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Circunferencias tangentes

Posted by wgs84 en Jueves, 1 mayo, 2008

  1. Demostrar que las circunferencias C1:x^2+y^2-3x-6y+10=0 y C2: x^2+y^2-5=0 son tangentes.
  2. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo centro esta sobre la recta 3x+y+5=0.
  3. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo radio es 20
  4. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común tangente a la recta x-2y-1=0

Para analizar la posición relativa de dos circunferencias hay que resolver el sistema no lineal que forman. Si el sistema tiene dos soluciones las circunferencias son secantes, si sólo existe una solución serán tangentes y , por último si el sistema no tiene solución las circunferencias son exteriores

Para resolver el sistema restamos las ecuaciones de las circunferencias para obtener una ecuación lineal para poder aplicar el método de sustitución

x^2+y^2-3x-6y+10- (x^2-y^2-5)=0
-3x-6y+15=0 simplificando x+2y-5=0 \rightarrow x=5-2y
Ahora resolvemos por sustitución el sistema:
\left. \begin{array}{rcl}     x=5-2y   \\ x^2+y^2+5=0 \end{array} \right\}
(5-2y)^2+y^2-5=0
25-20y+4y^2+y^2-5=0
5y^2-20y^2+20=0 \rightarrow y^2-4y+4=0 \rightarrow (y-2)^2=0
Cuya única solución es y= 2 .
El valor de x será x= 5-4=1. El punto de tangencia es (1, 2).

(2)La circunferencia que buscamos en el apartado 2 del problema tendrá el siguiente aspecto:
x^2+y^2+Cx+Dy+E=0. Tenemos tres incógnitas
Si (a, b) son las coordenadas del centro se cumple que a= - \dfrac{C}{2} y b=-\dfrac{D}{2}.
Si el centro está en la recta 3x+y+5=0 \rightarrow y= -5-3x El centro (a, b) cumple dicha ecuación y tenemos que:
-\dfrac{D}{2}=-5-3 \cdot \left ( -\dfrac{C}{2} \right )
de donde obtenemos nuestra primera ecuación: D= 10-3C

La segunda ecuación la obtenemos del hecho que el punto (1,2) pertenece a nuestra circunferencia. Sustituimos los valores en la ecuación y: C+2D+E=-5.

La tercera ecuación es más compleja de obtener.
Si las tres circunferencias tienen el mismo punto de tangencia compraten la misma recta tangente.
Utilizando la circunferencia C2 vamos a calcularla.
El punto es (1,2) y la pendiente la obtenemos derivando x^2+y^2-5=0
2x+2yy'=0. Despejamos la derivada y nos queda y'=\dfrac{-x}{y}. Sustituimos para el punto (1,2) y obtenemos una pendiente de -\dfrac{1}{2}.
La ecuacíon de la recta tangente (usando la forma punto pendiente) será: y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1). Si despejamos la x: x= 5-2y.

La intersección de esta recta con nuestra circunferencia objetivo x^2+y^2+Cx+Dy+E=0 tendrá como solución un único punto. Como al resolver el sistema obtendremos una ecuación de segundo grado (sustituimos x=5-2y, en la ecuación cuadrática)le impondremos a esa ecuación la condición de que tenga una única solución (solución doble dice la teroía).
Para que una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 tenga una solución doble se ha de cumplir que b^2-4ac=0. Procedamos:

Sustituyo x= 5-2y en x^2+y^2+Cx+Dy+E=0:
(5-2y)^2+y^2+C(5-2y)+Dy+E=0
Desarrollo: 25-20y+4y^2+y^2+5C-2Cy+Dy+E=0
Agrupo y formo la ecuación de 2º grado: 5y^2 +(D-2C-20)y+E+5C+25=0
Imponemos la condión de solución doble y tenemos la tercera ecuación:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0

Resolvemos el sistema no lineal de tres ecuaciones por sustitución.
.
Sustituimos la primera D=10-3C en la segunda y obtenemos:
E= 5C-25
Luego sustituimos las dos en la tercera:
(10-3C-2C-20)^2-20(5C-25+5C+25)=0
(-5C-10)^2-200C=0
(C+2)^2-8C=0
C^2-4C+4=0 \rightarrow (C-2)^2=0
C=2 y luego D=4 y E= -15
la circunferencia buscada es: x^2+y^2+2x+4y-15=0
(3) Para resolver el apartado 3 nos sirve la ecuación que deriva del hecho de que la circunferencia que buscamos x^2+y^2+Cx+Dy+E=0 pasa por el punto (1,2):
C+2D+E=-5

Si el radio es 20, y sabiendo que el coeficiente el término independiente de la circunferencia es E=a^2+b^2-r^2, con (a, b) las coordenadas del centro y r el radio. tendremos que nuestra segunda ecuación será:
E=\dfrac{C}{4}+\dfrac{D}{4}-400

La misma ecuación se puede obtener diciendo que la distancia entre el centro y el punto (1,2) es igual al radio.

