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Radicales, polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y sistemas

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Publicado por wgs84 en Sábado, 12 Abril, 2008

$\left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x-2y+3z & = & 13 \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}$

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
$x=4-y-z$

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
$\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}$
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
$z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}$
$27+9y=14-4y$
$13 y = -13$
$y=-1$
$z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3$
Sustituimos los dos valores obtenidos en $x= 4-y-z$
$x= 4+1-3=2$

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Racionalización de denominadores

Publicado por wgs84 en Sábado, 5 Abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

Un sólo radical de índice dos en el denominador

Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}$
Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
$\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}$
Veamos algunos ejemplos más:
- $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}$
- $\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}$ . Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
Con un radical de índice cualquiera en el denominador

$\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$
- $\dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{x}$ . Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
- $\dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}$ . Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
- Ejercicio propuesto: $\dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}$
Racionalización de binomios irracionales de índice 2

binomios irracionales de índice 2: $1-\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}+7$ , $\sqrt{7} -\sqrt{5}$
La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones $a+b$ y $a-b$ son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

$\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
$\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)$
- $\dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2+\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2+\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2+\sqrt{10}}{3}$
- $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}$

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Sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas con transformaciones previas

Publicado por wgs84 en Lunes, 31 Marzo, 2008

La forma estandad de un sistemas de ecuaciones con dos incognitas es esta:

$\left. \begin{array}{rcl} Ax+By & = & C \\ A' x+B' y & = & C' \end{array} \right\}$

Muchos sistemas no aparecen directamente con esta forma. En estos tendremos que eliminar paréntesis y denominadores y agrupar términos semajantes para dejarlos en la forma “estandard” y así podder aplicar algunos de los métodos de resolución.

Veamos algunos ejemplos:

Eliminación de denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}+\dfrac{5y}{4} & = & 2 \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{5y}{3} & = & \dfrac{3}{2} \end{array} \right\}$ .
Eliminamos denominadores en ambas ecuaciones:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{4}+\dfrac{5y}{4} & = & \dfrac{8}{4} \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{10y}{6} & = & \dfrac{9}{6} \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 2x+5y & = & 8 \\ x-10y & = & 9 \end{array} \right\}$ .

Ya lo tenemos en la forma “standard” y lo resolvemos por sustitución.
Despejamos la varible x de la segunda ecuación: $x=9+10y$
Sustituimos en la primera y resolvemos:
$2(9+10y) +5y= 8$
$18+20y+5y=8$
$25y=-10$
$y=-\dfrac{2}{5}$
$x=9-10 \cdot \dfrac{2}{5}$
$x=9-4$
$x=5$
Eliminación de paréntesis

$\left. \begin{array}{rcl} 3(x+4) & = & 2(2y+3) \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .
$\left. \begin{array}{rcl} 3x+12 & = & 4y+6 \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 3x-4y & = & -6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

Esta es la forma “standard”. Lo resolvemos por reducción multiplicando por $-1$ la primera ecuación y sumandolas a continuación:
$\left. \begin{array}{rcl} -3x+4y & = & 6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

$3x=6$
$x= 2$
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor de x
$3 \cdot 2-4y=-6$
$6-4y=-6$
$-4y=-12$
$y= 3$

Sistemas con paréntesis y denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2(x-3)}{3}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & 1 \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+2(3-y)=0 \end{array} \right\}$
Eliminamos primero los denominadores:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{4(x-3)}{6}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & \dfrac{6}{6} \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+\dfrac{4(3-y)}{2}=0 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} 4(x-3)-3(y-2) & = & 6 \\ x-2+4(3-y)=0 \end{array} \right \}$
Eliminamos parénteis:
$\left. \begin{array}{rcl} 4x-12-3y+6 & = & 6 \\ x-2+12-4y=0 \end{array} \right \}$ Transponemos términos y agrupamos y tenemos el sistema en la forma “standard”:

$\left. \begin{array}{rcl} 4x-3y & = & 12 \\ x-4y & = & -10 \end{array} \right \}$

Lo resolvemos por sustitcuión. Despejamos la x de la 2ª ecuación:
$x=4y-10$
Sustituimos en la 1ª ecuación: $4(4y-10)-3y=12$
$16y -40-3y=12$
$13y= 52$
$y= 4$
Sustituyendo en $x=4y-10$ tenemos que $x=4 \cdot 4 -10$
$x=6$

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Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Métodos de resolución

