El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Ecuaciones exponenciales. Cambio de variable

Publicado por wgs84 en Lunes, 10 noviembre, 2008

Este método se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparecen sumas y/o restas de exponenciales.

Preliminares

Hay que recordar las propiedades de las potencias:

  • a^{m+n}=a^m \cdot  a^n. Por ejemplo 3^{x+3}= 3^3 \cdot 3^x
  • a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}. Por ejemplo 2^{x-5}= \dfrac{2^x}{2^5}, 3^{1-x}=\dfrac{3}{3^x}
  • {(a^m)}^n= a^{m \cdot n}. Por ejemplo 4^x= {2^2}^x= {(2^x)}^2

Ejemplos de ecuaciones

  1. 2^{x+1}-5 \cdot 2^x+3=0
    El cambio de varible es 2^x=t. Procedemos a aislar dicha exponencial
    2^x \cdot 2-5 \cdot 2^x +3=
    2t-5t+3=0
    t=1
    Deshacemos el cambio de variable
    2^x=1 por lo que x=0
  2. 9^x-90 \cdot 3^x+729=0
    El cambio de variable es 3^x=t
    {3^2}^x-90 \cdot 3^x+729=0
    {3^x}^2-90 \cdot 3^x+729=0
    t^2-90t+729=0
    resolvemos la ecuación de 2º grado y tenemos que t= 81 y t=9
    Deshacemos el cambio de varible
    3^x=81=3^4; x= 4
    3^x= 9=3^2; x= 2
  3. 2^x+2^{x+1}+2^{x-2}+2^{x-3}=864
    El cambio de variable es 2^x= t
    2^x +2 \cdot 2^x+\dfrac{2^x }{2^2}+\dfrac{2^x}{2^3}=864
    t + 2t+\dfrac{t}{4}+\dfrac{t}{8}=864
    8t+16t+2t+t= 864 \cdot 8
    27t= 2^5 \cdot 3^3 \cdot 2^3
    t=2^8
    Deshacemos el cambio de variable 2^x= 2^8; x= 8
  4. 3^x+3^{1-x}=4
    El cambio de variable es 3^x=t
    3^x+ \dfrac{3}{3^x}=4
    t+ \dfrac{3}{t}=4
    t^2+3=4t; t^2-4t+3=0
    Reslviendo la ecución de 2º grado:
    t= 3 y t= 1
    Deshacemos el cambio de variable
    3^x=3; x= 1
    3^x= 1; x= 0

Ejercicios propuestos

  • 2^x-5\cdot 2^{-x}+4\cdot 2^{-3x} sol: 0; 1
  • 2^{2x}+2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}+2^{2x-4}=1984 sol: 5
  • 4^{x+1}+2^{x+3}-320=0 sol: 3
  • 3^x+ \dfrac{1}{3^{x-1}}=4 sol=0; 1
About these ads

3 comentarios hacia “Ecuaciones exponenciales. Cambio de variable”

  1. [...] una ecuación con suma de exponenciales y la resolveremos mediante un cambio de variable: . el cambio de varible va a ser Las soluciones de la ecuación de segundo grado son y [...]

  2. joana mata escribió

    hola

  3. Juanca escribió

    Un gracias grandote.
    Estaba buscando el tema,fue bien detallado y bien explicado.

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 30 seguidores

%d personas les gusta esto: