-
En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134 ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Identificación de incógnitas:x es el número de gallinas. y es el número de conejos.
Planteamiento del sistema:
- “Si se cuentan las cabezas, son 50″.
- “las patas son 134″.
Resolución del sistema
Lo resolvemos por sustitución:
gallinas y
conejos
- “Si se cuentan las cabezas, son 50″.
-
En un taller hay vehículos de 4 y de 6 ruedas. Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas ¿Cuántos vehículos hay de cada clase si en total hay 156 ruedas?
Identificación de incógnitas:x es el número de vehículos de 4 ruedas. y es el número de vehículos de 6 ruedas.
Planteamiento del sistema:
- “Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas”.
- “en total hay 156 ruedas”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
4latex 4x+6(2x+2)=156$
vehículos de 4 ruedas.
vehículos de 6 ruedas
- “Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas”.
-
En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de 4280 patas. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay?
Identificación de incógnitas:x es el número de cerdos. y es el número de gallinas.
Planteamiento del sistema:
- “4280 patas”.
- “Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
cerdos y
gallinas
- “4280 patas”.
Archivos de la categoría ‘Algebra elemental’
Radicales, polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas
Problemas de sistemas (IV). Granjas y ruedas. 2º ESO
Publicado por wgs84 en Domingo, 5 Abril, 2009
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Problemas de sistemas (III).Mezclas. 2º ESO
Publicado por wgs84 en Domingo, 5 Abril, 2009
-
Se quieren mezclar vino de 0,60 euros con otro de 0.35 euros, de modo que resulte vino con un precio de 0,50 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
Identificación de incógnitas:
x será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.65 euros/litro. y será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.35 euros/litro.
Planteamiento del sistema- “200 litros de la mezcla”.
- Planteamos la ecuación de mezcla( precio del primer vino por cantidad del primer vino más precio del segundo vino por precio del segundo vino igual a precio de la mezcla por cantidad de mezcla).
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
litros del primer vino y
litros del segundo vino.
- “200 litros de la mezcla”.
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Problemas de sistemas (III). Problemas de edades.2º ESO
Publicado por wgs84 en Sábado, 4 Abril, 2009
-
El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años. Y dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro ¿Cuántos años tienen cada uno?
Identificación de incógnitas
- Hoy: x es la edad de Juan. y es la edad de Pedro
- Dentro de 2 años. La edad de Juan será x+2 y la edad de Pedro será y+2.
Planteamiento del sistema
- Hoy:”El doble de la edad de Juan más la de suhermano Pedro son 44 años”.
- Dentro de dos años:”la edad de Juan será el doble que la de Pedro”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
años tiene Juan y Pedro tendrá
.
-
La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Identificación de incógnitas
- Hoy: x es la edad del padre. y es la edad del hijo
- Hace 5 años. La edad del padre era x-5 y la edad del hijo erá y-5.
Planteamiento del sistema
- Hoy:”La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años”.
- Hace 5 años:”la edad del padre era triple de la del hijo”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos popr igualación despejando x:
años tiene el hijo. Y el padre
años
-
Félix tiene 9 años más que su hermana y hace tres años sólo tenía el doble ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?
Identificación de incógnitas
- Hoy: Félix tien x años y su hermana y.
- Hace tres años: Félix tenía x-3 y su hermana y-3.
Plantemaineto del sistema:
- Hoy:”Félix tiene 9 años más que su hermana”.
- Hace 3 años: “sólo tenía el doble “.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por igualación:
es la edad de la hermana de Félix
es la edad de Félix
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Problemas de sistemas (II). Compras y repartos. 2º ESO
Publicado por wgs84 en Sábado, 4 Abril, 2009
-
Compro 2 revistas por 27 euros ¿Cuánto me costo cada una si una valía 3 euros menos que la otra?
Identificación de incógnitas: x es la revista de menor precio, y es la revista de mayor precio.
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”2 revistas por 27 euros”.
- Segunda ecuación:”una valía 3 euros menos que la otra”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
- Primera ecuación:”2 revistas por 27 euros”.
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Divide el número 54 en dos partes de modo que al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128
Identificación de incógnitas: x es el primer núemro, y es el segundo
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”Divide el número 54 en dos partes”.
- Segunda ecuación:”al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128″.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
- Primera ecuación:”Divide el número 54 en dos partes”.
-
En una feria de ganado hemos comprado tres potros y cinco corderos por 2650 euros mientras que un vecino ha adquirido un potro y ocho corderos por 1200 euros ¿Cuál era el precio de cada animal?
Identificación de incógnitas: x es el precio de un potro, y es el precio de un cordero.
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”tres potros y cinco corderos por 2650″.
- Segunda ecuación:”un potro y ocho corderos por 1200 euros”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
- Primera ecuación:”tres potros y cinco corderos por 2650″.
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Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios ¿Cuántos hay de cada sexo?
Identificación de incógnitas: x es el número de canarios macho, y es el núemero de canarios hembra.
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros”.
- Segunda ecuación:”las canarias exceden en 5 al doble de los canarios”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustitución:
canarios
canarias
- Primera ecuación:”Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros”.
-
Dos investigadores tienen 48 ratones blancos para experimentar. Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo, esté tendrá el doble de animales que áquel ¿Cuántos animales tiene cada uno?
Identificación de incógnitas: x es el número de ratones que tiene el primer investigador, y es el núemero de ratones que tiene el segundo investigador.
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”Dos investigadores tienen 48 ratones”.
- Segunda ecuación:”Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo El primero se queda con x-2 y el segundo con y+2) , esté tendrá el doble de animales que áquel”.
Resolución del sistema:
Lo resolvemos por sustición
ratones tenía el primer investigador
ratones tenía el 2º investigador
- Primera ecuación:”Dos investigadores tienen 48 ratones”.
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Problemas con sistemas de ecuaciones (I).Problemas aritméticos con números. 2º ESO
Publicado por wgs84 en Jueves, 2 Abril, 2009
Los problemas en los que aparecen dos o más incógnitas se pueden resolver mediante el uso de sistemas de ecuaciones. En 2º ESO nos vamos a centrar en problemas lineales (ecuaciones de primer grado) con dos incógnitas.
Muchos de estos sistemas se pueden resolver también mediante el uso de una ecuación pero la utilización de 2 incógnitas (x, y normalmente) facilita tanto la identificación de incógnitas como el planteamiento de la ecuación/es.
Al igual que en el caso de los problemas de ecuaciones los iremos clasificando por tipos.
-
Halla dos números sabiendo que la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150 y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor
Identificación de incógnitas:
- El número mayor es x y el menor es y
- El doble del mayor: 2x
- La mitad del menor: x/2
- Cuatro veces el menor: 4y
- Triple del mayor: 3x
Planteamiento del sistema:
- Primera ecuación:”la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150″.
- Segunda ecuación:”cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor”.
Resolución del sistema
Eliminamos denominadores el la primera ecuación y nos queda el sistema en forma standard:
.
Lo resolvemos por sustitución:
(*)
. Sustituyendo en (*)
-
La suma de dos números es 243 ¿Qué números son si uno es el doble del otro?
Identificación de incógnitas: x es un número e y es otro número.
Planteamiento del sistema:- Primera ecuación:”uno es el doble del otro”.
- Segunda ecuación: “La suma de dos números es 243″
Resolución del sistema:
Los resolvemos directamente por sustitución:
y por lo tanto
- Primera ecuación:”uno es el doble del otro”.
-
Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro. Teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo ¿De qué números se trata?
Identificación de incógnitas:
- Un número es x y el otro y
- Tres quintos de un número: 3x/5
- Mitad del otro: y/2
- El doble del primero : 2x
Planteamiento del sistema:
- Primera ecuación:”Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro”.
- Segunda ecuación:”el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo”.
Resolución del sistema:
Eliminamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda y nos queda el sistema en forma standard:
Lo resolvemos por sustitución:
(*)
. Sustituyendo en (*).