Publicado por wgs84 en Viernes, 28 Marzo, 2008

Método de sustitución

Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes $1$ o $-1$ .
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+y & = & 7 \\ 3x-2y & = & 21 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la $y$ de la primera ecuación: $y=7-2x$
2. Sustituimos en la otra ecuaciñon: $3x-2(7-2x)=21$
3. Resolvemos la ecuacón resultante:
  $3x-14+4x=21$
  $7x=35$
  $x= 5$
4. Para averiguar el valor de $y$ sustituimos el valor de $x=5$ en la expresión obtenida el el paso 1
  $y= 7-2 \cdot 5$
  $y=-3$
Método de igualación

$\left.\begin{array}{rcl} 4x-3y & = & -2 \\ 5x+2y & = & 9 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
  $x=\dfrac{3y-2}{4}$
  $x=\dfrac{9-2y}{5}$
2. Igualamos las dos expresiones anteriores
  $\dfrac{3y-2}{4}=\dfrac{9-2y}{5}$
3. Resolvemos la ecuación resultante
  $15y-10=36-8y$
  $23y=46$
  $y=2$
4. Para calcular el valor de x sustituimos $y=2$ en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
  $x= \dfrac{3 \cdot 2 -2}{4}=1$
Método de reducción

Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+5y & = & -3 \\ -3x+4y & = & -7 \end{array} \right\}$
1. Vamos a eliminar la $x$ . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
  $\left.\begin{array}{rcl} 6x+15y & = & -9 \\ -6x+8y & = & -14 \end{array} \right\}$
2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
  $23y=-23$
  $y=-1$
3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
  $2x +5 \cdot (-1)= -3$
  $2x=2$
  $x= 1$

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Resolución de ecuaciones de primer grado mediante las propiedades de las igualdades

Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008

ECUACIONES SIN PARÉNTESIS Y SIN DENOMINADORES

Vamos a resolver una ecuación sencilla: $2x-1=5x-3$

1)Transposicón de términos.

Se trata de dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro. Queremos que $5x$ desaparezca del miembro izquierdo y aparezca en el derecho. Para eso usamos la propiedad de la suma y sumamos a ambos lados el opuesto de $5x$ que es $-5x$ :

$2x-1-5x=5x-5x-3$

Como la suma de los opuestos es el elemento neutro , es decir, “cero” , $5x$ desaparece y aparece en el otro miembro con el signo cambiado

$2x-1-5x=-3$

Repetimos el proceso con $-1$

$2x-5x-1+1=-3+1$

$2x-5x=-3+1$

Si te fijas el resultado es el mismo que con $5x$ . La aplicación de la propiedad de la suma permite pasar un término de un miembro a otro cambiandole el signo,

2) Agrupamos términos semejantes (sumar las x con las x y los números con los números)

$-3x=-2$

3)Despejamos x.Para dejar sóla la x en el miembro izquierdo vamos a utilizar la propiedad del producto. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por el inverso del coeficiente de la x. En este caso por el inverso de $-3$ que es $- \dfrac{1}{3}$ .

$-\dfrac{1}{3} \cdot (-3)x=-2 \cdot \left (- \dfrac{1}{3} \right )$

Operamos y obtenemos la solución:

$x= \dfrac{-2}{-3}$

Si te fijas el $-3$ que esta multiplicando ha pasado al otro miembro dividiendo.

$x= \dfrac{2}{3}$

Todo esto se traduce en las conocida norma:

Todo lo que esta sumando pasa al otro lado restando y viceversa

Todo lo que está multiplicando a todo un miembro pasa al otro lado dividiendo y viceversa
ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Si la ecuación tiene paréntesis unicamente hay que añadir un paso a lo anterior: la eliminación de parénteis mediante la propiedad distributiva .

$2-3(x+1)+2(2-3x)=5-(4x-3)$

1)Eliminamos paréntesis:

$2-3x-3+4-6x=5-4x+3$

2)Transposición de términos

$-3x-6x+4x=5+3-2-4$

3)Agrupamos términos semejantes

$-5x=2$

4)Despejamos la x

$x= -\dfrac{2}{5}$
ECUACIONES CON DENOMINADORES

Cuando en las ecuaciones aparecen denominadores lo primero que hacemos e s sacar común denominador para poder sumar/restar los numeradores.

