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Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (I)

Publicado por wgs84 en Martes, 1 Mayo, 2007

1) Obtén todas las formas de la recta que pasa por A(3, 4) con vector director (-1, 3)

Vectorial : $(x, y)=(3,4)+ t\cdot(-1, 3)$ con t un número real

Paramétricas: Operando obtenemos $( x, y)= (3-t, 4+3t)$

Contínua: Despejando t de las dos paramétricas e igualando obtenemos $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-4}{3}$

Punto-pendiente: la pendiente será $m=\dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{3}{-1}$ y la ecuación quedara $y-4=-3(x-3)$

Ecuación general o implícita: ee obtiene llegando a la forma $Ax+By+C=0$ desde la forma contínua o desde la punto-pendiente. Así pues: $y-4=-3x+9$ y de ahí $3x+y-13=0$

Ecuación explícita: basta despejar la y de la continua, la genmeral o la punto-pendiente $y= -3x+13$

2) La ecuación de una recta es:

$x= -2t$

$y= 3+5t$

Obtén su determinación lineal, su ordenada en el origen y su ecuación punto-pendiente

La ecuación está en forma paramétrica. Las componentes del vector director son los coeficientes del parametro t por lo que será $(-2, 5)$ y el punto $A=(0, 3)$

La pendiente $m=\dfrac{V_y}{V_x}=-\dfrac{5}{2}$

La ecuación punto-pendiente $y-3=-\dfrac{5}{2}(x-0)$

Para obtner la ordenada en el origen (punto de corte con el eje OY) sustituyo 0 en la ecuación anterior o obtengo la forma explicita:

$y= -\dfrac{5}{2} +3$

Así, la ordenada en el origen es 3. El punto $(0, 3)$

3)Una recta tiene como ecuación general $2x -y-7=0$ . Obtener sus ecuaciones paramétricas

Necesitamos un punto de la recta y un vector director:

Como en la ecuación general el vector es (-B, A) -> (1, 2)
Para obtener un punto le damos un valor cualquiera a x y despejamos y. Si $x=0$ entonces $-y-7=0$ y $y= -7$

Las paramétricas serán:

$x= t$

$y= -7+2t$

4) Obtén la determinación lineal de la recta $y= -2x +\dfrac{1}{2}$

La recta está en forma implicita por lo que el coeficiente de las x es la pendiente $m= -2= \dfrac{V_y}{V_x}$ . De los infinitos vectores de pendiente -2 elegimos uno, por ejemplo (1, -2) Nos serviría cualquiera con tal de que su pendiente fuera -2.