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Archivos de la categoría ‘Algebra elemental’

Radicales, polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas

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Problemas de sistemas (IV). Granjas y ruedas. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 5 Abril, 2009

  1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134 ¿Cuántos animales hay de cada clase?

    Identificación de incógnitas:x es el número de gallinas. y es el número de conejos.

    Planteamiento del sistema:

    • “Si se cuentan las cabezas, son 50″. x+y= 50
    • “las patas son 134″. 2x+4y= 134

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=50 \\ 2x+4y= 134 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    2x+4(50-x)=134
    2x+200-4x= 134
    2x= 66
    x= 33 gallinas y y= 50-33= 17 conejos

  2. En un taller hay vehículos de 4 y de 6 ruedas. Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas ¿Cuántos vehículos hay de cada clase si en total hay 156 ruedas?

    Identificación de incógnitas:x es el número de vehículos de 4 ruedas. y es el número de vehículos de 6 ruedas.

    Planteamiento del sistema:

    • “Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas”. y-2=2x
    • “en total hay 156 ruedas”. 4x+6y= 156

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} y=2x+2 \\ 4x+6y= 156 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    4latex 4x+6(2x+2)=156$
    4x+12x+12=156
    16x= 144
    x= 9 vehículos de 4 ruedas. y= 2\cdot 9 +2=20 vehículos de 6 ruedas

  3. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de 4280 patas. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay?

    Identificación de incógnitas:x es el número de cerdos. y es el número de gallinas.

    Planteamiento del sistema:

    • “4280 patas”. 4x+2y= 4280
    • “Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el números de gallinas será el triple que éstos”. 3(x-70)=y

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 4x+2y=4280 \\ y= 3x- 210 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    4x+2(3x-210)=4280
    4x+6x-420=4280
    10x= 4700
    x= 470 cerdos y y= 3 \cdot 470 -210= 1200 gallinas

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Problemas de sistemas (III).Mezclas. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 5 Abril, 2009

  1. Se quieren mezclar vino de 0,60 euros con otro de 0.35 euros, de modo que resulte vino con un precio de 0,50 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

    Identificación de incógnitas:
    x será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.65 euros/litro. y será la cantidad que interviene en la mezcla del vino de 0.35 euros/litro.
    Planteamiento del sistema

    • “200 litros de la mezcla”. x+y= 200
    • Planteamos la ecuación de mezcla( precio del primer vino por cantidad del primer vino más precio del segundo vino por precio del segundo vino igual a precio de la mezcla por cantidad de mezcla). 0,65x+0.35y=200 \cdot 0.5

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y= 200 \\ 0,65x+0.35y=100 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    y= 200 -x
    0.65x+0.35(200-x)= 100
    0.65x +70-0.35x= 100
    0.3x= 30
    x= 100 litros del primer vino y y= 200-100=100 litros del segundo vino.

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Problemas de sistemas (III). Problemas de edades.2º ESO

Publicado por wgs84 en Sábado, 4 Abril, 2009

  1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro son 44 años. Y dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro ¿Cuántos años tienen cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: x es la edad de Juan. y es la edad de Pedro
    • Dentro de 2 años. La edad de Juan será x+2 y la edad de Pedro será y+2.

    Planteamiento del sistema

    • Hoy:”El doble de la edad de Juan más la de suhermano Pedro son 44 años”. 2x+y= 44
    • Dentro de dos años:”la edad de Juan será el doble que la de Pedro”.x+2=2(y+2)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+y=44 \\ x-2y=2 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    y=44-2x
    x-2(44-2x)=2
    x-88+4x=2
    5x= 90
    x= 18 años tiene Juan y Pedro tendrá y=44-2 \cdot 18= 8.

  2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: x es la edad del padre. y es la edad del hijo
    • Hace 5 años. La edad del padre era x-5 y la edad del hijo erá y-5.

    Planteamiento del sistema

    • Hoy:”La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años”.x+2y=120
    • Hace 5 años:”la edad del padre era triple de la del hijo”.x-5=3(y-5)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+2y=120 \\ x-3y=-10 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos popr igualación despejando x:
    120-2y= 3y-10
    130=5y
    y=26 años tiene el hijo. Y el padre 3 \cdot 26 -10= 68 años

  3. Félix tiene 9 años más que su hermana y hace tres años sólo tenía el doble ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno?

    Identificación de incógnitas

    • Hoy: Félix tien x años y su hermana y.
    • Hace tres años: Félix tenía x-3 y su hermana y-3.

