Circunferencia y rectas tangentes

Agosto 2009
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Publicado por wgs84 en Sábado, 22 Agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea $(a,b)$ el centro de la circunferencia.

Pasa por ( 3,6), luego el radio será $\sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}$
Es tangente a $x+y-11=0$ , luego el radio será la distancia del centro a esa recta $\dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}$
Es tangente a $-7y+57=0$ , luego el radio será la distancia del centro a esa recta $\dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}$

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

$\dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2$ . Desarrollando nos queda:
$-b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0$
$\dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2$ .Desarrollando nos queda: $-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0$

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en $b^2$
$16ab+200b+48a^2-424a-968=0$ . Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda: $2ab+25b+6a^2-53a-121=0$ .
De aquí podemos despejar $b$ en función de $a$ y resolver el sistema por sustitución:
$b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}$ .

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
$a=-4,b=-11$ y $a=2, b=7$

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo $r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}$

Si $a=-4,b=-11$ entonces $r=\sqrt{338}$ y la ecuación será $(x+4)^2+(y+11)^2= 338$

Si $a=2, b=7$ entonces $r= \sqrt {2}$ y la circunferencia será $(x-2)^2+(y-7)^2=2$

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea $(a,b)$ el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

Si la circunferencia es tángente a $5x-12y+6=0$ entonces: $\dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2$
Si la circunferencia es tángente a $3x-4y+2=0$ entonces: $\dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2$

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

$5a-12b+6=26$
$5a-12b+6=-26$
$3a-4b+2=10$
$3a-4b+2=-10$

Las coordenadas $(a,b)$ las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

Combinando la 1 y la 3 obtenemos $a=1,b=-\dfrac{5}{4}$ y la circunferencia será: $(x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4$
Combinando la 1 y la 4 obtenemos $a=-14, b=-\dfrac{15}{2}$ y la circunferencia será: $(x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4$
Combinando la 2 y la 3 obtenemos $a=14, b=\dfrac{17}{2}$ y la circunferencia será : $(x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4$
Combinando la 2 y la 4 obtenemos $a=-1, b=\dfrac{9}{4}$ y la circunferencia será: $(x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4$

Esta entrada fue publicada el Sábado, 22 Agosto, 2009 a 10:08 y está archivada en Circunferencia, Geometría analítica, Matemáticas. Puedes seguir los comentarios a esta entrada a través de RSS 2.0 feed. Puedes deja un comentario, o trackback desde tu propio sitio.

Una respuesta para “Circunferencia y rectas tangentes”

Francisco de León-Sotelo y Esteban escribió

Sábado, 5 Diciembre, 2009 a 23:38
Excelente tu blog.
Enhorabuena

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