El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Racionalización de denominadores

Posted by wgs84 en Sábado, 5 abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

  1. Un sólo radical de índice dos en el denominador

    Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
    \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}
    Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
    \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}
    Veamos algunos ejemplos más:

    • \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}
    • \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}
    • \dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}. Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
  2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador

    \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}
    • \dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{x}. Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
    • \dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}. Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
    • Ejercicio propuesto: \dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}
  3. Racionalización de binomios irracionales de índice 2

    binomios irracionales de índice 2: 1-\sqrt{2}, \sqrt{5}+7, \sqrt{7} -\sqrt{5}
    La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones a+b y a-b son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

    \dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
    Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
    \dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)
    • \dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2-\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2-\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2-\sqrt{10}}{3}
    • \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}
    • \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

      Y ya estamos en un caso con un binomio

      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
      \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

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104 comentarios to “Racionalización de denominadores”

  1. noe said

    buena onda compa
    me ahorraste un resto de trabajo
    mis respetos
    att noe noe noe noe

  2. Alexis said

    Gracias Ed!

  3. rosana said

    no encontre lo que necesitava que desepcion

  4. Guillermo said

    GRACIAS!!!!
    ME RE-SIRVIÓ LA TEORIA. SOS UN CAPO GRACIAS ED

  5. Coni said

    Un genio verdaderamente… estaba traumada con este tema… Lo hiciste muy simple!!!!

  6. Diana said

    Necesito resolver el siguiente ejercicio:
    ____2____
    ³√2x²y

  7. wgs84 said

    \dfrac{2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} }{\sqrt[3]{2 x^2 y} \sqrt[3]{2^2 x y^2}}=
    \dfrac {2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} } {\sqrt[3]{2^3 x^3 y^3}}=\dfrac {2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} }{2xy}=
    \dfrac {\sqrt[3]{2^2 x y^2} }{xy}

  8. Diana said

    Muchas Gracias por tu ayuda!

    Este tema me tiene muy confundida!

  9. yadira said

    ___x___
    2-√(x+4)

    ____2___
    √(x-2)

    en los dos problemas la raiz abarca lo que esta entre parentesis

  10. wgs84 said

    \dfrac{x(2 + \sqrt{x+4})}{(2+\sqrt{x+4})(2-\sqrt{x+4})}=\dfrac{x(2+ \sqrt{x+4})}{4-(x+4)}=\dfrac{x(2+ \sqrt{x+4})}{-x}=-2- \sqrt{x+4}
    ————-
    \dfrac{2 \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} \sqrt{x-2}}=\dfrac{2 \sqrt{x-2}}{x-2}

  11. Yadira said

    Ok muchas gracias por ahi te voy a estar molestando,,.,. jijiji

  12. lety said

    hola este tema casi no le entiendo pero gracias por tu ayuda chido………..

  13. inecuacion said

    De paaana que han salvado con esto. Busque en 2155132 libros de matematica y no lograba entender!

    Grx!

  14. luryin said

    que bien me ayudaron con mi trabajo

  15. keila said

    no lo encontre que pena

  16. jonathan said

    creo que le falta profundisarse mas en el tema

  17. Ignacio said

    Muchas gracias, siempre viene bien este tipo de cosas. Saludos!

  18. fauxto said

    Terrible de fácil no hay porque complicarse ▄”6•lGS65•6~32s65♦6Î8dT4V4é6╩¼L87.8•68J68•86♦.»86•68•68•68
    XD

  19. javi said

    la verdad no entiendo nada, =(

  20. eitolo said

    el segundo ejercicio de “Con un radical de índice cualquiera en el denominador” está malo, por vafor corrinjanlo porque enves de ayudar a a confundir a muchos. el resultado real es raiz cuadrada de (5x^3)/x

  21. wgs84 said

    Me parece que estas equivocado

  22. dario said

    muy bueno e interesante. podrias haberte ahorrado el paso en algunos casos y haber puesto drectamente que se elevaba a la 2 pero igual muy bien. me sirvio bastante y mucho mejor de lo que explica mi profe XD

  23. mari said

    muchas gracias..me fue mui util!!

  24. Hernan said

    Que pasa si en el denominador hay trinomios?

