Suma de los términos equidistantes en una P.A

Mayo 2008
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Publicado por wgs84 en Sábado, 10 Mayo, 2008

En una progresión aritmética la suma de los términos equidistantes a los extremos es igual a la suma de los extremos.

Sea una P.A de n términos: $a_1, a_2, a_3,.............,a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$

Son términos equidistantes a los extremos:
$a_1$ y $a_n$
$a_2$ y $a_{n-1}$
$a_3$ y $a_{n-2}$

Dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos serán $a_h$ y $a_{n-h+1}$ .
Vamos a demostrar que $a_h+a_{n-h+1}=a_1+a_n$ .

Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que $a_h=a_1+(h-1)d$ (1)

Lo aplicamos también a $a_{n-h+1}$
$a_{n-h+1}=a_1+(n-h+1-1)d$
$a_{n-h+1}=a_1+(n-1+1-h)d$
$a_{n-h+1}=a_1+(n-1)d+(1-h)d$

Como $a_n=a_1+(n-1)d$ y $1-h=-(h-1)$ podemos escribir:
$a_{n-h+1}=a_n-(h-1)d$ (2)

Si sumamos (1) y (2) tenemos que:

$a_h+a_{n-h+1}=a_1+(h-1)d+a_n-(h-1)d=a_1+a_n$ . c.q.d

Nota: este post ha sido escrito y publicado con la extensión Scribefire de firefox

Esta entrada fue publicada el Sábado, 10 Mayo, 2008 en 9:45 y está archivado en Matemáticas, Progresiones. . Puedes seguir los comentarios a esta entrada a través de RSS 2.0 feed. Puedes deja un comentario, o trackback desde tu propio sitio.

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