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Archive for the ‘Exponenciales y logaritmos’ Category

Resolución de ecuaciones y sistemas exponenciales .Definición de logartimo. Demostración de las propiedades de los logartimos. Ecuaciones y sistemas logarítmicos.

Ecuaciones logarítmicas

Posted by wgs84 en sábado, 22 noviembre, 2008

Para resolver ecuaciones logarítmicas hay que transformarlas en ecuaciones algebraicas:

Veamoslo con un ejemplo: $\log_7 (x-2) -\log_7 (x+2)= 1-\log_7 (2x-7)$

Transformamos los números en logaritmos usando $\log_a a^n= n$
$\log_7 (x-2) -\log_7 (x+2)= \log_7 7-\log_7 (2x-7)$
Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un único logaritmo en cada miembro de la ecuación
$\log_7 \dfrac{x-2}{x+2}=\log_7 \dfrac{7}{2x-7}$
Quitamos los logaritmos y resolvemos la ecuación algebraica resultante
$\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{7}{2x-7}$
$(x-2)(2x-7)=7(x+2)$
$2x^2-7x-4x+14= 7x +14$
$2x^2-18x=0$
Las soluciones son $x= 9$ y $x= 0$
Comprobamos las soluciones (ver que no se obtienen logaritmos de número negativos o el logaritmo de 0 al sustiruir las soluciones en la ecuación original)
$x= 9$ es solución y $x= 0$ no lo es porque aparecería $\log_7 (-2)$

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Otras aplicaciones de las propiedades de los logaritmos

Posted by wgs84 en martes, 18 noviembre, 2008

Sabiendo que $\log 2= 0.3010$ calcula

$\log 20$
Buscamos potencias de 2 (que es el dato) y de 10 (que es la base)
$\log 20= \log \left ( 2 \cdot 10 \right )= \log 2 +\log 10= 0.3010+1= 1.3010$
$\log 400 = \log ( 4 \cdot 100)= \log 2^2 + \log 10^2= 2 \cdot \log 2 +2= 2\cdot 0.3010 +2=2.602$
$\log 5 = \log \dfrac{10}{2}= \log 10 -\log 2= 1-0.3010= 0.699$
$\log 0.0008= \log \dfrac{8}{10000}= \log 2^3 -\log 10^4= 3 \cdot 0.3010 - 4= -3.097$
$\log 25 = \log \dfrac{100}{4}= \log 10^2 -\log 2^2= 2-2 \cdot 0.3010=1.398$

Cacula $\log_5 625 + \log_5 \dfrac{1}{25} - \log _5 125$

$\log_5 5^4 +\log_5 5^{-2} - \log_5 5^3= 4-2-3=-1$

Resuelve $4^x -9 \cdot 2^x= -20$

Es una ecuación con suma de exponenciales y la resolveremos mediante un cambio de variable:
$(2^2)^x - 9 \cdot 2^x=-20$
$(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x=-20$ . el cambio de varible va a ser $2^x= t$
$t^2 -9t+20=0$
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son $t= 4$ y $t= 5$
Deshacemos el cambio de variable:
$2^x= 4= 2^2$ entonces, $x= 2$
$2^x=5$ . En este caso no podemos aplicar la igualación de base y lo que hacemos es tomar logaritmos en base 2 a ambos lados del igual:
$\log_2 2^x= \log_2 5$ y $x= \log_2 5$

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Desarrollos logarítmicos

Posted by wgs84 en lunes, 17 noviembre, 2008

$\dfrac{a^3 \cdot b^5}{c^2}$
Tomamos logaritmos y aplicamos la propiedad del cociente
$\log \left ( a^3 \cdot b^5 \right ) -\log c^2$
Aplicamos la propiedad del producto
$\log a^3 +\log b^5 -\log c^2$
Aplicamos la propiedad de la potencia
$3 \cdot \log a +5 \cdot \log b -2 \cdot \log c$
$y= \dfrac{\sqrt[3]{x^2} \cdot t^4}{x^3 \cdot z^4}$
Tomamos logaritmos en ambas partes del igual
$\log y =\log \dfrac{\sqrt[3]{x^2} \cdot t^4}{x^3 \cdot z^4}$
Aplicando la propiedad del cociente
$\log y =\log \left ( \sqrt[3]{x^2} \cdot t^4 \right )- \log \left ( x^3 \cdot z^4 \right )$
Aplicando la propiedad del producto
$\log y =\log x^{\frac{2}{3}} + \log t^4 - \left (\log x^3 +\log z^4 \right )$
Quitando parentesis y aplicando las propiedades de la potencia y de la raiz
$\log y =\dfrac{2}{3} \cdot \log x +4 \cdot \log t -3 \cdot \log x -4\cdot \log z$
$y= \dfrac{x^2 \cdot \sqrt[4]{t^3 z^2}}{\sqrt[3]{x} \cdot z^3}$
Tomando logartimos y aplicando las propiedades correspondientes
$\log y = 2\cdot \log x +\dfrac{3}{4} \cdot \log t +\dfrac{1}{2} \cdot \log z- \dfrac{1}{3} \cdot \log x -3 \cdot \log z$
Reduciendo nos queda
$\log y = \dfrac{5}{3} \cdot \log x +\dfrac{3}{4} \cdot \log t -\dfrac{5}{2} \cdot \log z$
$\log \left (\sqrt[5]{x^2 y^3} \cdot \sqrt[3]{z^5 m^6} \right )$
Aplicamos la propiedad del producto
$\log \sqrt[5]{x^2 y^3} +\log \sqrt[3]{z^5 m^6}$
Aplicamos la propiedad de la raiz
$\dfrac{1}{5} \cdot \log \left ( x^2 y^3 \right ) +\dfrac{1}{3} \cdot \log \left ( z^5 m^6 \right )$
Volvemos a aplicar la propiedad del producto y la de la potencia
$\dfrac{2}{5} \cdot \log x +\dfrac{3}{5} \log y +\dfrac{5}{3} \cdot \log z+2 \cdot \log m$

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Propiedades de los logaritmos

Posted by wgs84 en domingo, 16 noviembre, 2008

El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logartimos de cada uno de los factores

Vamos a demostrar que $\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y$ .