    Plantemaineto del sistema:

    • Hoy:”Félix tiene 9 años más que su hermana”. x=y+9
    • Hace 3 años: “sólo tenía el doble “.x-3=2(y-3)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x=y+9 \\ x=2y-3 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación:
    y+9=2y-3
    y=12 es la edad de la hermana de Félix
    x= 12+9= 21 es la edad de Félix

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Problemas de sistemas (II). Compras y repartos. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Sábado, 4 Abril, 2009

  1. Compro 2 revistas por 27 euros ¿Cuánto me costo cada una si una valía 3 euros menos que la otra?

    Identificación de incógnitas: x es la revista de menor precio, y es la revista de mayor precio.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”2 revistas por 27 euros”. x+y=27
    • Segunda ecuación:”una valía 3 euros menos que la otra”. y=x+3

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=27 \\ y=x+3 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    x+x +3= 27
    x= 12
    y= 12+3= 15

  2. Divide el número 54 en dos partes de modo que al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128

    Identificación de incógnitas: x es el primer núemro, y es el segundo
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Divide el número 54 en dos partes”. x+y=54
    • Segunda ecuación:”al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128″.3x+2y= 128

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=54 \\ 3x+2y= 128 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    x= 54-y
    3(54-y)+2y=128
    162-3y+2y=128
    34=y
    x= 54-34=20

  3. En una feria de ganado hemos comprado tres potros y cinco corderos por 2650 euros mientras que un vecino ha adquirido un potro y ocho corderos por 1200 euros ¿Cuál era el precio de cada animal?

    Identificación de incógnitas: x es el precio de un potro, y es el precio de un cordero.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”tres potros y cinco corderos por 2650″. 3x+5y= 2650
    • Segunda ecuación:”un potro y ocho corderos por 1200 euros”.x+8y= 1200

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+5y=2650 \\ x+8y= 1200 \end{array} \right \}

    Lo resolvemos por sustitución:
    x= 1200-8y
    3(1200-8y)+5y= 2650
    3600-24y+5y= 2650
    19y=950
    y= 50
    x=1200- 50 \cdot 8= 800

  4. Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios ¿Cuántos hay de cada sexo?

    Identificación de incógnitas: x es el número de canarios macho, y es el núemero de canarios hembra.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Un canaricultor vende los canarios a 15 euros cada uno y las canarias a 6 euros cada una. En total ha recaudado 570 euros”. 15x+6y= 570
    • Segunda ecuación:”las canarias exceden en 5 al doble de los canarios”. y= 2x+5

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 15x+6y=570 \\ y=2x+5 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    15x+6(2x+5)=570
    15x+12x+30=570
    27x= 540
    x= 20 canarios
    y= 2 \cdot 20+5= 45 canarias

  5. Dos investigadores tienen 48 ratones blancos para experimentar. Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo, esté tendrá el doble de animales que áquel ¿Cuántos animales tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas: x es el número de ratones que tiene el primer investigador, y es el núemero de ratones que tiene el segundo investigador.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Dos investigadores tienen 48 ratones”. x+y= 48
    • Segunda ecuación:”Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo El primero se queda con x-2 y el segundo con y+2) , esté tendrá el doble de animales que áquel”. y+2=2(x-2)

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=48 \\ y+2=2(x-2) \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustición
    \left. \begin{array}{rcl} x+y=48 \\ y=2x-6 \end{array} \right \}
    x +2x-6=48
    3x= 54
    x= 18 ratones tenía el primer investigador
    y= 2 \cdot 18 -6= 30 ratones tenía el 2º investigador

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Problemas con sistemas de ecuaciones (I).Problemas aritméticos con números. 2º ESO

Publicado por wgs84 en Jueves, 2 Abril, 2009

Los problemas en los que aparecen dos o más incógnitas se pueden resolver mediante el uso de sistemas de ecuaciones. En 2º ESO nos vamos a centrar en problemas lineales (ecuaciones de primer grado) con dos incógnitas.

Muchos de estos sistemas se pueden resolver también mediante el uso de una ecuación pero la utilización de 2 incógnitas (x, y normalmente) facilita tanto la identificación de incógnitas como el planteamiento de la ecuación/es.

Al igual que en el caso de los problemas de ecuaciones los iremos clasificando por tipos.

