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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 mayo, 2007

  • Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):
  1. Comprobar que es isósceles
  2. Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
  3. Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

1)

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4

Es isósceles | \overrightarrow {AB}|=  | \overrightarrow {BC}|

2)

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector \overrightarrow {AC}= (4, 0) . La pendiente que determina es m= \dfrac{0}{4}=0

La pendiente de la perpendicular será infinito \dfrac{1}{0} =\infty

La recta será y-5= \dfrac{1}{0}(x-5) es decir x= 5

Recta que pasa por A y C: \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0} es decir y= 1

El punto de corte será (5, 1)

El punto medio del segmento AC será:

x=\dfrac{7+3}{2}=5

y=\dfrac{1+1}{2}=1

3)

Punto medio del segmento AB

x=\dfrac{5+3}{2}=4

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Punto medio del segmento CB

x=\dfrac{7+5}{2}=6

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Vector que los une (6-4, 3-3)=(2, 0). Su pendiente es \dfrac{0}{2}=0

Vector \overrightarrow {AC}= (4,0). Su pendiente \dfrac{0}{4}=0

Son paralelos

  • Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: (3,1). Pendiente m=\dfrac{1}{3}. La recta perpendicular tendrá de pendiente m_p=-3. Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si y=0 entonces x= -5. P(-5, 0)

La recta será y+5=-3(x-0); y= -3x-5

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución x-3(-3x-5)-2=0 Resolviendo hallamos quex=\dfrac{17}{7}

La coordenada y será y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}

3)La distancia buscada es |\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}

  • Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r (2, 1). Pendiente m= \dfrac{1}{2}. La pendiente de la perpendicular m_p=-2

La recta será: y+2=-2(x-3); y= -2x+4

2) Punto de corte Q de la recta y= -2x+4 con r

Por sustitución x-2(-2x+4)+33=0 . Resolviendo tenemos que x= -5 . Y la coordenada y= -2 \cdot (-5)+4=14. Así pues Q= (-5, 14)

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

-5=\dfrac{x_p+3}{2} y la x de P valdrá x_p=-7

14=\dfrac{y_p-2}{2} y la y de P valdrá y_p=30

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25 comentarios hacia “Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)”

  1. Jorge Brunete escribió

    Hola Edmundo!
    No te apures, no tengo ninguna duda (en realidad si, pero te las reservo para clase). Solo decirte que es una gran idea la del blog y que viene muy bien.
    Xao.

  2. susy escribió

    nme lleva la madre no se nada de sto

  3. diego alvarado escribió

    calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (2,4)(6,7) y su centro pasa por la recta 2x+y=7

  4. wgs84 escribió

    Respuesta a Diego Alvarado: Bonito problema
    Si el centro pertenece a la recta 2x+y=7 sus coordenadas las podremos escribir así: (x, 7-2x)

    La distancia del centro a los dos puntos perimetrales (2, 4) y (6, 7) será la misma, el radio de la circunferencia.

    \sqrt{(x-2)^2+(7-2x-4)^2}= \sqrt{(x-6)^2+(7-2x-7)^2}
    Resolviendo está ecuación obtenemos la coordenada x del centro x= -\dfrac{23}{4}

    Sustituyendo en la ecuación 2x+y= 7 obtendremos la coordenada y. y= \dfrac{37}{2}

    Con el centro y una de los puntos perimetrales calculamos el radio r=\sqrt{(2+\dfrac{23}{4})^2+(4-\dfrac{37}{2})^2}= \dfrac{5 \sqrt{173}}{4}

    Con estos datos la ecuación de la circunferencia será:
    (x-2)^2+(y-4)^2= \dfrac{4325}{16}

  5. irving escribió

    como se saca la cuña de una esfera

  6. Mega Man escribió

    Chale’s de plano no entiendo nada de esto >_<, pero algun dia he de hacerlo ja ja ja XD

  7. Luis Iván escribió

    Hola!

    quisiera ver si me podrian ayudar con unos problemas de “circunferencia”. se agradeceria de mucho su ayuda

    1.-Hallar la ecuacion de la circunferencia de diametro el segmento que une los puntos (-3,5) y (7,-3)

    2.-Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (8,-2) (6,2) y (3,-7)

    3.-Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa (1,-4) y (5,2) y tiene su centro en la recta X-2Y+9=0

    4.-Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a las rectas X-3Y+9=0 y 3X+Y-3=0 y tenga su centro en la recta 7X+12Y-32=0

    5.-Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos de interseccion de las circunferencias X2+Y2+6X+2Y+4=0 y X2+Y2+2X-4Y-6=0 y cuyo centro esta en la recta Y=X

    6.-Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a la recta 4X+3Y-50=0 y 3X-4Y-25=0 y cuyo radio sea igual a 5