-
Halla dos números en los que la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor. También sabemos que la diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8
- El mayor es x y el menor y
- La tercera parte del mayor: x/3
- El anterior del menor: y-1
- El cuadruplo del menor: 4x
- Primera ecuación:”la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor”.
- Segunda ecuación:”a diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8″.
-
La suma de dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor ¿ Cuáles son dichos núnmeros?
Identificación de incógnitas:
- El mayor será x y el menor y
- el anterior del mayor: x-1
- el doble del mayor: 2x
- 5 veces el menor: 5y
Planteamiento del sistema
- Primera ecuación: ” La suma de dos números con el anterior del mayor es 419″.
- Segunda ecuación:”el doble del mayor es 5 veces el menor”.
Resolución del sistema:
ç
Lo resolvemos por reducción restando las dos ecuaciones.
sustituyendo en la primera ecuación
identificación de incógnitas:
Planteamiento del sistema
Resolución del sistema
Elimnando denominadores y ordenando el sistema obtenemos el siguiente sistema standard:
Lo resolvemos por igualación despejando la x en ambas ecuaciones.
y
(*)
sustituyendo en una de las dos ecuaciones de (*) tenemos
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Problemas de ecuaciones V.Problemas de mezclas 2º ESO
Publicado por wgs84 en Domingo, 8 Marzo, 2009
Ecuación de mezcla:
y
son las cantidades de cada uno d elos productos que intervienen en la mezcla.
y
son los precios por unidad de cada uno de los productos
Evidentemente el la cantidad de producto resultante es
es el precio de la mezcla
-
Un vinatero poseía 760 litros de vino de 8,25 euros/litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de 7,2 euros/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a 7,5 euros el litro?
Identificación de incógnitas:
es la cantidad del 2º vino que entra en la mezcla
- La cantidad de mezcla será
Planteamiento de la ecuaión
litros del segundo tipo de vino
-
Se ha comprado alcohol de quemar a 2.5 euros/litro y se ha mezclado con otro de 2,7 euros/litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de 2,55 euros/litro.
Identificación de incógnitas: Las dos cantidades han de sumar 100 que es la cantidad de mezcla
es la cantidad del primer tipo de alcohol$
es la cantidad del segundo tipo de alcohol
Planteamiento de la ecuación
Resolución d ela ecuación
litros del primer alcohol
litros del segundo alcohol
-
Se meclan 3 kilos de café de 0.8 euros/kilo con 2 kilos de café de 0.7 euros el kilo ¿Cuál será el precio de la mezcla resultante?
Identificación de incógnitas:
será el precio de la mezcla
Planteamiento de la ecuación:
Resolución de la ecuación:
euros el kilo de mezcla
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Problemas de ecuaciones IV. Problemas de edades 2º ESO
Publicado por wgs84 en Miércoles, 4 Marzo, 2009
En los problemas de edades se comparan dos momentos temporales (por ejemplo, hoy y dentro de tres años), estableciendo una relación matemática entre ellos.
-
El primo de Ángel tiene 12 años menos que éste. Dentro de 5 años el doble de su edad será igual a la de Ángel aumentada en 4 ¿Qué edad tiene cada uno?
Identificación de incógnitas: Hay que distinguir los dos momentos temporales hoy y dentro de 5 años
-
Hoy
Ángel:
años
Primo:años
-
Dentro de 5 años
Ángel:
años
Primo:años
Planteamiento de la ecuación: “Dentro de 5 años el doble de la edad del primo será igual a la de Ángel aumentada en 4 “
Resolución de la ecuación
estó es la edad de Ángel
y está la del primo
-
-
Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple de la del hijo?
Identificación de incógnitas:
son los años que han de pasar
-
Hoy
Padre:
años
Hijo:años
-
Dentro de x años
Padre:
años
Hijo:años
Planteamiento de la ecuación:dentro de x años, “la edad del padre será el triple que la del hijo”
Resolución de la ecuación
Dentro de 6 años
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Problemas de ecuaciones III. Problemas con monedas
Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009
Los problemas con monedas son una variante de los problemas de compras sólo que aquí interviene el número de monedas y billetes y el valor de estos
-
Tengo 57 euros en monedas de 2 euros y en billetes de cinco. ¿Cuántas monedas y billetes tengo si hay tres billetes más que monedas?
