Julio 2008
L	M	X	J	V	S	D
« May
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Archivos para 'Sistemas de ecuaciones algebraicos' Categoría

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicos lineales con 2 y 3 incógnitas y no lineales con 2 incógnitas

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Publicado por wgs84 en Sábado, 12 Abril, 2008

$\left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x-2y+3z & = & 13 \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}$

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
$x=4-y-z$

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
$\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}$
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
$z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}$
$27+9y=14-4y$
$13 y = -13$
$y=-1$
$z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3$
Sustituimos los dos valores obtenidos en $x= 4-y-z$
$x= 4+1-3=2$

Publicado en Algebra elemental, Matemáticas, Sistemas de ecuaciones algebraicos | Sin Comentarios »

Sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas con transformaciones previas

Publicado por wgs84 en Lunes, 31 Marzo, 2008

La forma estandad de un sistemas de ecuaciones con dos incognitas es esta:

$\left. \begin{array}{rcl} Ax+By & = & C \\ A' x+B' y & = & C' \end{array} \right\}$

Muchos sistemas no aparecen directamente con esta forma. En estos tendremos que eliminar paréntesis y denominadores y agrupar términos semajantes para dejarlos en la forma “estandard” y así podder aplicar algunos de los métodos de resolución.

Veamos algunos ejemplos:

Eliminación de denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}+\dfrac{5y}{4} & = & 2 \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{5y}{3} & = & \dfrac{3}{2} \end{array} \right\}$ .
Eliminamos denominadores en ambas ecuaciones:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{4}+\dfrac{5y}{4} & = & \dfrac{8}{4} \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{10y}{6} & = & \dfrac{9}{6} \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 2x+5y & = & 8 \\ x-10y & = & 9 \end{array} \right\}$ .

Ya lo tenemos en la forma “standard” y lo resolvemos por sustitución.
Despejamos la varible x de la segunda ecuación: $x=9+10y$
Sustituimos en la primera y resolvemos:
$2(9+10y) +5y= 8$
$18+20y+5y=8$
$25y=-10$
$y=-\dfrac{2}{5}$
$x=9-10 \cdot \dfrac{2}{5}$
$x=9-4$
$x=5$
Eliminación de paréntesis

$\left. \begin{array}{rcl} 3(x+4) & = & 2(2y+3) \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .
$\left. \begin{array}{rcl} 3x+12 & = & 4y+6 \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 3x-4y & = & -6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

Esta es la forma “standard”. Lo resolvemos por reducción multiplicando por $-1$ la primera ecuación y sumandolas a continuación:
$\left. \begin{array}{rcl} -3x+4y & = & 6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

$3x=6$
$x= 2$
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor de x
$3 \cdot 2-4y=-6$
$6-4y=-6$
$-4y=-12$
$y= 3$

Sistemas con paréntesis y denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2(x-3)}{3}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & 1 \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+2(3-y)=0 \end{array} \right\}$
Eliminamos primero los denominadores:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{4(x-3)}{6}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & \dfrac{6}{6} \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+\dfrac{4(3-y)}{2}=0 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} 4(x-3)-3(y-2) & = & 6 \\ x-2+4(3-y)=0 \end{array} \right \}$
Eliminamos parénteis:
$\left. \begin{array}{rcl} 4x-12-3y+6 & = & 6 \\ x-2+12-4y=0 \end{array} \right \}$ Transponemos términos y agrupamos y tenemos el sistema en la forma “standard”:

$\left. \begin{array}{rcl} 4x-3y & = & 12 \\ x-4y & = & -10 \end{array} \right \}$

Lo resolvemos por sustitcuión. Despejamos la x de la 2ª ecuación:
$x=4y-10$
Sustituimos en la 1ª ecuación: $4(4y-10)-3y=12$
$16y -40-3y=12$
$13y= 52$
$y= 4$
Sustituyendo en $x=4y-10$ tenemos que $x=4 \cdot 4 -10$
$x=6$

Publicado en Algebra elemental, Matemáticas, Sistemas de ecuaciones algebraicos | Sin Comentarios »

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Métodos de resolución

Publicado por wgs84 en Viernes, 28 Marzo, 2008

Método de sustitución

Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes $1$ o $-1$ .
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+y & = & 7 \\ 3x-2y & = & 21 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la $y$ de la primera ecuación: $y=7-2x$
2. Sustituimos en la otra ecuaciñon: $3x-2(7-2x)=21$
3. Resolvemos la ecuacón resultante:
  $3x-14+4x=21$
  $7x=35$
  $x= 5$
4. Para averiguar el valor de $y$ sustituimos el valor de $x=5$ en la expresión obtenida el el paso 1
  $y= 7-2 \cdot 5$
  $y=-3$
Método de igualación

$\left.\begin{array}{rcl} 4x-3y & = & -2 \\ 5x+2y & = & 9 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
  $x=\dfrac{3y-2}{4}$
  $x=\dfrac{9-2y}{5}$
2. Igualamos las dos expresiones anteriores
  $\dfrac{3y-2}{4}=\dfrac{9-2y}{5}$
3. Resolvemos la ecuación resultante
  $15y-10=36-8y$
  $23y=46$
  $y=2$
4. Para calcular el valor de x sustituimos $y=2$ en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
  $x= \dfrac{3 \cdot 2 -2}{4}=1$
Método de reducción

Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+5y & = & -3 \\ -3x+4y & = & -7 \end{array} \right\}$
1. Vamos a eliminar la $x$ . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
  $\left.\begin{array}{rcl} 6x+15y & = & -9 \\ -6x+8y & = & -14 \end{array} \right\}$
2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
  $23y=-23$
  $y=-1$
3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
  $2x +5 \cdot (-1)= -3$
  $2x=2$
  $x= 1$

Publicado en Algebra elemental, Matemáticas, Sistemas de ecuaciones algebraicos | 3 Comentarios »

Sistemas de ecuaciones. Concepto de solución

Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las que vamos a buscar una solución común.
Los sistemas los vamos a clasificar en lineales y no linelaes. Los sistemas de ecuaciones lineal son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación gráfica es una linea recta.

Vamos a explicar el concepto de solución de un sistema. Para ello vamos a utilizar un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incognitas.
$\left. \begin{array}{rcl} 2x+y & = & 5 \\ x+y & = & 3 \end{array} \right\}$
La pareja de valores $(x, y)=(1, 0)$ no es solución dels sistema al sustituir dichos valores en el sistema las igualdades aritméticas que resultan son falsas. (Las ecuaciones no quedan satisfechas )
$2 \cdot 1+ 0 \neq 5$ y $1+0 \neq 3$ .