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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archivo de Marzo 2009

Otro de triángulos isosceles

Publicado por wgs84 en Viernes, 20 Marzo, 2009

EL LADO DESIGUAL DEL TRIANGULO ISOSCELES TIENE POR EXTREMOS LOS PUNTOS A(3,-1)Y B(6,2).HALLAR LAS COORDENADAS DEL TERCER VERTICE C. SI EL AREA DEL TRIANGULO ABC ES 7,5

Si es un triángulo isosceles la distancia AC es igual a la distancia BC. De aquí sale la ecuación:
\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} =\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}
Elevando al cuadrado ambos términos y desarrollando los cuadrados:
x^2-6x+9+y^2+2y+1=x^2-12x+36+y^2-4y+4
Agrupando términos y simplificando obtenemos la ecuación de la mediatriz del segmento AB:
x+y-5=0 (1)

Por otro lado, el área del triángulo es 7.5. Bién, el área del triángulo será \dfrac{1}{2} \cdot | \vec{AB}| \cdot h
Donde \vec{AB} es la base y h la altura, qué es la distancia del punto incógnita C a la recta que pasa por los puntos A y B.
Vamos a despejar el valor de h:

  • La longitud de la base|\vec{AB}|=\sqrt{ (3-6)^2+(-1-2)^2}=3 \sqrt{2}
  • Despejamos h de la expresión del área del triángulo 7.5= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot h. De donde obtenemos que h= \dfrac{5}{\sqrt{2}}

La recta que pasa por AB será: x-y-4=0
Usando la ecuación de la distancia punto recta tendremos:
\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{| x-y-4|}{\sqrt{2}}
|x-y-4|= 5
De la ecuación con valor absoluto obtendremos dos ecuaciones una para el signo + y otra para el signo -:
(2) x-y-4=5 \rightarrow x-y-9=0
(3) x-y-4=-5 \rightarrow x-y+1=0

Los puntos solución se obtendrán de resolver los sistemas de ecuaciones:
(1) y (2)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y-9=0 \end{array} \right\}
Sumando las ecuaciones (reducción) obtenemos facilmente la primera solución:(7, -2)

y (1) y (3)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y+1=0 \end{array} \right\}
Cuya solución es (2, 3)

tisosceles

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Problemas de ecuaciones V.Problemas de mezclas 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 8 Marzo, 2009

Ecuación de mezcla:
C_1 \cdot p_1 + C_2 \cdot p_2= (C_1+C_2) p_m
C_1 y C_2 son las cantidades de cada uno d elos productos que intervienen en la mezcla.
p_1 y p_2 son los precios por unidad de cada uno de los productos
Evidentemente el la cantidad de producto resultante es C_1+C_2
p_m es el precio de la mezcla

  1. Un vinatero poseía 760 litros de vino de 8,25 euros/litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de 7,2 euros/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a 7,5 euros el litro?

    Identificación de incógnitas:

    • x es la cantidad del 2º vino que entra en la mezcla
    • La cantidad de mezcla será 760+x

    Planteamiento de la ecuaión
    760 \cdot 8.25 +7.2x=(760+x) \cdot 7.5
    6270+7.2x=5700+7.5x
    570=0.3x
    x= 1900 litros del segundo tipo de vino

  2. Se ha comprado alcohol de quemar a 2.5 euros/litro y se ha mezclado con otro de 2,7 euros/litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de 2,55 euros/litro.

    Identificación de incógnitas: Las dos cantidades han de sumar 100 que es la cantidad de mezcla

    • x es la cantidad del primer tipo de alcohol$
    • 100-x es la cantidad del segundo tipo de alcohol

    Planteamiento de la ecuación
    2.5x+2.7(100-x)=100 \cdot 2.55

    Resolución d ela ecuación
    2.5x+270-2.7x= 255
    15= 0.2x
    x= 75 litros del primer alcohol
    100-75= 25 litros del segundo alcohol

  3. Se meclan 3 kilos de café de 0.8 euros/kilo con 2 kilos de café de 0.7 euros el kilo ¿Cuál será el precio de la mezcla resultante?

    Identificación de incógnitas: x será el precio de la mezcla

    Planteamiento de la ecuación: 3 \cdot 0.8+2 \cdot 0.7= 5x

    Resolución de la ecuación: 2.4+1.4=5x
    x= 0.76 euros el kilo de mezcla

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Problemas de ecuaciones IV. Problemas de edades 2º ESO

Publicado por wgs84 en Miércoles, 4 Marzo, 2009

En los problemas de edades se comparan dos momentos temporales (por ejemplo, hoy y dentro de tres años), estableciendo una relación matemática entre ellos.

  1. El primo de Ángel tiene 12 años menos que éste. Dentro de 5 años el doble de su edad será igual a la de Ángel aumentada en 4 ¿Qué edad tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas: Hay que distinguir los dos momentos temporales hoy y dentro de 5 años

    • Hoy

      Ángel: x años
      Primo: x-12 años

    • Dentro de 5 años

      Ángel: x+5 años
      Primo: x-12+5=x-7 años

    Planteamiento de la ecuación: “Dentro de 5 años el doble de la edad del primo será igual a la de Ángel aumentada en 4 “
    2(x-7)=x+5+4

    Resolución de la ecuación
    2x -14= x+9
    x= 23 estó es la edad de Ángel
    23-12=11 y está la del primo

  2. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple de la del hijo?