  1. Halla dos números sabiendo que la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150 y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor

    Identificación de incógnitas:

    • El número mayor es x y el menor es y
    • El doble del mayor: 2x
    • La mitad del menor: x/2
    • Cuatro veces el menor: 4y
    • Triple del mayor: 3x

    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”la suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150″. 2x+\dfrac{y}{2}=150
    • Segunda ecuación:”cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor”. 4y=3x+22

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+\dfrac{y}{2}=150 \\ 4y=3x+22 \end{array} \right \}
    Eliminamos denominadores el la primera ecuación y nos queda el sistema en forma standard:
    \left. \begin{array}{rcl} 4x+y= 300 \\ -3x+4y= 22 \end{array} \right \}.
    Lo resolvemos por sustitución:
    y= 300-4x (*)
    -3x+4(300-4x)=22
    -3x+1200-16x= 22
    x= 62 . Sustituyendo en (*) y=300-4 \cdot 62= 52

  2. La suma de dos números es 243 ¿Qué números son si uno es el doble del otro?

    Identificación de incógnitas: x es un número e y es otro número.
    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”uno es el doble del otro”. y=2x
    • Segunda ecuación: “La suma de dos números es 243″ x+y= 243

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} y= 2x \\ x+y= 243 \end{array} \right \}
    Los resolvemos directamente por sustitución:
    x+2x= 243
    x= 81 y por lo tanto y=2 \cdot 81= 162

  3. Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro. Teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo ¿De qué números se trata?

    Identificación de incógnitas:

    • Un número es x y el otro y
    • Tres quintos de un número: 3x/5
    • Mitad del otro: y/2
    • El doble del primero : 2x

    Planteamiento del sistema:

    • Primera ecuación:”Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro”. \dfrac{3}{5}x=\dfrac{y}{2}
    • Segunda ecuación:”el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo”.2x= y+40

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{3}{5}x=\dfrac{y}{2} \\ 2x= y+40 \end{array} \right \}
    Eliminamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda y nos queda el sistema en forma standard:
    \left. \begin{array}{rcl} 6x-5y=0 \\ 2x- y=40 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por sustitución:
    2x-40= y (*)
    6x-5(2x-40)= 0
    6x-10x+200=0
    x= 50. Sustituyendo en (*). y= 2 \cdot 50-40=60

  4. Halla dos números en los que la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor. También sabemos que la diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8

    • El mayor es x y el menor y
    • La tercera parte del mayor: x/3
    • El anterior del menor: y-1
    • El cuadruplo del menor: 4x
    • Primera ecuación:”la tercera parte del mayor es igual al doble del número anterior al menor”. \dfrac{x}{3}=2(y-1)
    • Segunda ecuación:”a diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor es 8″. x-4y=8

    5. identificación de incógnitas:

    Planteamiento del sistema

    Resolución del sistema
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{3}=2(y-1) \\ x-4y= 8 \end{array} \right \}
    Elimnando denominadores y ordenando el sistema obtenemos el siguiente sistema standard:
    \left. \begin{array}{rcl} x-6y=-6 \\ x-4y= 8 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación despejando la x en ambas ecuaciones.
    x= 6y-6 y x= 8+4y (*)
    6y-6=4y+8
    2y=14
    y= 7
    sustituyendo en una de las dos ecuaciones de (*) tenemos
    x= 6 \cdot7-6=36

  5. La suma de dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor ¿ Cuáles son dichos núnmeros?

    Identificación de incógnitas:

    • El mayor será x y el menor y
    • el anterior del mayor: x-1
    • el doble del mayor: 2x
    • 5 veces el menor: 5y

    Planteamiento del sistema

    • Primera ecuación: ” La suma de dos números con el anterior del mayor es 419″.x+y+x-1=419
    • Segunda ecuación:”el doble del mayor es 5 veces el menor”. 2x= 5y

    Resolución del sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} x+y+x-1=419 \\ 2x= 5y \end{array} \right \}ç
    \left. \begin{array}{rcl} 2x+y=420 \\ 2x- 5y=0 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por reducción restando las dos ecuaciones.
    6y= 420
    y=70
    sustituyendo en la primera ecuación 2x+70=420
    x= \dfrac{350}{2}=175

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Problemas de ecuaciones V.Problemas de mezclas 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 8 Marzo, 2009

Ecuación de mezcla:
C_1 \cdot p_1 + C_2 \cdot p_2= (C_1+C_2) p_m
C_1 y C_2 son las cantidades de cada uno d elos productos que intervienen en la mezcla.
p_1 y p_2 son los precios por unidad de cada uno de los productos
Evidentemente el la cantidad de producto resultante es C_1+C_2
p_m es el precio de la mezcla

  1. Un vinatero poseía 760 litros de vino de 8,25 euros/litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de 7,2 euros/litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a 7,5 euros el litro?

    Identificación de incógnitas:

    • x es la cantidad del 2º vino que entra en la mezcla
    • La cantidad de mezcla será 760+x

    Planteamiento de la ecuaión
    760 \cdot 8.25 +7.2x=(760+x) \cdot 7.5
    6270+7.2x=5700+7.5x
    570=0.3x
    x= 1900 litros del segundo tipo de vino

  2. Se ha comprado alcohol de quemar a 2.5 euros/litro y se ha mezclado con otro de 2,7 euros/litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100 litros de mezcla de 2,55 euros/litro.

    Identificación de incógnitas: Las dos cantidades han de sumar 100 que es la cantidad de mezcla

    • x es la cantidad del primer tipo de alcohol$
    • 100-x es la cantidad del segundo tipo de alcohol

    Planteamiento de la ecuación
    2.5x+2.7(100-x)=100 \cdot 2.55

    Resolución d ela ecuación
    2.5x+270-2.7x= 255
    15= 0.2x
    x= 75 litros del primer alcohol
    100-75= 25 litros del segundo alcohol

  3. Se meclan 3 kilos de café de 0.8 euros/kilo con 2 kilos de café de 0.7 euros el kilo ¿Cuál será el precio de la mezcla resultante?

    Identificación de incógnitas: x será el precio de la mezcla

    Planteamiento de la ecuación: 3 \cdot 0.8+2 \cdot 0.7= 5x

    Resolución de la ecuación: 2.4+1.4=5x
    x= 0.76 euros el kilo de mezcla

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Problemas de ecuaciones IV. Problemas de edades 2º ESO

Publicado por wgs84 en Miércoles, 4 Marzo, 2009

En los problemas de edades se comparan dos momentos temporales (por ejemplo, hoy y dentro de tres años), estableciendo una relación matemática entre ellos.

  1. El primo de Ángel tiene 12 años menos que éste. Dentro de 5 años el doble de su edad será igual a la de Ángel aumentada en 4 ¿Qué edad tiene cada uno?

    Identificación de incógnitas: Hay que distinguir los dos momentos temporales hoy y dentro de 5 años

    • Hoy

      Ángel: x años
      Primo: x-12 años

    • Dentro de 5 años

      Ángel: x+5 años
      Primo: x-12+5=x-7 años

    Planteamiento de la ecuación: “Dentro de 5 años el doble de la edad del primo será igual a la de Ángel aumentada en 4 “
    2(x-7)=x+5+4

    Resolución de la ecuación
    2x -14= x+9
    x= 23 estó es la edad de Ángel
    23-12=11 y está la del primo

  2. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple de la del hijo?

    Identificación de incógnitas: x son los años que han de pasar

    • Hoy

      Padre: 42 años
      Hijo: 10 años

    • Dentro de x años

      Padre: 42+x años
      Hijo: 10+x años

    Planteamiento de la ecuación:dentro de x años, “la edad del padre será el triple que la del hijo”
    42+x= 3(10+x)

    Resolución de la ecuación
    42+x= 30+3x
    12=2x Dentro de 6 años

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Problemas de ecuaciones III. Problemas con monedas

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009

Los problemas con monedas son una variante de los problemas de compras sólo que aquí interviene el número de monedas y billetes y el valor de estos

  1. Tengo 57 euros en monedas de 2 euros y en billetes de cinco. ¿Cuántas monedas y billetes tengo si hay tres billetes más que monedas?

    Identificación de incógnitas:”hay tres billetes más que monedas”
    x es el número de monedas de 2 euros
    x+3 es el número de billetes de 5 euros
    Planteamiento de la ecuación: 2x+5(x+3)=57
    Resolución de la ecuación:
    2x+5x+15=57
    7x=42 \rightarrow x=6 .Esto es el número de monedas de 2 euros
    6+3=9 es el número de billetes de 5 euros

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Problemas de ecuaciones II. Problemas de compras y repartos 2º ESO

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Marzo, 2009

La ecuación que rige una compra es: C_1 \cdot p_1 + C_2 \cdot p_2= T donde

  • C_1 es la cantidad del primer producto
  • p_1 es el precio por unidad del primer producto
  • C_2 es la cantidad del segundo producto
  • p_2 es el precio por unidad del segundo producto
  • T es el coste total de la compra

Evidentemente la ecuación podría ampliarse a tres o más productos

  1. Hemos comprado 12 sillas y 2 mesas por un importe total de 1380 euros. Si una mesa cuesta 200 euros más que una silla ¿Cuál es el precio por unidad de cada artículo?

