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Radicales, polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas
Publicado por wgs84 en Sábado, 5 Abril, 2008
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Publicado por wgs84 en Lunes, 31 Marzo, 2008
La forma estandad de un sistemas de ecuaciones con dos incognitas es esta:

Muchos sistemas no aparecen directamente con esta forma. En estos tendremos que eliminar paréntesis y denominadores y agrupar términos semajantes para dejarlos en la forma “estandard” y así podder aplicar algunos de los métodos de resolución.
Veamos algunos ejemplos:
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Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008
-
ECUACIONES SIN PARÉNTESIS Y SIN DENOMINADORES
Vamos a resolver una ecuación sencilla: 
1)Transposicón de términos.
Se trata de dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro. Queremos que
desaparezca del miembro izquierdo y aparezca en el derecho. Para eso usamos la propiedad de la suma y sumamos a ambos lados el opuesto de
que es
:

Como la suma de los opuestos es el elemento neutro , es decir, “cero” ,
desaparece y aparece en el otro miembro con el signo cambiado

Repetimos el proceso con 


Si te fijas el resultado es el mismo que con
. La aplicación de la propiedad de la suma permite pasar un término de un miembro a otro cambiandole el signo,
2) Agrupamos términos semejantes (sumar las x con las x y los números con los números)

3)Despejamos x.Para dejar sóla la x en el miembro izquierdo vamos a utilizar la propiedad del producto. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por el inverso del coeficiente de la x. En este caso por el inverso de
que es
.

Operamos y obtenemos la solución:

Si te fijas el
que esta multiplicando ha pasado al otro miembro dividiendo.

Todo esto se traduce en las conocida norma:
Todo lo que esta sumando pasa al otro lado restando y viceversa
Todo lo que está multiplicando a todo un miembro pasa al otro lado dividiendo y viceversa
-
ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Si la ecuación tiene paréntesis unicamente hay que añadir un paso a lo anterior: la eliminación de parénteis mediante la propiedad distributiva .

1)Eliminamos paréntesis:

2)Transposición de términos

3)Agrupamos términos semejantes

4)Despejamos la x

-
ECUACIONES CON DENOMINADORES
Cuando en las ecuaciones aparecen denominadores lo primero que hacemos e s sacar común denominador para poder sumar/restar los numeradores.



Vamos a eliminar los denominadores usando la propiedad del producto. Multiplicamos ambos términos por el común denominador que es
.


Una vez eleiminados los denominadores se resuleve como los casos anteriores



Ejercicos propuesto:
Resuelve usando las propiedades de las igualdades la ecuación: 
Resolución :
- Sacamos común denominador en las fracciones que intervienen:
- Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el común denominador
:
- Eliminamos paréntesis:
- Transponemos términos mediante la propiedad de la suma:
- Agrupamos términos semejantes:
- Despejamos la
multiplicando ambos términos por
, el inverso de
:
- La solución es

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Publicado por wgs84 en Domingo, 17 Febrero, 2008
Una igualdad es una expresión matemática en la que aparecen uno más signos (=). Vamos a tratar dos tipos de igualdades:
- igualdades numéricas o aritméticas:

- igualdades algebraicas :
. En estas intervienen números y letras relacionados entre si por medio de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.
Propiedades axiomáticas de las igualdades
- Propiedad de la suma: si en una igualdad sumamos la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.
- Propiedad del producto: si en una igualdad multiplicamos por la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.
La solución de una expresión algebraica es el valor o conjunto de valores que transforman una igualda algebriaca en una igualdad aritmética.
- La solución de
es 3 por que si sustituimos x por 3 tenemos que
y esto es cierto.
Si hacemos que x= 5 resulta una igualdad falsa
.
- En la igualdad
hay infinitas parejas de valores(x,y) que son solución: (1,0); (0,1); (2,-1); (3,-2)……y también hay infinitas parejas que no lo son: (7,7); (0.5, 0.3)……..
- En la igualdad
todos los posibles valores de x son solución
Una igualdad se llama identidad cuando todos los posibles valores de las variables son solución:
Si no todos los posibles valores de las variables son solución estamos ante una ecuación
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Publicado por wgs84 en Jueves, 7 Febrero, 2008
Vamos a resolver un ejemplo de ecuaciones irracionales con tres radicales:

1)Aislamos un radical y elevamos al cuadrado ambos miembros. En esta ecuación ya esta aislado el radical



2)Aislamos el radical que queda y volvemos elevar al cuadrado



3)Resolvemos la ecuación resultante


4)Comprobamos que la solucón es buena
Es buena
Ecuaciones irracionales con radicales en el denominador

1)Sacamos común denominador , eliminamos denominadores y operamos





2)Elevamos al cuadrado ambos miembros


3)REsolvemos la ecuación de segundo grado resultante y obtenemos como soluciones
y 
La primera no es válida porque genera radicandos negativos 
La segunda
si que es válida
y entonces si sustituimos en la ecuación original:

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Publicado por wgs84 en Martes, 5 Febrero, 2008
Son ecuaciones irracionales aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.
La resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:
Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que, además de tener las soluciones de la primera, puede contener las de una segunda, obtenida al cambiar de signo uno de los miembros de la ecuación dada.
Sea la ecuación: 
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 
Ahora la ecuación puede escribirse como una diferencia de cuadrados : 
Descomponemos enfactores: 
La solución de la ecuaión será la solución de las ecuaciones parciales:
equivalente a 
equivalente a 
Por esta razón hay que comprobar las soluciones que resultan de elevar al cuadrado
Ejemplo 1 Con un solo radical 
1)Aislamos el radical en uno de los miembros


2)Elevamos al cuadrado ambos miembros



3)Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante

Las soluciones son
y 
4)Comprobamos las soluciones
cierta
falsa
Ejemplo 2 con 2 radiclaes 
1)Aislamos uno de los radicales en uno de los miembros

2)Elevamos al cuadrado ambos términos


3)Ahora es una ecuación con un solo radical. Lo aislamos


4)Elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos



5) Comprobamos la solución:
es cierta
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Publicado por wgs84 en Lunes, 4 Febrero, 2008
Vamos a resolver ecuaciones del tipo
. Las vamos a resolver mediante un cambio de variable.
Si decimos que
entonces
. Y la ecuación original se transforma en la ecuación de segundo grado
.
Resolvemos la ecuación y obtendremos 2 soluciones para t. El último paso es deshacer el cambio de variable y obtener los valores para x.
Vamos a resolver algunos ejemplos para el caso
, ecuaciones bicuadradas:
Ejemplo 1 
1) Cambio de variable:
. Por lo que tenemos
.
2)Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: 
Los valores de t serán
y 
3)Deshacemos el cambio de varible
Ejemplo 2 
1) Cambio de variable:
. Por lo que tenemos
.
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: 
Los valores de t serán
y 
3)Deshacemos el cambio de varible

No es solución real
Ejemplo 3 
1) Cambio de variable:
. Por lo que tenemos
.
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: 
Los valores de t serán
y 
3)Deshacemos el cambio de varible
No es solución real
No es solución real
Por último veamos un ejemplo de ecuación bicúbica. Para

Ejemplo 4 
1) Cambio de variable:
. Por lo que tenemos
.
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: 
Los valores de t serán
y 
3)Deshacemos el cambio de varible
Del mismo modo se resolverán las ecuaciones biquintas como
, o bisextas o……
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