Abril 2008
L	M	X	J	V	S	D
« Mar		May »
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Archivos para Abril, 2008

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Publicado por wgs84 en Sábado, 12 Abril, 2008

$\left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x-2y+3z & = & 13 \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}$

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
$x=4-y-z$

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
$\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}$
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
$z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}$
$27+9y=14-4y$
$13 y = -13$
$y=-1$
$z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3$
Sustituimos los dos valores obtenidos en $x= 4-y-z$
$x= 4+1-3=2$

Publicado en Algebra elemental, Matemáticas, Sistemas de ecuaciones algebraicos | Sin Comentarios »

Racionalización de denominadores

Publicado por wgs84 en Sábado, 5 Abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

Un sólo radical de índice dos en el denominador

Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}$
Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
$\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}$
Veamos algunos ejemplos más:
- $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}$
- $\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}$ . Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
Con un radical de índice cualquiera en el denominador

$\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$
- $\dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{x}$ . Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
- $\dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}$ . Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
- Ejercicio propuesto: $\dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}$
Racionalización de binomios irracionales de índice 2

binomios irracionales de índice 2: $1-\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}+7$ , $\sqrt{7} -\sqrt{5}$
La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones $a+b$ y $a-b$ son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

$\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
$\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)$
- $\dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2+\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2+\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2+\sqrt{10}}{3}$
- $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}$