    Se agradeceria su ayuda

  8. constanza escribió

    hola soy constanza a mi me gustan mucho las matematicas voy en 7 y queria saber si me podian mandar ejercicios a mi mail. para realizarlos

  9. Alex escribió

    hola quiciera saber si mepueden ayudar con este ejercicio encontrar la ecuacion de la circunferencia Tangente al eje y, pasa por el punto P(7, 9) y tiene su centro sobre la recta x – y + 1 = 0.
    gracias

  10. wgs84 escribió

    Si el centro de la circunferencia está en la recta x-y+1 ese centro tendrá una corrdenadas de la forma C(y-1, y)
    El radio de esa circunferencia sera igual a:

    -La distancia del centro al eje OY. Es decir, la coordenada x del centro-> y-1
    -La distnacia del centro al punto P (7, 9)

    De está igualdad sale la ecuación que nos resolverá el problema:

    \sqrt{(y-1-7)^2+ (y-9)^2}= y-1
    y^2-16y+64+y^2-18y+81=y^2-2y+1
    y^2-32y +144=0
    La resolvemos y obtenemos dos de soluciones para el centro:
    y= 16-4\sqrt{7} \rightarrow  x=15-4\sqrt{7}
    y= 16+4\sqrt{7}  \rightarrow x= 15+4\sqrt{7}

    El radio de cada una será la coordenada x de sus respectivos centro
    1)(x-15+4\sqrt{7})^2+(y-16+4\sqrt{7})^2=(15-4\sqrt{7})^2
    2)(x-15-4\sqrt{7})^2+(y-16-4\sqrt{7})^2=(15+4\sqrt{7})^2

  11. JOSE escribió

    este es un ejercicio de charles h. lehmann pero no se el procedimiento
    hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (6,8); (8,0) y cuyo centro esta sobre la recta 3x+7y+2=0
    agradeceria mucho que alguien me explique el procedimiento porque los que se no me dan los resultados como los que tiene el libro estoy fallo y raspado.

  12. wgs84 escribió

    Tienes resuelto un problema igual en los comentarios 4 y 5

  13. páola escribió

    hola ..saben loa problemas m parecen muy interesantes-.????pero me gustaria q publiken mas ejercicios resueltos…. xfa gracias

  14. sonia escribió

    hola quisiera saber si me podrían ayudar con este problema:
    hallar la recta que corta a las rectas r: X/2=(Y-2)/-3=(Z-1)/3 y a s: x+2y+2=0;2y+z-5=0, y pasa (la recta que las corta) por el punto A(-2,0,-7)

    gracias

  15. JESICA escribió

    quiero informacion y resolver ejerciçios de refoerzamiento sobre segmentos lo que es la linea recta
    hallar A+B+C+D ESO ES LOQ UE N ENTIENDO

  16. cinthia escribió

    qisiera qe este mas detallado

  17. tania escribió

    ocupo 5 ejercicios resueltos con todos los pasos, del punto medio
    porfavor!!!!!!!!!!!!!!!! :)

  18. CRIZXTAL escribió

    plase

    ALGUIN QUE ME AYUDE ESCRIBIENDO LA FORMULA DE

    PUNTO-PUNTO

    GRACIAS

    Y GENIAL PAGINA SIP

  19. enelda escribió

    Resuelvan problemas como por ejemplo Encuentra las coordenadas de los vertices del triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son P(4,-5), Q(5,2), R(3,-2)

  20. misao_O escribió

    1.- si dos vertices de un triangulo equilatero son (-4,3) y (0,0) encontrar el tercer vertice
    2.- encontar una ecuacion que deba sastisfacer las coordenadas de cualquier punto cuya distancia al punto (5,3)es siempre 2 unidades mas garnde que su distancia al punto (-4,-2)

    porfis lo necesito de urgencia ALGUIEN QUE ME AYUDE

  21. wgs84 escribió

    El número 1 aquí

    El número 2 aquí

  22. Luis Metal Murder escribió

    Hola mucho gusta
    sta bn bna la page eehh, solo mes para agradecerte por ayudarme a encontrar problemas ya hechos para entrtegar en mi school grax a vos e logrado tener una bn calif grax x toodo y suerte chida tu page

  23. lucero escribió

    hola mucho :
    me gusta mucho las matematicas pero me falta mucho aprender asienque queria preguntar si dan alguna clase de lecciones pa poder practicar mas .o talves mas ejerccios resueltos.

  24. devorador_7 escribió

    no le entendi

  25. Jhonatan escribió

    Creo que debo agradecer al autor y a la persona que ha hecho
    y a la que ha resuelto estos ejercicios me han sido de gran ayuda para un trabajo y para mis propios estudios …. así que gracias

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