$\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{5}=\dfrac{3x}{4} +\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10x}{20}-\dfrac{12}{20}=\dfrac{15x}{20}+\dfrac{10}{20}$

$\dfrac{10x-12}{20}= \dfrac{15x+10}{20}$

Vamos a eliminar los denominadores usando la propiedad del producto. Multiplicamos ambos términos por el común denominador que es $20$ .

$20 \cdot \left ( \dfrac{10x-12}{20} \right )= 20 \cdot \left( \dfrac{15x+10}{20} \right )$

$10x-12=15x+10$

Una vez eleiminados los denominadores se resuleve como los casos anteriores

$10x-15x=10+12$

$-5x=22$

$x= -\dfrac{22}{5}$

Ejercicos propuesto:
Resuelve usando las propiedades de las igualdades la ecuación: $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+2}{4}$

Resolución :

Sacamos común denominador en las fracciones que intervienen:
$\dfrac{6(x-1)}{12} -\dfrac{4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}$
$\dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}$
Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el común denominador $12$ :
$12 \cdot \left (\dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12} \right )= 12 \cdot \left (\dfrac{3(x+2)}{12} \right )$
$6(x-1)-4(2x-3)=3(x+2)$
Eliminamos paréntesis:
$6x-6-8x+12=3x+6$
Transponemos términos mediante la propiedad de la suma:
$6x-8x-3x+12-12=3x-3x+6-12$
$6x-8x-3x=6-12$
Agrupamos términos semejantes:
$-5x=-6$
Despejamos la $x$ multiplicando ambos términos por $-\dfrac{1}{5}$ , el inverso de $-5$ :
$-\dfrac{1}{5} \cdot (-5x)=-6 \cdot \left (-\dfrac{1}{5} \right )$
La solución es $x=\dfrac{6}{5}$

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Sistemas de ecuaciones. Concepto de solución

Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las que vamos a buscar una solución común.
Los sistemas los vamos a clasificar en lineales y no linelaes. Los sistemas de ecuaciones lineal son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación gráfica es una linea recta.

Vamos a explicar el concepto de solución de un sistema. Para ello vamos a utilizar un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incognitas.
$\left. \begin{array}{rcl} 2x+y & = & 5 \\ x+y & = & 3 \end{array} \right\}$
La pareja de valores $(x, y)=(1, 0)$ no es solución dels sistema al sustituir dichos valores en el sistema las igualdades aritméticas que resultan son falsas. (Las ecuaciones no quedan satisfechas )
$2 \cdot 1+ 0 \neq 5$ y $1+0 \neq 3$ .

La pareja de valores $( 2, 1)$ sí que es solución del sistema porque “satisface” todas las ecuaciones
$2 \cdot 2 +1= 5$ y $2 +1 =3$ .

Para buscar las soluciones de los sistemas aplicaremos distintos métodos de resolución

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Igualdades matemáticas. Concepto de solución. Identidades y ecuaciones

Publicado por wgs84 en Domingo, 17 Febrero, 2008

Una igualdad es una expresión matemática en la que aparecen uno más signos (=). Vamos a tratar dos tipos de igualdades:

igualdades numéricas o aritméticas: $2 \cdot 3 +5=11$
igualdades algebraicas : $2x^2 y-3z= 9$ . En estas intervienen números y letras relacionados entre si por medio de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.

Propiedades axiomáticas de las igualdades

Propiedad de la suma: si en una igualdad sumamos la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.

$F=G$

$F+k=G+k$

$2+3=5$

$2+3-9=5-9$

Propiedad del producto: si en una igualdad multiplicamos por la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.

$F=G$

$F \cdot k=G \cdot k$

$2+3=5$

$(2+3) \cdot 4=5 \cdot 4$

La solución de una expresión algebraica es el valor o conjunto de valores que transforman una igualda algebriaca en una igualdad aritmética.

La solución de $x-3=0$ es 3 por que si sustituimos x por 3 tenemos que $3-3=0$ y esto es cierto.
Si hacemos que x= 5 resulta una igualdad falsa $5-3=0$ .
En la igualdad $x+y=1$ hay infinitas parejas de valores(x,y) que son solución: (1,0); (0,1); (2,-1); (3,-2)……y también hay infinitas parejas que no lo son: (7,7); (0.5, 0.3)……..
En la igualdad $x+x=2x$ todos los posibles valores de x son solución

Una igualdad se llama identidad cuando todos los posibles valores de las variables son solución:

$x+x=2x$
$(a+b)^2=a^+2ab+b^2$

Si no todos los posibles valores de las variables son solución estamos ante una ecuación

$2x+1=0$ es una ecuación de primer grado con una incógnita
$x+y=1$ es una ecuación de primer grado con dos incógnitas
$x^2-3x+2=0$ es una ecuación de segundo grado con una incógnita

Buscar las posibles soluciones de unaecuación es el proceso que conocemos como resolución de ecuaciones

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Ecuaciones irracionales II

Publicado por wgs84 en Jueves, 7 Febrero, 2008

Vamos a resolver un ejemplo de ecuaciones irracionales con tres radicales:

$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{4x+1}$

1)Aislamos un radical y elevamos al cuadrado ambos miembros. En esta ecuación ya esta aislado el radical

$\left ( \sqrt{x-2}+\sqrt{x+3} \right )^2=\left (\sqrt{4x+1} \right )^2$

$(\sqrt{x-2})^2+2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+3}+ ( \sqrt{x+3})^2=(\sqrt{4x+1})^2$

$x-2+2 \cdot\sqrt{(x-2)(x+3)}+x+3=4x+1$

2)Aislamos el radical que queda y volvemos elevar al cuadrado

$2 \cdot \sqrt{(x-2)(x+3)}=2x$

$\sqrt{(x-2)(x+3)}=x$

$(x-2)(x+3)=x^2$

3)Resolvemos la ecuación resultante

$x^2+x-6=x^2$

$x=6$

4)Comprobamos que la solucón es buena

$\sqrt{6-2}+\sqrt{6+3}=\sqrt{24+1}=2+3=5$ Es buena

Ecuaciones irracionales con radicales en el denominador

$\dfrac{21}{\sqrt{6x+1}}-\sqrt{6x+1}=2 \cdot \sqrt{3x}$

1)Sacamos común denominador , eliminamos denominadores y operamos

$\dfrac{21- (\sqrt{6x+1})^2}{\sqrt{6x+1}}=\dfrac{2 \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{6x+1}}{\sqrt{6x+1}}$

$21-6x-1=2\cdot \sqrt{3x(6x+1)}$

$20-6x=2 \cdot \sqrt{18x^2+3x}$

$2(10-3x)= 2 \cdot \sqrt{18x^2+3x}$

$10-3x =\sqrt{18x^2+3x}$

2)Elevamos al cuadrado ambos miembros

$100-60x+9x^2=18x^2+3x$

$0=9x^2+63x-100$

3)REsolvemos la ecuación de segundo grado resultante y obtenemos como soluciones

$x= -\dfrac{25}{3}$ y $x=\dfrac {4}{3}$

La primera no es válida porque genera radicandos negativos $6 \left ( -\dfrac{25}{3} \right )+1=-50+1=-49$

La segunda $x=\dfrac {4}{3}$ si que es válida $\sqrt{6 \cdot \dfrac{4}{3}+1}=\sqrt{9}=3$ y entonces si sustituimos en la ecuación original:

$7-3=2 \cdot 2$

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Ecuaciones irracionales (I)

Publicado por wgs84 en Martes, 5 Febrero, 2008

Son ecuaciones irracionales aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.

La resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:

Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que, además de tener las soluciones de la primera, puede contener las de una segunda, obtenida al cambiar de signo uno de los miembros de la ecuación dada.

Sea la ecuación: $F(x)=G(x)$

Elevamos al cuadrado ambos miembros: $F(x)^2=G(x)^2$

Ahora la ecuación puede escribirse como una diferencia de cuadrados : $F(x)^2-G(x)^2=0$

Descomponemos enfactores: $(F(x)-G(x))(F(x)+G(x))=0$

La solución de la ecuaión será la solución de las ecuaciones parciales:

$F(x)-G(x)=0$ equivalente a $F(x)=G(x)$

$F(x)+G(x) =0$ equivalente a $F(x)=-G(x)$

Por esta razón hay que comprobar las soluciones que resultan de elevar al cuadrado