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y desarrolando obtenemos la ecuación:
(*) C^2+D^2+4C+8D-1580=0
Para la tercera ecuación volveremos a utiloizar la condición que la circunferencia incógnita es tangenta a las circunferencias C1 y C2. La ecuación resultante de esto ya lo calculamos en el apartado 2 y es:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0

Sustituimos la primera ecuación: (D-2C-20)^2-20(-C-2D-5+5C+25)=0
Desarrollamos: 4C^2-4CD+D^2=0
Como es un cuadradp perfecto: (2C-D)^2=0
2C-D=0
(**) D=2C.

Sustituimos esta expresión en (*)C^2+D^2+4C+8D-1580=0,agrupamos términos, simpliifcamos y obtenemos la ecuación :
C^2+4C-316=0
cuyas soluciones son:
C=-8 \sqrt{5}-2 y C=8 \sqrt{5}-2. Dos soluciones para C significa que habrá dos circunferencias que cumplan las condiciones establecidas.
Los valores de D serán (**)
D=-16 \sqrt{5}-4 y D=16 \sqrt{5}-4
Los valores de E: =-5-2D-C
E=5+40 \sqrt{5} y E=5- 40 \sqrt{5}

(4)Veamos el apartado cuatro:
La recta x=2y-1 es tangente a la circunferencia incógnita x^2+y^2+Cx+Dy+E=0.
Sustituimos la ecuación lineal en la circunferencia e impondremos la condión de solución doble a la ecuación de segundo grado resultante:
(2y+1)^2+y^2+C(2y+1)+Dy+E=0
5y^2+y(4+2C+D)+1+C+E=0
Imponemos la condicón b^2-40c=0:
(4+2c+d)^2-20(1+C+E)
-20E+D^2+4CD+8D+4C^2-4C-4 Primera ecuación
Las otras ecuaciones son de apartados anteriores:
La circunferencia pasa por (1,2): E=-2-C-2D
la circunferencia es tangente en (1,2) a las otras dos:
(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=-20E+D^2-4CD-40D+4C^2-20C-100

Sustiuimos la segunda ecuación(lineal) en la otras dos (cuadráticas): y obtenemos:
D^2+4CD+48D+4C^2+16C+96=0 (*)
D^2-4CD+4C^2=(D-2C)^2=0 \rightarrow D= 2C (**)

Sustituyo D=2C en (*): 16C^2+112C+96=0 \rightarrow C^2+7C+6=0
y obtenemos como soluciones:
C=-6 y C=-1
Calcula mos las otras varibles:
D= -12 y C=-2
E=25 y E=0

Vamos a comprobar si las soluciones son circunferencias.

  1. 1ª: las coordenadas del centro son (-3, -6). Por lo tanto 13= 25+36-r^2 \rightarrow r=\sqrt{61} es circunferencia. El punto de tangencia será (5, 2)
  2. las coordenadas del centro son (-1/2,-1). Por lo tanto 0=\dfrac{1}{4}+1-r^2 \rightarrow r=\sqrt{\dfrac{5}{4}} es circunferencia.El punto de tangencia será (1,0)
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6 comentarios to “Circunferencias tangentes”

  1. dionisio said

    hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje x y pasa por las intersecciones de las circunferencias C1: x2+y2-8x-6y+17=0 y C2: x2+y2-18x-4y+67=0

  2. dionisio said

    Hallar las nuevas coordenadas del punto (3,-4) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 30°

  3. dionisio said

    Hallar la transformada de la ecuación dada al girar los ejes coordenados un ángulo igual al indicado:

    2x+5y-3=0; arc tg 2.5

  4. dionisio said

    Por rotación de ejes coordenados, transformar la ecuación x+2y-2=0 en otra que carezca del termino en y´.

  5. dionisio said

    Demostrar que las circunferencias C1:x2+y2+2x8y+13=0 y C2: 4×2+4y2-40x+8y+79=0 no se cortan.

  6. rodrigo said

    Gracias a tu post sobre cincunferencias tangentes resolvi mi problemita, es sencillo pero es es un buen ejercicio

    Explica porque las circunferencias x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0 latex y x^2 + y^2 + 4x + 6y - 23 = 0 latex son tangentes y cual es su punto de tangencia.

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