Mayo 2007
L	M	X	J	V	S	D
« Abr		Sep »
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Archivo de 2/05/07

Ecuación de la recta en el plano (II)

Publicado por wgs84 en Miércoles, 2 Mayo, 2007

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Se trata de una recta que pasa por el punto $A(x_a, y_a)$ y por el punto $B (x_b, y_b)$ . Como vetor director cogeremos el vector $AB (x_b - x_a, y_b - y_a)$ y como punto cualquiera de los dos, el A o el B. En forma contínua quedará:

$\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a}= \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}$

La ecuación de la recta que pasa por $A(5,4)$ y $B (-3,1)$ será:

En forma contínua $\dfrac{x-5}{5+3}=\dfrac{y-4}{4-1}$ ,

y en general $3x-8y+17=0$

Ecuaciones de los ejes de coordenadas

Determinación lineal del eje OX: punto $(0, 0)$ y vector director $(1,0)$ Utilizando la forma punto-pendiente la ecuación será $y-0=0(x-0)$ -> $y=0$

Determinación lineal del eje OY: punto $(0,0)$ y vector director $(0, 1)$

Utilizando la forma continua $\dfrac{x-0}{0}=\dfrac{y-0}{1}$ . Multiplicando en cruz tenemos que $x=0$

Puntos de corte con los Ejes

Corte Eje OX: en este punto la coordenada y es cero . Para calcular la x , sustituimos la y por cero en la ecuación de la recta y despejamos la x.

Corte Eje OY: en este punto la coordenada x es cero . Para calcular la y , sustituimos la x por cero en la ecuación de la recta y despejamos la y.

Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la recta $2x-y+3=0$

Eje OX: $y=0$ -> $2x+3=0$ -> $x=-\dfrac{3}{2}$ . El punto es $\left (-\dfrac{3}{2}, 0 \right )$

Eje OY: $x=0$ -> $-y+3=0$ -> $y=3$ . El punto es $(0, 3)$

Ecuación canónica o segmentaria

Se trata de obtener la ecuación de la recta a partir de sus puntos de corte con los ejes. Sea $(a, 0)$ el corte con el eje OX y $(0, b)$ el corte con el eje OY.

El vector director de la recta será $( a-0, 0-b)=(a, -b )$ y la ecuación en forma contínua será

$\dfrac{x-a}{a}=\dfrac{y-0}{-b}$

que la podemos escribir así:

$\dfrac{x}{a}-1=-\dfrac{y}{b}$

y finalmente:

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

Condición de paralelismo entre rectas

Aunque matizaremos esto más adelante cuando hablemos de incidencia de rectas valga como adelanto.

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son paralelos, es decir, cuando sus componentes sean proporcionales $\dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{W_y}{W_x}$ . Así, las rectas

$x-2y+5=0$

$2x-4y+8=0$

son paralelas porque sus vetores (2, 1) y (4, 2) respectivamente tienen las componentes proporcionales $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}$ .

Un enunciado equivalente es decir que dos rectas son paralelas cuando tiene identicas pendientes. Por ejemplo, las rectas $y= -3x+1$ y $y+\dfrac{1}{2}=-3(x-5)$ son paralelas