El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Propiedades de los números combinatorios

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007

Propiedades de los números combinatorios:

  1. \dbinom{m}{0}= \dfrac{m!}{0!(m-0)!}=1
  2. \dbinom{m}{m}=\dfrac{m!}{m!(m-m)!}=1
  3. \dbinom{m}{1}=m

    \dfrac{m!}{1!(m-1)!}=\dfrac{m(m-1)!}{(m-1)!}=m

  4. Números combinatorios complementarios: \dbinom{m}{n}=\dbinom{m}{m-n}

    \dbinom{m}{m-n}= \dfrac{m!}{(m-n)! [m-(m-n)]!}=

    \dfrac{m!}{(m-n)!n!}=\dbinom{m}{n}

  5. Formula de Stifel: \dbinom{m}{n}+\dbinom{m}{n+1}=\dbinom{m+1}{n+1}

    \dfrac{m!}{n!(m-n)!}+\dfrac{m!}{(n+1)!(m-n-1)!}

    “rebajamos” los factoriales mayores:

    (n+1)!=(n+1)n!
    (m-n)!=(m-n)(m-n-1)!

    \dfrac{m!}{n!(m-n)(m-n-1)!}+\dfrac{m!}{(n+1)n!(m-n-1)!}

    Sacamos factor común:

    \dfrac{m!}{n!(m-n-1)!} \left  (\dfrac{1}{m-n}+\dfrac{1}{n+1} \right )

    sumando las fracciones entre paréntesis:

    \dfrac{m!}{n!(m-n-1)!} \dfrac{m+1}{(m-n)(n+1)}

    \dfrac{(m+1)m!}{(n+1)n!(m-n)(m-n-1)!}=\dfrac{(m+1)!}{(n+1)!(m-n)!}

    Sumamos y restamos 1 en (m-n)!
    y nos queda \left [m+1-(n+1) \right ]!

    \dfrac{(m+1)!}{(n+1)![m+1-(n+1)]!}= \dbinom{m+1}{n+1}

Con estás propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el triángulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con números combinatorios

tartaglia1tartaglia2

Hasta otra :-P

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3 comentarios hacia “Propiedades de los números combinatorios”

  1. ESO ESTA BASADO EN EL TRIANGULO DE PASCAL.

    ESTA ES LA FORMULA CENSILLA DE ENCONTRAR NUMEROS TETRAEDRICOS DEL TRIANGULO DE PASCAL.

    n(n-1(n-2)/2)/3

    EJEMPLO:8(8-1(8-2)/2)/3=56
    9(9-1(9-2)/2)/3=84
    10(10-1(10-2)/2)/3=120 …

  2. walmac escribió

    Muchas muchas gracias por el desarrollo de la formula de Stifel! me estaba costando mucho la verdad!

  3. Eliass Aibar escribió

    QUE BIENN

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