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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Producto y cociente radicales

Posted by wgs84 en Miércoles, 26 septiembre, 2007

El producto de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al producto de los radicandos factores:

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Multiplicando las dos expresiones tenemos que:

q^n \cdot p^n=A \cdot B

 

(q\cdot p)^n=A \cdot B

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ (q\cdot p)^n}=\sqrt[n]{A \cdot B}

 

q\cdot p=\sqrt[n]{A \cdot B}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B} c.q.d

El cociente de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al cociente de los radicandos factores:

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Divdiendo las dos expresiones tenemos que:

\dfrac{q^n}{ p^n}=\dfrac{A}{B}

 

\left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n=\dfrac{A}{B}

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ \left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n}=\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

 

\dfrac{q}{ p} =\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}} c.q.d

 

Ejemplos :

  • \sqrt[3]{3x^2 y^3}  \cdot \sqrt{xy} \cdot \sqrt[4]{9 x^3 y^2}

1. Primero ponemos los radicales en índice común.También descompondremos en factores primos los coeficientes que aparezcan: 9= 3^2

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12}} \cdot \sqrt[12]{x^6 y^6} \cdot \sqrt[12]{3^6 x^9 y^6}

2. Realizamos el producto

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12} x^6 y^6 3^6 x^9 y^6}

3. Agrupamos factores mediante las propiedades de la potencias a^n \cdot a^m = a^{m+n}

\sqrt[12]{3^{10} x^{23} y^{24}}

  • \left ( \sqrt{ \dfrac{a}{2b}} \div \sqrt[3]{ \dfrac{b}{4a^2}} \right ) \cdot \sqrt[4]{\dfrac{2b}{a}}

Sacamos índice común y realizamos el cociente entre paréntesis y luego el producto:

\left ( \sqrt[12]{\dfrac{a^6}{2^6 b^6} \div \dfrac{b^4}{2^8 a^8}} \right ) \cdot \sqrt[12]{\dfrac{2^3 b^3}{a^3}}= \sqrt[12]{\dfrac{2^8 a^{14}}{2^6 b^{10}} \cdot \dfrac{2^3 b^3}{a^3}}=\sqrt[12]{\dfrac{2^5 a^{11}}{b^7}}

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16 comentarios to “Producto y cociente radicales”

  1. RBN said

    QUERIA VR ZI ME PUEDEN CONTEZTAR UN EJERZIZIO Q EZ IMPOZIBLE PARA MI JAJAJA

  2. andrea said

    no entiendo muy bien el ultimo ejercicio

  3. sebastian said

    chebere pero no entendi el ulti mo ejercicio

  4. karol andrea said

    heeee no entendi ni un pelo de los dos penultimos ejercicio pero los demas estubieron …..

  5. ue es dificil jeje

  6. es facllicimo
    lo que yo quiero es racionalizacion de radicale no eso
    que es para un analfabeto
    jej

  7. Keeisi said

    Noo entiendO nah nah :( !

  8. claudia said

    aww no entiendo estoo0 ke mal y ke difisil =/
    me desesperi y kiro0llorarr hahahahahaha kemal

  9. por q la matematica tiene q ser tan dificil..!!! :( lastima mañana tengo examen i no entendi nada de nada :( :(:(:(:(:'( xuso voi a fracasar ese examen :'( :'( :(

  10. Diego Gonzalez said

    Gracias; Por la ayuda… Espero sacar la materia…….

  11. jesica guzman said

    por k tiene k ser tan dificil

  12. anderson said

    garcias por su colaboracion me sirvio mucho

  13. Jeremias said

    no entendi…

  14. Jeremias said

    todo esta bien, pero no entendi el ultimo ejercicio…. jejejeje

  15. anderson said

    q desgracia de pagina no sirve para nada

  16. anderson said

    jajajaja mentira gracias

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