes, 16 Noviembre, 2007 a 20:49
a principio me parecio dificil ……pero ahora es como resolver una suma…
pero aun necesito ayuda…
gracias por la ayuda…..
T-Rod escribió

Martes, 27 Noviembre, 2007 a 2:16
Buen Post.. Ahora seria bueno k yo lo entendiera pues tngo problemas con estas ecuaciones en el cole.. Alguien podria ayudarme por el messenger si es posible asi hay mas entendimiento… Por Favor?
aliiCiia escribió

Martes, 27 Noviembre, 2007 a 16:28
si te doy una ecuacion trigonometrica k e tenido en un examen…me la resolverias?¿?¿
wgs84 escribió

Martes, 27 Noviembre, 2007 a 18:33
Escribela
kike escribió

Domingo, 30 Diciembre, 2007 a 3:25
aqui lo basico es manejar la identidad pitagorica.. este es el punto de partida para entender este maravilloso y fascinante mundo de las ecuaciones trigonometricas claro no esta de mas manejar bien las restricciones en la C.T..
jimmy escribió

Sábado, 5 Enero, 2008 a 19:40
no entiendo por favor alguien que me ayude tengo un examen y no se nada porfa una ayudita con este tema
gracias…
carlos manuel escribió

Jueves, 17 Enero, 2008 a 3:46
soy profesor de matematicas e imparto todos los niveles
para dominar dichas ecuaciones se necesita primero dominar las identidades trigonometicas, las funciones pitagoricas y los reciprocos de la razones trigonometricas, lo demas consiste en sustituir las razones hasta que todas tengan la misma razon trigonometrica luego se factorizan como si fueran ecuaciones cuadraticas o se despejan como ecuaciones lineales que vieron de algebra y por ultimo encuentran el angulo despejando la razon trigonometrica en foma inversa ya sea con calculadora cientifica o con la tabla matematica
babosita escribió

Sábado, 22 Marzo, 2008 a 15:38
esto no lo entiendo que hallo?
Diego escribió

Lunes, 31 Marzo, 2008 a 15:58
De la solución dada no se deduce la x=0 (ningún valor de K lo genera). Utilizando las fórmulas de tg(x/2) para reemplazar los términos de la ecuación original se llega a w(w^2+2w-1)=0 de donde se deduce que

alpha=2n.PI
y alpha=n+PI/4

Sin elevaciones al cuadrado.
wgs84 escribió

Lunes, 31 Marzo, 2008 a 16:32
Cero si que es una solución que se obtiene algunos pasos antes(linea 9). Compruebalo. Respecto a la forma de resolver la ecuación sólo indicarte que es una entrada para alumnos de 4º ESO. Eso quiere decir que no saben ni que exiten la formulas trigonométricas del ángulo mitad, ni las fórmulas de adición no nada de eso. Saben las fórmulas derivadas de $\sin^2x+ \cos^2x=1$ . Se les enseñan 2 o 3 técnicas:

-transformación en ecuación algebraica de segundo o primer grado
-elevando al cuadrado a ambos lados, factorizando

Esta ecuación es difícil para ellos. En otra entrada posterior se resuleve de otra manera.
sasu escribió

Miércoles, 9 Abril, 2008 a 17:16
necesito saber cundo me dan un triángulo rectángulo y me da averiguar hipotenusa y los demás en que me tengo que basar para hacerlo. y tambien con otros dibujos geométricos
emiliano escribió

Jueves, 17 Abril, 2008 a 19:12
necesito saber como realizar este ejercicio entes del lunes gracias

encontrar los valores de x que satisfacen la ecuacion, en [0;2pi]

2cos^2x-senx=1
dnares escribió

Lunes, 26 Mayo, 2008 a 0:46
me puedes explicar las ecuaciones trgonometricas???
noni escribió

Lunes, 2 Junio, 2008 a 0:13
las ecuaciones trigonometricas son faciles , solo requieren de habilidad matematicas:P:P
himerx escribió

Jueves, 9 Octubre, 2008 a 18:39
mm claro q son faciles, pero no todas las ecuaciones trigonometricas se pueden resolver aplicando identidades
diego escribió

Jueves, 6 Noviembre, 2008 a 23:25
este tema es muy dificil, nooooooooo, voy a perder trigo este periodo k mentiras ok grcias de toas formas por os ejempos
shorbhy escribió

Sábado, 25 Julio, 2009 a 17:31
ps yo menos que entiendo seeparen eso
ROBERTH escribió

Viernes, 30 Octubre, 2009 a 17:07
jummmm oe a lo bn no explicas nada solo colocaste el ejercicio y la solucion
el pran escribió

Lunes, 16 Noviembre, 2009 a 3:00
oye papi gracias por esa mielda de detalle y q dios lo bendiga se les quiere llevateloooooooooooooooooooooo yess bayy

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