Indeterminación infinito partido infinito en límites de funciones exponenciales

Mayo 2009
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Publicado por wgs84 en Miércoles, 13 Mayo, 2009

Para resolver estos límites hay que tener en cuenta estas consideraciones:

$a^{+\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} +\infty & a >1 \\ 0 & 0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.$
$a^{-\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} 0 & a >1 \\ +\infty & 0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.$

Veamos unos ejemplos
$2^{+\infty}=+\infty$
$2^{-\infty}= \dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{+\infty}=\dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-\infty}= 2^{+\infty}=+\infty$

Si la base es negativa, al quedar elevada a infinito cambiaría d esigno según fuese par o impar el exponente, por lo que no habrá límite

Pasamos al cálculo de límites

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{3x-5}{2x+3} \right )^{1-3x}$

dividimos en la base por el término de mayor grado:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \right )^{1-3x}$
Sustituimos por $+ \infty$ y no queda
$\left ( \dfrac{3}{2} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{+\infty}=0$
porque 2/3 es menor que 1
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3x^2-5x-2}{x^2-1} \right )^{\dfrac{4x-5}{2x+1}}$
Si sustituimos en base y exponente obtenemos infinito partido infinito en ambos casos. Resolvemos la indeterminación independientemente en base y exponente dividiendo en cada uno por su término de mayor grado. $x^2$ en la base y $x$ en el exponente.
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3- \dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac {1}{x^2}} \right )^{\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}}$

sustituyendo nos da $3^2=9$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2x-7}{5x-3} \right )^{2x+1}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2-\dfrac{7}{x}}{5-\dfrac{3}{x}} \right )^{2x+1}$

Sustituyendo: $\left ( \dfrac{2}{5} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{5}{2} \right )^{+\infty}= +\infty$

ya que 5/2 es mayor que 1

Esta entrada fue publicada el Miércoles, 13 Mayo, 2009 a 20:40 y está archivada en Límites, Matemáticas. Puedes seguir los comentarios a esta entrada a través de RSS 2.0 feed. Puedes deja un comentario, o trackback desde tu propio sitio.

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