Identificación de incógnitas:”hay tres billetes más que monedas”
es el número de monedas de 2 euros
es el número de billetes de 5 euros
Planteamiento de la ecuación:
Resolución de la ecuación:
.Esto es el número de monedas de 2 euros
es el número de billetes de 5 euros
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Problemas de ecuaciones II. Problemas de compras y repartos 2º ESO
Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009
La ecuación que rige una compra es: donde
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es la cantidad del primer producto
-
es el precio por unidad del primer producto
-
es la cantidad del segundo producto
-
es el precio por unidad del segundo producto
-
es el coste total de la compra
Evidentemente la ecuación podría ampliarse a tres o más productos
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Hemos comprado 12 sillas y 2 mesas por un importe total de 1380 euros. Si una mesa cuesta 200 euros más que una silla ¿Cuál es el precio por unidad de cada artículo?
Identificación de incógnitas:”una mesa cuesta 200 euros más que una silla”.
-
será el precio de una silla
-
será el precio de una mesa
Planteamiento de la ecuación: Unicamente hay que plantear la ecuaión de la “compra”:
Resolución de la ecuación
que es el precio de una silla
es el precio de una mesa
-
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En la frutería de la esquina hemos comprado 3 kilos de kiwis y 2 kilos de manzanas por un importe de 9,6 euros. Calcula el precio por kilo de cada fruta sabiendo que el precio del kiwi es el doble que el de la manzana
Identificación de incógnitas: “el precio del kiwi es el doble que el de la manzana”
- El precio de la manzana será
- El precio del kiwi será
Planteamiento de la ecuación:no es más que rellenar la ecuación de la compra
Resolución de la ecuación
que es el precio del kilo de manzanas
que es el precio del kilo de kiwis
- El precio de la manzana será
- la cantidad que recibe el segundo socio será
- la cantidad que recibe el primer socio será
- la cantidad que recibe el tercer socio será
Hay que repartir 18000 euros entre tres socios sabiendo que el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero ¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?
Un reparto se resuleve teniendo en cuenta que la suma de las partes es igual a la cantidad a repartir.
La parte más complicada de estos problemas es la identificación de incógitas
Identificación de incógnitas:”el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero”
Planteamiento de la ecuación : esto ya es sencillo (la suma de las partes es igual al total)
Resolución de la ecuación
El segundo socio recibirá 2000 euros
El primer socio recibirá el euros
El tercer socio recibirá euros
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Problemas de ecuaciones I. Problemas aritméticos 2º ESO
Publicado por wgs84 en Domingo, 1 Marzo, 2009
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La suma de dos números es 50. Si se restan dos unidades al menor, el resultado es igual a un tercio del mayor
Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50:
Si un esel otro será
.
Planteamiento de la ecuación: Da igual cual sea el mayor. Par nosotros el mayor será x.
“se restan dos unidades al menor” :
“el resultado es igual a un tercio del mayor·Resolvemos la ecuación
Sacando común denominador y eliminandolos:
De ahí
Y el otro número será -
De un cierto número de naranjas, un comerciante vendió la mitad y separó la décima parte para el consumo desu casa, quedándole 200 ¿Cuántas tenía?
Identificación de incógnitas Sólo nos preguntan por el número de naranjas que será
.
Planteamiento de la ecuación La suma de todas las partes es igual al total:
“vendio la mitad”
“separó la décima parte para el consumo de su casa”:
“quedándole 200″La suma de esas tres partes es igual al número total de naranjas:
Resolución de la ecuación
Sacando común denominador y eliminandolos
-
Halla dos números cuya suma sea 50 y tales que, restando 5 unidades al mayor para añadirselas al menor, los resultados sean iguales
Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50. Si un es
el otro será
.
Planteamiento de la ecuación Consideraremos que el mayor es x
“restando 5 unidades al mayor”:
“para añadirselas al menor”:
“los resultados sean iguales”:Resolución d ela ecuación
y el otro número
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