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Problemas de progresiones aritméticas II

Publicado por wgs84 en Sábado, 10 Mayo, 2008

1) Calcula la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19…

Es una P.A en la que $a_1=3$ y $d=4$ . su término general será $a_n=3+(n-1)4$ .

Para calcular lo que nos piden usaremos la fórmula de la suma $S_{20}=\dfrac{3+a_{20}}{2} \cdot 20$ .

Obtenemos a_{20} a partir del término general $a_{20}=3+19 \cdot 4=79$
$S_{20}=\dfrac{3+79}{2} \cdot 20=820$

2) Calcular la suma de los 30 primeros términos de una sucesión en la que a₇=17 y a₂=2.

$\dfrac{a_1+a_{30}}{2} \cdot 30$ .

Obtenemos el término general substituyendo los datos del problema en la fórmula del término general:
$\left. \begin{array}{rcl} 17=a_1+6d \\ 2=a_1+d \end{array} \right\}$

Restando las dos ecuaciones nos queda $15=5d\rightarrow d= 3$
Sustituimos en la 2ª ecuación para obtener y $2=a_1+3 \rightarrow a_1=-1$ .

El término general de la P.A que no ocupa es: $a_n=-1+(n-1)3$ .
Calculamos a₃₀ $a_{30}=-1+29 \cdot 3 \rightarrow a_{30}=86$ .

Así pues $S_{30}=\dfrac{-1+86}{2} \cdot 30=1275$

3) Cuantos términos hay que escoger en una P.A en la que la diferencia es 7 y el primer término 8 para que su suma sea 30690

El término general de la P.A es $8+(n-1)7=7n+1$ .

La incognita es “n” (número de términos a sumar o posición del último término).
$30690=\dfrac{8+a_n}{2} \cdot n$ .
Sustituimos a_n por el término general.
$30690=\dfrac{8+7n+1}{2} \cdot n$ .
$61380=7n^2+9n$
$0=7n^2+9n-61380$ .
De las soluciones de la ecuación escogemos la que es un número natural maor que cero: $93$ .

4) Calcula la suma de los múltiplos de 3 menores de 1000

Los múltiplos de 1000 forman una P.A cuyo primer término es 3 y la diferencia es 3. $a_n=3n$

El múltiplo de tres más cercano a 1000 es 999 y la posición que ocupa es la 333 $999=3n\rightarrow n=333$ . Así pues hemos de sumar 333 términos:
$S_{333}=\dfrac{3+999}{2} \cdot 333=166833$ .

5) Calcula la suma de los múltiplos de 5 mayores que 100 y menores que 1000.

Esos múltiplos de 5 forman un P. A en la el primer término es 105 y el último 995. Para averiguar cuántos términos hay. Introducimos 995 en el término general de la P.A:
$995= 105+(n-1)5$ . De aquí $n= 161$

$S_{161}=\dfrac{105+995}{2} \cdot 161=88550$

6) Calcula a₁₀ en una P.a en la que el primer término es 1 y la suma de los 40 primeros términos es 140 veces el sexto término.

La ecuación que resuleve el problema es $S_40=140a_6$ .

$\dfrac{a_1+a_{40}}{2} \cdot 40=140a_6$

Sustituimos los términos a₄₀ y a₆ por el término general y a₁ por su valor 1.

$\dfrac{1+1+39d}{2} \cdot 40=140(1+5d)$
Simplificamos: $2+39d=7(1+5d)$
$2+39d=7+35d \rightarrow d=\dfrac{5}{4}$

$a_{10}=1+9 \cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{49}{4}$

7) La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Halla los términos de la progresión.

Las ecuaciones que nos van a permitir resolver el problema son:

1) $176=\dfrac{a_1+a_{11}}{2} \cdot 11$
2) $a_{11}-a_1=30$ .

Como $a_{11}=a_1+10d$ nos queda el sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} 16=\dfrac{a_1+a_1+10d}{2} \\ a_1 +10d -a_1=30 \end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{rcl} 16=a_1 +5d \\ 10d=30 \end{array} \right\}$

$d= 3$ y $a_1=1$
La progresión es: $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31$

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Suma de los n primeros términos de una P.A

Publicado por wgs84 en Sábado, 10 Mayo, 2008

Vamos a obtener la expresión que nos permite calcular la suma de los n primeros términos de una P.A. : $S_n$ .

Recordar que la suma de términos equidistantes en una P.A es igual a la suma de los extremos $a_1+a_n$

Para obtenerla partiremos de la siguiente disposición práctica:
$S_n=a_1+a_2+a_3+ ............. +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$
$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ .......... +a_3+a_2+a_n$

Sumando ambas expresiones y agrupando términos equidistantes (n parejas)
$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ....+(a_3+a_{n-2})+(a_2+a_{n-1})+(a_1+a_n)$
$2S_n=(a_1+a_n)n$ y ya de aquí: