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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Ecuación de la recta en el plano (I)

Posted by wgs84 en Lunes, 30 abril, 2007

La ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma: (x, y)= (x_0,y_0)+t(V_x,V_y) con t un número real.

ret11.gif

(x_0,y_0) es un punto de la recta (A) y (V_x,V_y) un vector director de la recta. Estos dos elementos forman la determinación lineal de la recta, es decir, que para representar un a recta de forma analítica los necesitaremos impepinablemente.

Una aclaración antes de continuar. Vector director significa que tiene la misma dirección que la recta a la que determina. Para aclararnos bien en este tema tenemos que saber extraer el punto y el vector director de cada una de las formas de la ecuación de la recta,

Para pasar a la forma paramétrica simplemente hay que convertir la anterior ecuación vectorial en dos ecuaciones algebraicas:

x= x_0+t \cdot V_x

y= y_0+t \cdot V_y

Ecuación continua

Para obtener la ecuación continua de la recta despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones paramétricas e igualamoslos resultados:

\dfrac{x-x_0}{V_x}=\dfrac{y-y_o}{V_y}

Ecuación punto-pendiente

¿Que es la pendiente de un de una recta?

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX. Ese mismo ángulo es el que forma el vector director de la recta y, a partir de sus componentes obtenemos una expresión para la pendiente (m):

m= \dfrac{V_y}{V_x}

Para encontrar la forma de la ecuación punto-pendiente unicamente hay que pasar V_y multiplicando al primer miembro en la ecuación continua:

\dfrac{V_y}{V_x} \left ( x-x_0 \right ) = y- y_0

Por lo que la ecacuón queda:

y-y_o= m (x-x_0)

 

Ecuación General (implicita)

La ecuación general de la recta tiene la siguinete forma: Ax+By+C=0

Vamoa a averiguar el significado geométrico de los coeficientes a partir de la ecuación continua de la recta.

Multiplicando en cruz y llevandolo todo a una lado obtenemos:

V_yx-V_xy+V_xy_0-V_yx_0=0

Comparando las dos ecuaciones vemos que :

  • A=V_y
  • B=-V_x

Por lo que el vector director de la recta será (-B, A) y la pendiente m= -A/B

Ecuación explicita

Se obtiene despejando y de la ecuación general o de la punto-pendiente y tiene la forma:

y=mx+n

y=mx -mx_0+y_0 (punto-pendiente)

y= \dfrac{-A}{B}x-\dfrac{C}{B} (general)

donde m es la pendiente (vector) y n la ordenada en el origen (punto donde la recta corta al eje OY, valor de y para x=0)

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10 comentarios to “Ecuación de la recta en el plano (I)”

  1. guadalupe iveth said

    Quiero resolver este problema:
    Una recta pasa por los puntos M(3, y) y N (-4,5) y tiene pendiente igual a -1.Obtenga el valor de y.

  2. wgs84 said

    Si la recta pasa por M y N su vector director será (-4-3, 5-y)=(-7, 5-y).

    Por definición de pendiente tendremos que:
    \dfrac{5-y}{-7}=-1
    y dre ahí ya 5-y=7; y=-2

  3. airun said

    como se sabe la ecuacion continua,parametrica y vectorial a partir de la ecuacion general?

  4. wgs84 said

    En la ecuación general de la recta Ax+By+c=0 el vector director es (-B, A). Para averiguar un punto le das un valor cualquiera a x y despejas y.
    Ejemplo: 3x-2y+4=0
    El vector director será (2, 3). Para sacar un punto le damos un valor a x, por ejemplo x=0 y despejamos y:
    3 \cdot 0 -2y+4=0
    4=2y
    y=2
    El punto es (0, 2)
    A partir de ahí ya es fácil
    Continua: \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-2}{3}
    Vectorial: (x,y)=(0,2)+ (2, 3)t
    Sacar las paramétricas es ya trivial

  5. bueno este deben de ser mas
    explicitos en todo poner mas ejemplos
    de como hacerlos

  6. victoria said

    Me parece extraordinario el contenido de esta pagina, es muy claro, conciso y precis. Realmente los felicito

  7. hans said

    creo q deberian poner menos teoria y mas practica

  8. Fultless said

    Super que genial que haya este tipo de paginas, me quitaron un gran dolor de cabeza :P

  9. Reiciouck said

    We appreciate you the helpful post! I’d do not have found this or else!

  10. Ajg12 said

    Muchas gracias Ed, eres el mejor. Todo muy claro

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