Problemas de progresiones aritméticas III

Mayo 2008
L	M	X	J	V	S	D
« Abr		Jul »
	1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Publicado por wgs84 en Domingo, 11 Mayo, 2008

En este apartado colocaremos problemas con enunciado “real”

1) Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?

El número de soldados que hay en cada fila es el término de la sucesión: $1, 2,3, 4,.....$ . Se trata de una P.A con $a_1=1$ y con $d=1$ , por los que su término general es $a_n=n$ .

5050 es la suma de los soldados ha habrá en $n$ filas. Por lo que: $5050=\dfrac{1+a_n}{2} \cdot n$
Sustituimos el término general por $n$ : $5050=\dfrac{1+n}{2} \cdot n$
$10100=n+n^2$
Las soluciones de esta ecuación son $n=100$ y $n=-101$ . Como $n$ ha de ser un número natural mayor que cero la respuesta correcta es $100$ filas.

2) Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?

El tiempo de entrenamiento es una P.A en la que $a_1=60$ y $d=10$ todo en minutos. su término general es: $a_n=60+(n-1) \cdot 10$ .

Al cabo de 15 ddías deberá entrenar $a_{15}=60+14 \cdot 10=200$ minutos.

En un mes habrá entrenado $S_{30}=\dfrac{60+a_{30}}{2} \cdot 30$
Calculamos a₃₀. $a_{30}=60+29 \cdot 10 = 350$ minutos.

En un més $S_{30}=\dfrac{60+350}{2} \cdot 30= 6150$ minutos.

3) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?

Las distancias de las filas de butacas a la pantalla forman una P.A donde el número de orden “n” es el número de fila. Por lo tanto los datos que nos dan son:

$a_1=86$ dm
$a_6=134$ dm

Nos preguntan en número de fila “n” cuya distnacia a la pantalla es $a_n=230$ decimetros.

$230=86+(n-1)d$ . (1)

Obtenemos d a partir del término sexto: $134= 86+5d \rightarrow d=\dfrac{48}{5}$
Sustituyendo en (1): $230=86 +(n-1) \cdot \dfrac{48}{5}$ . De donde $n= 16$

4) Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos

Vamos a considerar que el mayor es $a_4$ .

$\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_2+a_3+a_4=32 \\ a_4-a_1= 6 \end{array} \right\}$

Usando el término general nos queda:

$\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=32 \\ a_1+3d-a_1= 6 \end{array} \right\}$
$\left. \begin{array}{rcl} 4a_1+6d=32 \\ 3d= 6 \end{array} \right\}$
$\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3d=16 \\ d=2 \end{array} \right\}$
$\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3 \cdot 2=16 \\ d= 2 \end{array} \right\}$
$\left. \begin{array}{rcl} a_1=5 \\ d= 2 \end{array} \right\}$

Las edades de los hermanos serán $5, 7, 9, 11$

Esta entrada fue publicada el Domingo, 11 Mayo, 2008 a 7:44 y está archivada en Matemáticas, Progresiones. Puedes seguir los comentarios a esta entrada a través de RSS 2.0 feed. Puedes deja un comentario, o trackback desde tu propio sitio.

2 comentarios para “Problemas de progresiones aritméticas III”

so escribió

Martes, 27 Mayo, 2008 a 18:08
estan muy interesantes estos situaciones problemáticas porque hacen pensar bastante a los chicos.
danistyle escribió

Miércoles, 3 Diciembre, 2008 a 18:19
muy bueno, gracias me ha servido de mucho gRAcias a ustedes podemos entrenarnos mas menos mal qUe hay gente como ustedes GRACIAS de verdad

Escribe un comentario

« Problemas de progresiones aritméticas II

Ecuación de la recta V »

El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Categorías

Archivos

¿En qué día vives?

Blogroll

Matemáticas

Debian