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Archivos de la categoría ‘Combinatoria’

Binomio de Newton 3

Publicado por wgs84 en Lunes, 2 Abril, 2007

Doy la solución al desarrollo propuesto la semana pasada: $\left ( \dfrac{2x}{3}+ \dfrac{9}{2x^2} \right )^4$

Recordando que $9= 3^2$ y que $4= 2^2$ tenemos que:

$\dbinom{4}{0} \dfrac{2^4 x^4}{3^4}+\dbinom{4}{1}\dfrac{2^3 x^3}{3^3}\dfrac{3^2}{2x^2}+\dbinom{4}{2} \dfrac{2^2 x^2}{3^2}\dfrac{3^4}{2^2 x^4}+\dbinom{4}{3}\dfrac{2x}{3}\dfrac{3^6}{2^3 x^6}+\dbinom{4}{4}\dfrac{3^8}{2^4 x^8}=$

$\dfrac{2^4 x^4}{3^4}+\dfrac{2^5 x^3}{3^3}\dfrac{3^2}{2x^2}+\dfrac{2^3 x^2}{3^2}\dfrac{3^5}{2^2 x^4}+\dfrac{2^3 x}{3}\dfrac{3^6}{2^3 x^6}+\dfrac{3^8}{2^4 x^8}=$

$\dfrac{2^4 x^4}{3^4}+\dfrac{2^4 x}{3}+\dfrac{2\cdot 3^3}{x^2}+\dfrac{3^5}{x^5}+\dfrac{3^8}{2^4 x^8}=$

$\dfrac{16x^4}{81}+\dfrac{16x}{3}+\dfrac{54}{x^2}+\dfrac{ 243}{x^5}+\dfrac{6561}{16x^8}$

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Binomio de Newton 2

Publicado por wgs84 en Viernes, 30 Marzo, 2007

1) Calcula el término de lugar 42 del desarrollo de $\left ( 2a+ \dfrac{5}{b} \right )^{200}$ El primer término será $\dbinom{200}{0}2^{200}a^{200}$

El segundo término será $\dbinom{200}{1}2^{199}a^{199} \cdot \dfrac{5}{b}$

Así pues el y término de lugar 42 será $\dbinom{200}{41} 2^{159}a^{159}\cdot \dfrac{5^{41}}{b^{41}}$

En general un término de lugar k tiene la forma $T_k=\dbinom{n}{k-1}a^{n-k+1}\cdot b^{k-1}$

2) ¿Cual es el término que contiene $a^7$ en el desarrollo de $\left ( 3a^2b+\dfrac{2b}{a} \right ) ^{20}$

Un término de lugar k en ese desarrollo tendra la forma: $\dbinom{20}{k-1}3^{20-k+1}\cdot a^{40-2k+2}\cdot \dfrac{2^{k-1}b^{k-1}}{a^{k-1}}$

El factor a es el que nos interesa y su exponente resultará:

$40-2k+2-(k-1)= 43-3k$ .

Como buscamos el exponente 7 resolvemos la ecuación 43-3k=7 cuya solución es k= 12

3) Calcula el término central del desarrollo $\left (x+\sqrt{x}) \right )^6$
El término central es aquel que deja el mismo número de términos a su izquierda que a su derecha. Como en este caso hay 7 términos (impar) hay un único término central que será $\frac{7+1}{2}=4$
$\dbinom{6}{3}x^3\cdot (x^{1/2})^3= 20x^{\frac{9}{2}}$

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Binomio de Newton 1

Publicado por wgs84 en Jueves, 29 Marzo, 2007

El binomio de Newton sirve para calcular potencias de binomios y su formula es:

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i$

Si se trata de una diferencia la fórmula es:

$(a-b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dbinom{n}{i} a^{n-i}\cdot b^i$

Veamos una par de ejemplos sencillos:

$(2x+3)^3= \dbinom{3}{0} (2x)^3 \cdot 3^0+\dbinom{3}{1} (2x)^2 \cdot 3^1+\dbinom{3}{2} (2x)^1 \cdot 3^2+\dbinom{3}{3} (2x)^0 \cdot 3^3$

Calculando potencias y números combinatorios (triángulo de Tartaglia-Pascal) nos queda:

$8x^3+36x^2+54x+27$

Ejemplo de resta:

$(3x-2y)^4=(-1)^0\cdot \dbinom{4}{0} (3x)^4 \cdot(2y)^0 +(-1)^1\cdot \dbinom{4}{1} (3x)^3 \cdot(2y)^1+(-1)^2\cdot \dbinom{4}{2} (3x)^2 \cdot(2y)^2+(-1)^3\cdot \dbinom{4}{3} (3x)^1 \cdot(2y)^3+ (-1)^4\cdot \dbinom{4}{4} (3x)^0 \cdot(2y)^4$

Calculando potencias y números combinatorios:

$16y^4-96y^3 x+216y^2x^2-216 yx^3+81x^4$

El desarrollo del binomio de Newton puede complicarse si aparecen expresiones fraccionarias y hay que simplificarlas. Por ejemplo:

$\left ( \dfrac{2x}{3}+\dfrac{9}{2x^2} \right )^4$

Intentadlo. La solución

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Ecuaciones con números combinatorios 4

Publicado por wgs84 en Lunes, 19 Marzo, 2007

Vamos a resolver un último ejemplo de ecuación con números combinatorios. Se trata de ecuaciones con números combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuleven “rebajando” los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuación

$3\dbinom{x}{4}=5\dbinom{x}{2}$

$3\cdot \dfrac{x!}{4!\cdot(x-4)!}=5\cdot\dfrac{x!}{2!\cdot(x-2)!}$

Método 1:

$\dfrac{3x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x(x-1)(x-2)!}{2!(x-2)!}$

Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:

$x(x-1)(x-2)(x-3)=20x(x-1)$

Eliminamos los factores $x(x-1)$

$(x-2)(x-3)=20$

$x^2-5x-14=0$

Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.