  25. sami said

    hola los quiero miuchiiiiiiis

  26. GABRIELA said

    Hola
    Sacame de una duda, con el 2°ejercicio de ejemplo en Racionalización de binomios irracionales de índice 2,
    en el numerador tenés Raiz de 2 por ( raiz de 2 menos raiz de 5)
    lo que nos lleva en el siguiente paso a raiz de 2 al cuadrado y… aqui viene la duda por que decis que es MAS y no MENOS raiz de 10?
    que regla o propiedad me estoy olvidando?
    DESDE YA GRACIAS!!

    ERA UN ERROR MIO (ED)

  27. wgs84 said

    \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

    Y ya estamos en un caso con un binomio

    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
    \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

  28. wgs84 said

    Era un error, ya está corregido y gracias

  29. jhonatan gonazalez said

    este tema es muy dificil y necesito mas teorias sobre el tema por favo att: danilo

  30. mishel said

    tambien qiero saber el proceso de cuando hay 3y4 sumandos que son radicales

  31. shirley said

    ????????????’

  32. Santiago said

    daaaa … deberias usar numeros en las explicacionos.. yo entiendo mas…

  33. magolin said

    parce sos una bestia me ahorraste full consulta se te agradece sos una maquina y los que digan lo contrario tan locos

  34. Maariinaa :D said

    MuuChaas graciias :)
    pero buscaba otra cosa :S
    de todos modos me ha servido un poco :)
    Graciaas..!! :D

  35. ale said

    bue… ta bien

    pero ya sabia eso

    buscaba algo mas avanzado

    pero esta bn

    gracias…

  36. Joa said

    Gracias me re ayudo…..

  37. ABJ said

    BUENO DE TODA MANERA NO ENTIENDO NA……….ESO DE MATEMATICA NO QUIEN LO CREO

  38. Joseph said

    Exelente

  39. Joseph said

    Muy buena página

  40. melisa said

    no me sirvio para nada se supone que eso es racionalizar denominadores no me ayudo en nada con mi tarea

  41. Angel said

    Gracias me ayudo en mi trabajo de racionalizacion

  42. jozhep said

    gaxiasss me sirvioo muxooo esaaa bainaa

  43. la verdad que lo agadesco mucho pues esto porque me lo hizo todo mas facil de entender thank you……..

  44. lucila santana said

    no entiendo ni papa tener mas teoria

  45. marcela said

    gracias……… super didactico, me encanto,

  46. Wena Men, Esta Super Resumido, lo has hecho mas simPle . Mis ResPeTozZ…!!!

  47. Oe Men como Te digo … esta Chevere Y super Entendible :D :). Te agradescon MuXo … MIs ResPeTosS :O :O …Gracias :P !!!

  48. emanuel said

    ME RR AYUDÓ PARA MI EVALUACION DE MATEMATICAS. TE FELICITO POR TU TRABAJO. GRACIASSS!!!!

  49. maria candia said

    la verdad muy bueno nos sirvio de mucho…

  50. tati said

    graciaaaaaaaaaaas me salvaste espero rendir bien mañana :D

  51. Rodrigo said

    Muy util che,, graxx porq me sirvio de muchoo,, mañana tengo examen y no entendia nada..!

  52. rodrigo said

    no entiendo! u.u jum!

  53. yeison said

    no pues gracias de verda eso es una ayuda que nos sirve mucho

  54. robert said

    hola ed, deseaba hacerte una consulta sobre el ejemplo que has hecho cuando en el denominador hay mas de dos raices.La teoria dice que se debe multiplicar por el conjugado del denominador y queria saber cuando tenes mas de tres o mas terminos , a quien le cambias el signo??? siempre al ultimo termino??? Gracias..

  55. wgs84 said

    No tiene por qué ser siempre el último término así pero una buena opción

  56. Prof. José Yovany Cañar said

    buenos ejercicios

  57. russel said

    buena

  58. diana said

    me parece que falta profundizacion no es buena l explicacion

  59. shark said

    le falta mas profundizacion

  60. Noelia said

    Muy buena explicación pero falta profundizar más aún,cUando en el denominador hay más de un término racionaL,CON ÍNDICES MAYORES A DOS…

  61. hola la verdad muy buena explicacion xq la loka de matematik ni ella se entiende jejejej

  62. irene said

    en menos de un minuto lo comprendi, es justo lo que buscaba, muy bien explicado. gracias! un diez

  63. gabriela said

    garcias,me sirvio muchisimo,saludos desde san rafael, mendoza, argentina!!