    Identificación de incógnitas: x son los años que han de pasar

    • Hoy

      Padre: 42 años
      Hijo: 10 años

    • Dentro de x años

      Padre: 42+x años
      Hijo: 10+x años

    Planteamiento de la ecuación:dentro de x años, “la edad del padre será el triple que la del hijo”
    42+x= 3(10+x)

    Resolución de la ecuación
    42+x= 30+3x
    12=2x Dentro de 6 años

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Problemas de ecuaciones III. Problemas con monedas

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009

Los problemas con monedas son una variante de los problemas de compras sólo que aquí interviene el número de monedas y billetes y el valor de estos

  1. Tengo 57 euros en monedas de 2 euros y en billetes de cinco. ¿Cuántas monedas y billetes tengo si hay tres billetes más que monedas?

    Identificación de incógnitas:”hay tres billetes más que monedas”
    x es el número de monedas de 2 euros
    x+3 es el número de billetes de 5 euros
    Planteamiento de la ecuación: 2x+5(x+3)=57
    Resolución de la ecuación:
    2x+5x+15=57
    7x=42 \rightarrow x=6 .Esto es el número de monedas de 2 euros
    6+3=9 es el número de billetes de 5 euros

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Problemas de ecuaciones II. Problemas de compras y repartos 2º ESO

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009

La ecuación que rige una compra es: C_1 \cdot p_1 + C_2 \cdot p_2= T donde

  • C_1 es la cantidad del primer producto
  • p_1 es el precio por unidad del primer producto
  • C_2 es la cantidad del segundo producto
  • p_2 es el precio por unidad del segundo producto
  • T es el coste total de la compra

Evidentemente la ecuación podría ampliarse a tres o más productos

  1. Hemos comprado 12 sillas y 2 mesas por un importe total de 1380 euros. Si una mesa cuesta 200 euros más que una silla ¿Cuál es el precio por unidad de cada artículo?

    Identificación de incógnitas:”una mesa cuesta 200 euros más que una silla”.

    • x será el precio de una silla
    • x+200 será el precio de una mesa

    Planteamiento de la ecuación: Unicamente hay que plantear la ecuaión de la “compra”:
    12x+2(x+200)=1380
    Resolución de la ecuación
    12x+2x+400=1380
    14x= 980
    x= 70 que es el precio de una silla
    70+200=270 es el precio de una mesa

  2. En la frutería de la esquina hemos comprado 3 kilos de kiwis y 2 kilos de manzanas por un importe de 9,6 euros. Calcula el precio por kilo de cada fruta sabiendo que el precio del kiwi es el doble que el de la manzana

    Identificación de incógnitas: “el precio del kiwi es el doble que el de la manzana”

    • El precio de la manzana será x
    • El precio del kiwi será 2x

    Planteamiento de la ecuación:no es más que rellenar la ecuación de la compra
    3 \cdot 2x +2x= 9.6

    Resolución de la ecuación
    6x+2x= 9.6
    8x= 9.6 \rightarrow x= 1.2 que es el precio del kilo de manzanas
    2 \cdot 1.2= 2.4 que es el precio del kilo de kiwis

    4. Hay que repartir 18000 euros entre tres socios sabiendo que el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero ¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?

    Un reparto se resuleve teniendo en cuenta que la suma de las partes es igual a la cantidad a repartir.
    La parte más complicada de estos problemas es la identificación de incógitas

    Identificación de incógnitas:”el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero”

    • la cantidad que recibe el segundo socio será x
    • la cantidad que recibe el primer socio será 2x
    • la cantidad que recibe el tercer socio será 3 \cdot 2x= 6z

    Planteamiento de la ecuación : esto ya es sencillo (la suma de las partes es igual al total)
    2x+x+6x= 18000
    Resolución de la ecuación
    9x= 1800 \rightarrow x= 2000
    El segundo socio recibirá 2000 euros
    El primer socio recibirá el 2 \cdot 2000= 4000 euros
    El tercer socio recibirá 6 \cdot 2000= 12000 euros

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Problemas de ecuaciones I. Problemas aritméticos 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 1 Marzo, 2009

  1. La suma de dos números es 50. Si se restan dos unidades al menor, el resultado es igual a un tercio del mayor

    Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50:
    Si un es x el otro será 50-x.

    Planteamiento de la ecuación: Da igual cual sea el mayor. Par nosotros el mayor será x.
    “se restan dos unidades al menor” :50-x-2=48-x
    “el resultado es igual a un tercio del mayor· 48-x=\dfrac{x}{3}

    Resolvemos la ecuación
    Sacando común denominador y eliminandolos: 144-3x=x
    De ahí 144=4x \rightarrow x=36
    Y el otro número será 50-36= 14

  2. De un cierto número de naranjas, un comerciante vendió la mitad y separó la décima parte para el consumo desu casa, quedándole 200 ¿Cuántas tenía?

    Identificación de incógnitas Sólo nos preguntan por el número de naranjas que será x.
    Planteamiento de la ecuación La suma de todas las partes es igual al total:
    “vendio la mitad” \dfrac{x}{2}
    “separó la décima parte para el consumo de su casa”: \dfrac{x}{10}
    “quedándole 200″

    La suma de esas tres partes es igual al número total de naranjas:
    \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{10}+200=x
    Resolución de la ecuación
    Sacando común denominador y eliminandolos
    5x+x+2000=10x
    4x=2000 \rightarrow x=\dfrac{2000}{4}=500

  3. Halla dos números cuya suma sea 50 y tales que, restando 5 unidades al mayor para añadirselas al menor, los resultados sean iguales

    Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50. Si un es x el otro será 50-x.
    Planteamiento de la ecuación Consideraremos que el mayor es x
    “restando 5 unidades al mayor”: x-5
    “para añadirselas al menor”:50-x+5=55-x
    “los resultados sean iguales”: x-5=55-x

    Resolución d ela ecuación
    2x= 60 \rightarrow x= 30
    y el otro número 50-30= 20

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