Metodo 2:

Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:

$\dfrac{3x!}{4\cdot3\cdot2!(x-4)!}=\dfrac{5x!}{2!(x-2)(x-3)(x-4)!}$

Eliminamos factores comunes:

$\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{(x-2)(x-3)}$

Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuación de segundo grado y a la misma solución.

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Ecuaciones con números combinatorios 3

Publicado por wgs84 en Domingo, 18 Marzo, 2007

Resolución mediante la aplicación de la fórmula de Stifel:

$\dbinom{a}{1}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a}{2}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Aplicamos la fórmula de Stifel: $\dbinom{a}{1}+\dbinom{a}{2}=\dbinom{a+1}{2}$

La ecuación queda así:

$\dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Volvemos a aplicar la fórmula: $\dbinom{a+1}{2}+\dbinom{a+1}{3}=\dbinom{a+2}{3}$

La ecuación queda así:

$\dbinom{a+2}{3}+\dbinom{a+2}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Aplicamos la fórmula por tercera vez y obtenemos:

$\dbinom{a+3}{4}=\dbinom{a+3}{10}$

Estos números combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que:

$a+3-10=4$ y entonces a=11

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Ecuaciones con números combinatorios 2

Publicado por wgs84 en Domingo, 18 Marzo, 2007

Ecuaciones del tipo : $\dbinom{m}{a}=\dbinom{m}{b}$

Estos dos números combinatorios o son idénticos o són complementarios:

Si son idénticos: a=b
Si son complementarios: a=m-b m=a+b

Ejemplo: $\dbinom{10+p}{p+4}=\dbinom{10+p}{2p-10}$

Consideramos que son iguales:

$p+4=2p-10$ y p=14 por lo que tenemos

$\dbinom{24}{14}=\dbinom{24}{18}$ y la solución es válida
Consideramos que son complementarios:

$p+4+2p-10=10+p$ y p=8 por lo que tenemos

$\dbinom{18}{12}=\dbinom{18}{6}$ y la solución también es válida

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Ecuaciones con números combinatorios 1

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 Marzo, 2007

Vamos a resolver la ecuación mediante desarrollo de factoriales:

$\dfrac{n(n^2+6)}{6}=\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}$

Aplicamos la definición de número combinatorio y algunas de las propiedades que conocemos:

$\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n!}{2!(n-2)!}+\dfrac{n!}{3!(n-3)!}$

Rebajamos los factoriales:

$\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}+\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!}$

$\dfrac{n(n^2+6)}{6}= 1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Esto ya es una ecuación algebraica normal. Eliminando denominadores y parénteis:

$n^3 +6n= 6 +6n+3n^2-3n+n^3-3n^2+2n$

$n=6$

Veremos más ejemplos más adelante

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Propiedades de los números combinatorios

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 Marzo, 2007

Propiedades de los números combinatorios:

$\dbinom{m}{0}= \dfrac{m!}{0!(m-0)!}=1$
$\dbinom{m}{m}=\dfrac{m!}{m!(m-m)!}=1$
$\dbinom{m}{1}=m$

$\dfrac{m!}{1!(m-1)!}=\dfrac{m(m-1)!}{(m-1)!}=m$
Números combinatorios complementarios: $\dbinom{m}{n}=\dbinom{m}{m-n}$

$\dbinom{m}{m-n}= \dfrac{m!}{(m-n)! [m-(m-n)]!}=$

$\dfrac{m!}{(m-n)!n!}=\dbinom{m}{n}$
Formula de Stifel: $\dbinom{m}{n}+\dbinom{m}{n+1}=\dbinom{m+1}{n+1}$

$\dfrac{m!}{n!(m-n)!}+\dfrac{m!}{(n+1)!(m-n-1)!}$

“rebajamos” los factoriales mayores:

$(n+1)!=(n+1)n!$
$(m-n)!=(m-n)(m-n-1)!$

$\dfrac{m!}{n!(m-n)(m-n-1)!}+\dfrac{m!}{(n+1)n!(m-n-1)!}$

Sacamos factor común:

$\dfrac{m!}{n!(m-n-1)!} \left (\dfrac{1}{m-n}+\dfrac{1}{n+1} \right )$

sumando las fracciones entre paréntesis:

$\dfrac{m!}{n!(m-n-1)!} \dfrac{m+1}{(m-n)(n+1)}$

$\dfrac{(m+1)m!}{(n+1)n!(m-n)(m-n-1)!}=\dfrac{(m+1)!}{(n+1)!(m-n)!}$

Sumamos y restamos 1 en $(m-n)!$
y nos queda $\left [m+1-(n+1) \right ]!$

$\dfrac{(m+1)!}{(n+1)![m+1-(n+1)]!}= \dbinom{m+1}{n+1}$

Con estás propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el triángulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con números combinatorios

tartaglia1 tartaglia2