  64. ariel said

    muchas gracias, me sirvió mucho.
    me gustaria tener un compañero como vos en el banco de a lado jaja..

  65. jaki said

    no entedi un choto por ke no explicas mejor paso a pasooooo

  66. Armando said

    Thanks very good. A good work! Please needs more information. Give me more please. Congratulations.

  67. J.J said

    NO VPAE NO ENCONTRE NAITA PERO GRACIAS POR EL INTENTO:-/ :* :D :8)

  68. edgar said

    tema divertido me ofienden estos problemas

  69. nicolas said

    grasias amigo me ayudaste muchisimo esta muy bien redactado

  70. mica said

    me re sirvio muchas grasias !!!!!!!!! :)

  71. taty ariza oviedo said

    esta muy buena la pagina gracias me saco muchas dudas

  72. Joakox said

    Gracias, me soluciono muchas dudas =)!

  73. joaquin said

    Muchas gracias, siempre viene bien este tipo de cosas. Saludos!

  74. yuli said

    no encontre lo que queria gracias x nada

  75. nicolas said

    No entiendooooooooooooo un chotoooooooooooooooooooooo

  76. Cinthia said

    de los 3 casos.. el segundo realmente no lo entiendo.. no se de donde salen los indices y exponentes en el radical del numerador, alguien me puede ayudar?? =( waaa.. y el 3ro me mato pero creo que no necesito saberlo fiuuu jeje

  77. Cinthia said

    hay mas que estos 3 casos??

  78. Cinthia said

    estoy re densa.. pero un poquitito mas de teoria en los pasos me hubiera venido al pelo xD jeje… gracias igual me sirve =)… voy a estar esperando que alguien me ayude AAAAAAAAAA jaja

  79. esta complicado pai

  80. ariel said

    buenisiimoo, q buena onda !

  81. maiker sanchez said

    graxiias..” Hermano!!

  82. martin said

    no encontre lo que buscaba que desepcion

  83. william said

    me ayudo mucho

  84. horacio,profe recien recibido said

    ME PARECE QUE FALTA EL CASO,DONDE EL DIVISOR,ES UNA SUMA O DIFERENCIA DE RAICES CUADRATICAS. ESTA BUENO EL ARTUCULO. AH,Y EL CASO DONDE UN RADICAL DE INDICE CUALQUIERA EN EL DENOMINADOR,HUBO UN ERROR,EN UN EJERCICIO,A MI MANERA DE RESOLVER. GRACIAS,ES UTIL EL MATERIAL

  85. horacio,profe recien recibido said

    perdon,no dije nada!!!!!!!!

  86. Anto said

    Gracias por todo! Me sirvio de mucho :)

  87. no encontre lo que buscaba

  88. no encontre lo que estaba buscando

  89. Si te fijas en “2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador”, das 3 ejemplos. El segundo ejemplo esta mal al final, porque multiplicas el numerador por la raiz de indice 5, con x elevado al cuadrado(2), y es elevado al cubo(3), como lo multiplicas debajo correctamente.
    Otra consulta, soy programador, y veo q usas algun plugin para generar imagenes con fracciones, raices y exponentes. Me podrias decir q usas? seguramente algun plugin para wordpress no?.

  90. wgs84 said

    Gracias. Es un plugin de Latex propio de wordpress

  91. GRACIAS AHORA PUEDO ESTUDIAR Y ALIMENTAR A MI FAMILIA !!!

  92. kervin jose viera leon said

    gracias me ayudo bastante en mi tarea

  93. lola said

    no encontré lo necesitaba

  94. Prinnzeziiita said

    aaawww graziiazz me haziia faltaaa

  95. gracias

  96. me ayudo mucho aser my deber

  97. enzo said

    gracia me sirvio

  98. rofoch said

    ta bueno

  99. jasmin said

    gracias por la ayuda, me sirvio bastante

  100. katerinne said

    gracias me sirvio de mucha ayuda……. para la clase de matematicas que tengo esta semana….
    y ps estamos viendo recionalizacion y lo que acabo de ver en esta pagina me ayuda demaciado

  101. adrian said

    ni idea

  102. nancy said

    gracias :)

  103. mariia said

    no encontre lo q queriia.. :P

  104. JAZMIN RAMIRES said

    ES DIVERTIDO JUGAR CON LA RASONALIZACION X Q ME ENSEÑA MUCHO

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