Problemas con sistemas de ecuaciones (I).Problemas aritméticos con números. 2º ESO

Los problemas en los que aparecen dos o más incógnitas se pueden resolver mediante el uso de sistemas de ecuaciones. En 2º ESO nos vamos a centrar en problemas lineales (ecuaciones de primer grado) con dos incógnitas.

Muchos de estos sistemas se pueden resolver también mediante el uso de una ecuación pero la utilización de 2 incógnitas (x, y normalmente) facilita tanto la identificación de incógnitas como el planteamiento de la ecuación/es.

Al igual que en el caso de los problemas de ecuaciones los iremos clasificando por tipos.

1. Halla dos números sabiendo que la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150 y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor

   Identificación de incógnitas:

   • El número mayor es x y el menor es y
   • El doble del mayor: 2x
   • La mitad del menor: x/2
   • Cuatro veces el menor: 4y
   • Triple del mayor: 3x

   Planteamiento del sistema:

   • Primera ecuación:”la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150″.
   • Segunda ecuación:”cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor”.

   Resolución del sistema
   
   Eliminamos denominadores el la primera ecuación y nos queda el sistema en forma standard:
   .
   Lo resolvemos por sustitución:
   (*)
   
   
   . Sustituyendo en (*)

2. La suma de dos números es 243 ¿Qué números son si uno es el doble del otro?

   Identificación de incógnitas: x es un número e y es otro número.
   Planteamiento del sistema:

   • Primera ecuación:”uno es el doble del otro”.
   • Segunda ecuación: “La suma de dos números es 243″

   Resolución del sistema:
   
   Los resolvemos directamente por sustitución:
   
   y por lo tanto

3. Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro. Teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo ¿De qué números se trata?

   Identificación de incógnitas:

   • Un número es x y el otro y
   • Tres quintos de un número: 3x/5
   • Mitad del otro: y/2
   • El doble del primero : 2x

   Planteamiento del sistema:

   • Primera ecuación:”Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro”.
   • Segunda ecuación:”el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo”.

   Resolución del sistema:
   
   Eliminamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda y nos queda el sistema en forma standard:
   
   Lo resolvemos por sustitución:
   (*)
   
   
   . Sustituyendo en (*).

4. Halla dos números en los que la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor. También sabemos que la diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8

   • El mayor es x y el menor y
   • La tercera parte del mayor: x/3
   • El anterior del menor: y-1
   • El cuadruplo del menor: 4x
   • Primera ecuación:”la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor”.
   • Segunda ecuación:”a diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8″.

identificación de incógnitas:

Planteamiento del sistema

Resolución del sistema

Elimnando denominadores y ordenando el sistema obtenemos el siguiente sistema standard:

Lo resolvemos por igualación despejando la x en ambas ecuaciones.
y (*)



sustituyendo en una de las dos ecuaciones de (*) tenemos


5. La suma de dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor ¿ Cuáles son dichos núnmeros?

   Identificación de incógnitas:

   • El mayor será x y el menor y
   • el anterior del mayor: x-1
   • el doble del mayor: 2x
   • 5 veces el menor: 5y

   Planteamiento del sistema

   • Primera ecuación: ” La suma de dos números con el anterior del mayor es 419″.
   • Segunda ecuación:”el doble del mayor es 5 veces el menor”.

   Resolución del sistema:
   ç
   
   Lo resolvemos por reducción restando las dos ecuaciones.
   
   
   sustituyendo en la primera ecuación
   

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