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Ecuación de la recta en el plano (I)

Publicado por wgs84 en Lunes, 30 Abril, 2007

La ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma: $(x, y)= (x_0,y_0)+t(V_x,V_y)$ con t un número real.

$(x_0,y_0)$ es un punto de la recta (A) y $(V_x,V_y)$ un vector director de la recta. Estos dos elementos forman la determinación lineal de la recta, es decir, que para representar un a recta de forma analítica los necesitaremos impepinablemente.

Una aclaración antes de continuar. Vector director significa que tiene la misma dirección que la recta a la que determina. Para aclararnos bien en este tema tenemos que saber extraer el punto y el vector director de cada una de las formas de la ecuación de la recta,

Para pasar a la forma paramétrica simplemente hay que convertir la anterior ecuación vectorial en dos ecuaciones algebraicas:

$x= x_0+t \cdot V_x$

$y= y_0+t \cdot V_y$

Ecuación continua

Para obtener la ecuación continua de la recta despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones paramétricas e igualamoslos resultados:

$\dfrac{x-x_0}{V_x}=\dfrac{y-y_o}{V_y}$

Ecuación punto-pendiente

¿Que es la pendiente de un de una recta?

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX. Ese mismo ángulo es el que forma el vector director de la recta y, a partir de sus componentes obtenemos una expresión para la pendiente (m):

$m= \dfrac{V_y}{V_x}$

Para encontrar la forma de la ecuación punto-pendiente unicamente hay que pasar $V_y$ multiplicando al primer miembro en la ecuación continua:

$\dfrac{V_y}{V_x} \left ( x-x_0 \right ) = y- y_0$

Por lo que la ecacuón queda:

$y-y_o= m (x-x_0)$

Ecuación General (implicita)

La ecuación general de la recta tiene la siguinete forma: $Ax+By+C=0$

Vamoa a averiguar el significado geométrico de los coeficientes a partir de la ecuación continua de la recta.

Multiplicando en cruz y llevandolo todo a una lado obtenemos:

$V_yx-V_xy+V_xy_0-V_yx_0=0$

Comparando las dos ecuaciones vemos que :

$A=V_y$
$B=-V_x$

Por lo que el vector director de la recta será (-B, A) y la pendiente m= -A/B

Ecuación explicita

Se obtiene despejando y de la ecuación general o de la punto-pendiente y tiene la forma:

$y=mx+n$

$y=mx -mx_0+y_0$ (punto-pendiente)

$y= \dfrac{-A}{B}x-\dfrac{C}{B}$ (general)

donde m es la pendiente (vector) y n la ordenada en el origen (punto donde la recta corta al eje OY, valor de y para x=0)

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Binomio de Newton 3

Publicado por wgs84 en Lunes, 2 Abril, 2007

Doy la solución al desarrollo propuesto la semana pasada: $\left ( \dfrac{2x}{3}+ \dfrac{9}{2x^2} \right )^4$

Recordando que $9= 3^2$ y que $4= 2^2$ tenemos que:

$\dbinom{4}{0} \dfrac{2^4 x^4}{3^4}+\dbinom{4}{1}\dfrac{2^3 x^3}{3^3}\dfrac{3^2}{2x^2}+\dbinom{4}{2} \dfrac{2^2 x^2}{3^2}\dfrac{3^4}{2^2 x^4}+\dbinom{4}{3}\dfrac{2x}{3}\dfrac{3^6}{2^3 x^6}+\dbinom{4}{4}\dfrac{3^8}{2^4 x^8}=$

$\dfrac{2^4 x^4}{3^4}+\dfrac{2^5 x^3}{3^3}\dfrac{3^2}{2x^2}+\dfrac{2^3 x^2}{3^2}\dfrac{3^5}{2^2 x^4}+\dfrac{2^3 x}{3}\dfrac{3^6}{2^3 x^6}+\dfrac{3^8}{2^4 x^8}=$