Ejemplo 1 Con un solo radical $2+ \sqrt{2x+2}=x-1$

1)Aislamos el radical en uno de los miembros

$\sqrt{2x+2}=x-1-2$

$\sqrt{2x+2}=x-3$

2)Elevamos al cuadrado ambos miembros

$\left (\sqrt{2x+2} \right)^2=(x-3)^2$

$2x+2= x^2-6x+9$

$0=x^2-8x+7$

3)Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante

$x= \dfrac{8 \pm \sqrt{64-28}}{2}=\dfrac{ 8 \pm 6}{2}$

Las soluciones son $x= 7$ y $x=1$

4)Comprobamos las soluciones

$x=7 \rightarrow 2+\sqrt{14+2}=7-1$ cierta

$x=1 \rightarrow 2+\sqrt{2+2}=1-1$ falsa

Ejemplo 2 con 2 radiclaes $\sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6$

1)Aislamos uno de los radicales en uno de los miembros

$\sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3}$

2)Elevamos al cuadrado ambos términos

$\left ( \sqrt{x+9} \right )^2= \left ( 6- \sqrt{x-3} \right )^2$

$x+9 = 36-12 \cdot \sqrt{x-3} +x-3$

3)Ahora es una ecuación con un solo radical. Lo aislamos

$12\sqrt{x-3}=24$

$\sqrt{x-3}=2$

4)Elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos

$\left ( \sqrt{x-3} \right )^2= 2^2$

$x-3=4$

$x= 7$

5) Comprobamos la solución: $\sqrt{7+9}+\sqrt{7-3}=6 \rightarrow 4+2=6$ es cierta

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Ecuaciones bicuadradas, bicúbicas, biquintas……

Publicado por wgs84 en Lunes, 4 Febrero, 2008

Vamos a resolver ecuaciones del tipo $ax^{2m}+bx^m+c=0$ . Las vamos a resolver mediante un cambio de variable.

Si decimos que $x^m=t$ entonces $x^{2m}= (x^m)^2=t^2$ . Y la ecuación original se transforma en la ecuación de segundo grado $at^2+bt+c=0$ .

Resolvemos la ecuación y obtendremos 2 soluciones para t. El último paso es deshacer el cambio de variable y obtener los valores para x.

Vamos a resolver algunos ejemplos para el caso $m=2$ , ecuaciones bicuadradas:

Ejemplo 1 $x^4-5x^2+4=0$

1) Cambio de variable: $x^2=t$ . Por lo que tenemos $t^2-5t+4$ .

2)Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $t= \dfrac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2}=\dfrac{5 \pm 3}{2}$

Los valores de t serán $t_1=4$ y $t_2=1$

3)Deshacemos el cambio de varible

$x^2=4 \rightarrow x= \pm \sqrt{4}=\pm 2$
$x^2=1 \rightarrow x= \pm \sqrt{1}=\pm 1$

Ejemplo 2 $x^4-8x^2-9=0$

1) Cambio de variable: $x^2=t$ . Por lo que tenemos $t^2-8t-9$ .

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $t= \dfrac{8 \pm \sqrt{64+36}}{2}=\dfrac{8 \pm 10}{2}$

Los valores de t serán $t_1=9$ y $t_2=-1$

3)Deshacemos el cambio de varible

$x^2=9 \rightarrow x= \pm \sqrt{9}=\pm 3$
$x^2=-1 \rightarrow x= \pm \sqrt{-1}$ No es solución real

Ejemplo 3 $x^4+8x^2+12=0$

1) Cambio de variable: $x^2=t$ . Por lo que tenemos $t^2+8t+12$ .

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $t= \dfrac{-8 \pm \sqrt{64-48}}{2}=\dfrac{-8 \pm 4}{2}$

Los valores de t serán $t_1=-6$ y $t_2=-2$

3)Deshacemos el cambio de varible

$x^2=-6 \rightarrow x= \pm \sqrt{-6}$ No es solución real
$x^2=-2 \rightarrow x= \pm \sqrt{-2}$ No es solución real

Por último veamos un ejemplo de ecuación bicúbica. Para $m=3$ $ax^6+bx^3+x=0$

Ejemplo 4 $x^6-7x^3-8=0$

1) Cambio de variable: $x^3=t$ . Por lo que tenemos $t^2-7t-8$ .

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $t= \dfrac{7 \pm \sqrt{49+32}}{2}=\dfrac{7 \pm 9}{2}$

Los valores de t serán $t_1=8$ y $t_2=-1$

3)Deshacemos el cambio de varible

$x^3=8 \rightarrow x= \sqrt[3]{8}=2$
$x^3=-1 \rightarrow x= \sqrt[3]{-1}=-1$

Del mismo modo se resolverán las ecuaciones biquintas como $x^{10}-33x^5+32=0$ , o bisextas o……

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