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Archivo de 3/05/07

Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):

Comprobar que es isósceles
Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

$| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4$

Es isósceles $| \overrightarrow {AB}|= | \overrightarrow {BC}|$

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector $\overrightarrow {AC}= (4, 0)$ . La pendiente que determina es $m= \dfrac{0}{4}=0$

La pendiente de la perpendicular será infinito $\dfrac{1}{0} =\infty$

La recta será $y-5= \dfrac{1}{0}(x-5)$ es decir $x= 5$

Recta que pasa por A y C: $\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0}$ es decir $y= 1$

El punto de corte será $(5, 1)$

El punto medio del segmento AC será:

$x=\dfrac{7+3}{2}=5$

$y=\dfrac{1+1}{2}=1$

Punto medio del segmento AB

$x=\dfrac{5+3}{2}=4$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Punto medio del segmento CB

$x=\dfrac{7+5}{2}=6$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Vector que los une $(6-4, 3-3)=(2, 0)$ . Su pendiente es $\dfrac{0}{2}=0$

Vector $\overrightarrow {AC}= (4,0)$ . Su pendiente $\dfrac{0}{4}=0$

Son paralelos

Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: $(3,1)$ . Pendiente $m=\dfrac{1}{3}$ . La recta perpendicular tendrá de pendiente $m_p=-3$ . Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si $y=0$ entonces $x= -5$ . $P(-5, 0)$

La recta será $y+5=-3(x-0)$ ; $y= -3x-5$

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución $x-3(-3x-5)-2=0$ Resolviendo hallamos que $x=\dfrac{17}{7}$

La coordenada y será $y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}$

3)La distancia buscada es $|\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}$

Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r $(2, 1)$ . Pendiente $m= \dfrac{1}{2}$ . La pendiente de la perpendicular $m_p=-2$

La recta será: $y+2=-2(x-3)$ ; $y= -2x+4$

2) Punto de corte Q de la recta $y= -2x+4$ con r

Por sustitución $x-2(-2x+4)+33=0$ . Resolviendo tenemos que $x= -5$ . Y la coordenada $y= -2 \cdot (-5)+4=14$ . Así pues $Q= (-5, 14)$

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

$-5=\dfrac{x_p+3}{2}$ y la x de P valdrá $x_p=-7$

$14=\dfrac{y_p-2}{2}$ y la y de P valdrá $y_p=30$

Por cierto ya he activado la posibilidad de hacer comentarios sin tener que darse de alta en wordpress e identificarse

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Posicones relativas de dos rectas en el plano

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dos rectas

$r\equiv Ax+By+C=0$

$s\equiv A'x+B'y+C'=0$

Pueden ser coincidentes:

En este caso como se trata de dos rectas iguales se cumplirá que $\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}$

Pueden ser paralelas :

En este caso los vectores directores serán proporcionales pero no compartiran ningún punto. Se cumplirá que:

$\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}$

Por último las rectas pueden ser secantes :

En este caso los vectores directores no son paralelos: $\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}$

El punto de intersección se calcula resolviendo el sistema formado por las dos rectas ya que es un punto que pertenece a las dos rectas (condición de pertenecia) y por lo tanto satisfará las ecuaciones de ambas

Estudia la posición relativa de las rectas r: 5x-3y+2=0 y s:2x+y+3= 0

$\dfrac{5}{-3}\neq\dfrac{2}{1}$ son secantes

Para obener el punto de corte resolvemos el sistema. Reducción r+3s

$5x-3y+2=0$

$6x+3y+9=0$

————————-

$11x =11$

$x=1$ .

Sustiyo en s-> $2+3y+3=0$

$y =-\dfrac{5}{2}$

El punto de corte es $\left (1, -\dfrac{ 5}{2} \right )$

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Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (II)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0

Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo $x=0$ tenemos que $-2y+4=0$ y por lo tanto $y=2$ . Nuestro punto es $(0, 2)$

Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es $(5, 1)$ , que también será vector director de la recta que buscamos.

$x= 5t$

$y= 2+t$

Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)

Punto: $x=\dfrac{5+3}{2}=4$ , $y=\dfrac{-2-6}{2}= -4$ $(4, -4)$

Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ $(-5-2, -3-1) =(-7, -4)$

Por lo tanto sus pendientes seran inversas y con el signo cambiado. Si $m= \dfrac{4}{7}$ , la pendiente de la recta que buscamos será $-\dfrac{7}{4}$

En forma punto-pendiente la recta incognita será: $y-4=-\dfrac{7}{4} (x+4)$

Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución: $7x+4y+12=0$

Obten la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectangulo de ctatetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso $b=3$ .Entonces $3a=6$ y $a= 2$ .

Utilizando la forma segmentaria la ecuación de la recta es $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1$

Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0

El vector director se s es (2, 3), y su pendiente $m_s=\dfrac{3}{2}$ .