    Identificación de incógnitas:”una mesa cuesta 200 euros más que una silla”.

    • x será el precio de una silla
    • x+200 será el precio de una mesa

    Planteamiento de la ecuación: Unicamente hay que plantear la ecuaión de la “compra”:
    12x+2(x+200)=1380
    Resolución de la ecuación
    12x+2x+400=1380
    14x= 980
    x= 70 que es el precio de una silla
    70+200=270 es el precio de una mesa

  2. En la frutería de la esquina hemos comprado 3 kilos de kiwis y 2 kilos de manzanas por un importe de 9,6 euros. Calcula el precio por kilo de cada fruta sabiendo que el precio del kiwi es el doble que el de la manzana

    Identificación de incógnitas: “el precio del kiwi es el doble que el de la manzana”

    • El precio de la manzana será x
    • El precio del kiwi será 2x

    Planteamiento de la ecuación:no es más que rellenar la ecuación de la compra
    3 \cdot 2x +2x= 9.6

    Resolución de la ecuación
    6x+2x= 9.6
    8x= 9.6 \rightarrow x= 1.2 que es el precio del kilo de manzanas
    2 \cdot 1.2= 2.4 que es el precio del kilo de kiwis

    4. Hay que repartir 18000 euros entre tres socios sabiendo que el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero ¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?

    Un reparto se resuleve teniendo en cuenta que la suma de las partes es igual a la cantidad a repartir.
    La parte más complicada de estos problemas es la identificación de incógitas

    Identificación de incógnitas:”el primer socio ha de recibir el doble que el segundo y el tercer socio el triple que el primero”

    • la cantidad que recibe el segundo socio será x
    • la cantidad que recibe el primer socio será 2x
    • la cantidad que recibe el tercer socio será 3 \cdot 2x= 6z

    Planteamiento de la ecuación : esto ya es sencillo (la suma de las partes es igual al total)
    2x+x+6x= 18000
    Resolución de la ecuación
    9x= 1800 \rightarrow x= 2000
    El segundo socio recibirá 2000 euros
    El primer socio recibirá el 2 \cdot 2000= 4000 euros
    El tercer socio recibirá 6 \cdot 2000= 12000 euros

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Problemas de ecuaciones I. Problemas aritméticos 2º ESO

Publicado por wgs84 en Domingo, 1 Marzo, 2009

  1. La suma de dos números es 50. Si se restan dos unidades al menor, el resultado es igual a un tercio del mayor

    Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50:
    Si un es x el otro será 50-x.

    Planteamiento de la ecuación: Da igual cual sea el mayor. Par nosotros el mayor será x.
    “se restan dos unidades al menor” :50-x-2=48-x
    “el resultado es igual a un tercio del mayor· 48-x=\dfrac{x}{3}

    Resolvemos la ecuación
    Sacando común denominador y eliminandolos: 144-3x=x
    De ahí 144=4x \rightarrow x=36
    Y el otro número será 50-36= 14

  2. De un cierto número de naranjas, un comerciante vendió la mitad y separó la décima parte para el consumo desu casa, quedándole 200 ¿Cuántas tenía?

    Identificación de incógnitas Sólo nos preguntan por el número de naranjas que será x.
    Planteamiento de la ecuación La suma de todas las partes es igual al total:
    “vendio la mitad” \dfrac{x}{2}
    “separó la décima parte para el consumo de su casa”: \dfrac{x}{10}
    “quedándole 200″

    La suma de esas tres partes es igual al número total de naranjas:
    \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{10}+200=x
    Resolución de la ecuación
    Sacando común denominador y eliminandolos
    5x+x+2000=10x
    4x=2000 \rightarrow x=\dfrac{2000}{4}=500

  3. Halla dos números cuya suma sea 50 y tales que, restando 5 unidades al mayor para añadirselas al menor, los resultados sean iguales

    Identificación de incógnitas: Nos preguntan por dos números que suman 50. Si un es x el otro será 50-x.
    Planteamiento de la ecuación Consideraremos que el mayor es x
    “restando 5 unidades al mayor”: x-5
    “para añadirselas al menor”:50-x+5=55-x
    “los resultados sean iguales”: x-5=55-x

    Resolución d ela ecuación
    2x= 60 \rightarrow x= 30
    y el otro número 50-30= 20

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