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Límites 0/0 en funciones irracionales

Publicado por wgs84 en Sábado, 26 Mayo, 2007

Método de resolución:

  1. Se multiplica y divide por el conjugado de la/s expresión/es irracionales (binomios)
  2. factorización (si es necesaría)
  3. simplificación

1) \displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ \sqrt{x+1}-1}{x}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}}= \displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}}=\dfrac{1}{2}

2) \displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

Factorizamos y multiplicamos por la expresión conjugada del binomio irracional

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! Mucho cuidado al realizar el producto de expresiones conjugadas:

(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})= 3^2-(\sqrt{x+2})^2=9-(x+2)=9-x-2=7-x

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{7-x}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! con b-a= -(a-b) a la hora de simplificar

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-(x-7)}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-1}{(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}=-\dfrac{1}{36}

3) \displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}}
Multiplicamos y dividimos por las expresiones conjugadas del numerador y del denominador:

\displaystyle {\lim_{x \to 1} \dfrac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})(\sqrt{x+8}+3)}{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{x+3})}}

Teniendo muy encuenta los ¡OJOS! anteriores no queda:

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{(1-x)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(\sqrt{x+8}+3)}{(2+\sqrt{x+3})}}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}

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