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Archivos para Mayo 3rd, 2008

Problemas sobre la determinación de la ecuación de una circunferencia

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008

Calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (2,4)(6,7) y su centro pasa por la recta 2x+y=7

Si el centro pertenece a la recta 2x+y=7 sus coordenadas las podremos escribir así: (x, 7-2x)

La distancia del centro a los dos puntos perimetrales (2, 4) y (6, 7) será la misma, el radio de la circunferencia.

$\sqrt{(x-2)^2+(7-2x-4)^2}= \sqrt{(x-6)^2+(7-2x-7)^2}$
Resolviendo está ecuación obtenemos la coordenada x del centro $x= -\dfrac{23}{4}$

Sustituyendo en la ecuación 2x+y= 7 obtendremos la coordenada y. $y= \dfrac{37}{2}$

Con el centro y una de los puntos perimetrales calculamos el radio $r=\sqrt{(2+\dfrac{23}{4})^2+(4-\dfrac{37}{2})^2}= \dfrac{5 \sqrt{173}}{4}$

Con estos datos la ecuación de la circunferencia será:
$(x-2)^2+(y-4)^2= \dfrac{4325}{16}$

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Un problema interesante sobre un rectángulo.

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008

Determine el area y las coordenadas de los vertices de le rectangulo si se sabe que:

su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas

una de las diagonales esta sobre la recta de ecuacion 3y=4x y tiene una longitud de 10 unidades.

uno de los lados esta contenido en una recta de pendiente -2

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será $(x_A , y_A)$ y el otro $(x_B , y_B)$ .

Como el punto media es 0:
$\dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B$ (1)
$\dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B$ (2)

La longitud de la diagonal es 10:
$\sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10$
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
$4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25$

Como una diagonal está sobre la recta $y= \dfrac{4x}{3}$
$x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3$
Si $x= 3 \rightarrow y= 4$
Si $x= -3 \rightarrow y= -4$
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: $r_1:y-4=-2(x-3)$
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: $r_2:y+4=-2(x+3)$

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a $r_1$ que pasa por $(3, 4)$ : $y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)$
2)Intersección de está recta con $r_2$ : $y+4=-2(x+3)$

$\left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}$
La solución es $(- 5, 0 )$

3)recta perpendicular a $r_2$ que pasa por $(-3, -4)$ : $y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)$
4)Intersección de está recta con $r_1$ : $y-4=-2(x-3)$
$\left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}$
La solución del sistema es $(5, 0)$