Si $\log_a \enspace x= t$ . Por definición de logaritmo $a^t=x$ (1)
Si $\log_a \enspace y= z$ . Por definición de logaritmo $a^z=y$ . (2)
Multiplicando estas dos igualdades tenemos que : $a^t \cdot a^z =x \cdot y = a^{t+z}$
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
$\log_a \enspace a^{t+z} =\log_a \enspace x \cdot y$
Por definición de logaritmo. $\log_a \enspace a^{t+z}= t+z= \log_a \enspace x \cdot y$
Y teniendo en cuenta (1) y (2):
$\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y$ .
El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logartimos de cada uno de los números

Vamos a demostrar que $\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y$ .

Si $\log_a \enspace x= t$ . Por definición de logaritmo $a^t=x$ (3)
Si $\log_a \enspace y= z$ . Por definición de logaritmo $a^z=y$ . (4)
Dividiendo estas dos igualdades tenemos que : $\dfrac{a^t}{a^z} =\dfrac{x}{y} = a^{t-z}$
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
$\log_a \enspace a^{t-z} =\log_a \enspace \dfrac{x}{y}$
Por definición de logaritmo. $\log_a \enspace a^{t-z}= t-z= \log_a \enspace \dfrac{x}{y}$
Y teniendo en cuenta (3) y (4):
$\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y$ .
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base

Vamos a demostrar que $\log_a x^n= n \cdot \log_a x$
Es sencillo demostralo usando la primera propiedad.
$\log_a x^n=\log_a \enspace \left (x \cdot x\cdot x........x \right )$ n veces
Aplicando la primera propiedad esto es igual a:
$\log_a x + \log_a x + \log_a x+ ........+\log_a x$ n veces
$n \cdot \log_a x$
El logaritmo de un radical es igual al cociente en tre el logaritmo del radicando y el índice

Vamos a demostrar que $\log_a \enspace \sqrt[n]{x}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x$
Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3).
Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que:
$\log_a \enspace \sqrt[n]{x}=\log_a \enspace x^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x$

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Definición de logaritmo

Posted by wgs84 en sábado, 15 noviembre, 2008

El logaritmo es la operación inversa de la exponencial

$\log_a \enspace x =y \Leftrightarrow a^y = x$

Partes del logarimto $\log_a \enspace x = y$

$a$ es la base ( $a>0 ; a \neq 1$ )
$x$ es el argumento del logaritmo
$y$ es el logaritmo

El logaritmo de un número es el número (y) al que hay elevar la base (a) para obtener el argumento x

Ejemplos:

$\log_2 \enspace 4=x$ Aplicando la definición $2^x= 4= 2^2$ y entonces $x= 2$
$\log_3 \enspace 81=x$ . Aplicando la definición $3^x=81=3^4$ y entonces $x=4$
$\log_2 \enspace \dfrac{1}{32}=x$ .Aplicando la definición $2^x=\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$ y entonces $x= -5$
$\log_{\dfrac{1}{3}} \enspace 27=x$ .Aplicando la definición $\left ( \dfrac{1}{3} \right )^x= 27$ ; $3^{-x}=3^3$ y entonces $x= -3$
$\log_2 \enspace \sqrt{8}=x$ .Aplicando la deficnición $2^x= \sqrt{8}=\sqrt{2^3}= 2^{\frac{3}{2}}$ . Entonces $x=\dfrac{3}{2}$
$\log_{\sqrt{3}} \enspace =\dfrac{1}{9}$ .Aplicando la deficnicón $\left ( 3^{\frac{1}{2}} \right )^x= 3^{-2}$ ; $3^{\frac{x}{2}}=3^{-2}$ . Entonces $\dfrac{x}{2}= -2$ y $x= -4$
$\log_a \enspace 4= 2$ . Aplicando la definición $a^2=4$ . Entonces $a=\sqrt{4}=2$ . Se desprecia la solución negativa porque la base de un logaritmo es siempre positiva.

Ejercicios propuestos

$\log_{\dfrac{1}{10}} \enspace 100000 = x$
$\log_{\dfrac{1}{6}} \enspace 36=x$
$\log_{49} \enspace \sqrt{7}=x$
$\log_{\sqrt{5}} \enspace \dfrac{1}{125}=x$
$\log_a \enspace 1= x$

Convenios

En España si no se indica la base del logarimo estamos hablando de logaritmos decimales (base 10): $\log_{10} x=\log x$
El logaritmo neperiano o natural es el logaritmos en base $e$ : $\log_e x = \ln x$

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Ecuaciones exponenciales. Cambio de variable

Posted by wgs84 en lunes, 10 noviembre, 2008

Este método se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparecen sumas y/o restas de exponenciales.

Preliminares

Hay que recordar las propiedades de las potencias:

$a^{m+n}=a^m \cdot a^n$ . Por ejemplo $3^{x+3}= 3^3 \cdot 3^x$
$a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}$ . Por ejemplo $2^{x-5}= \dfrac{2^x}{2^5}$ , $3^{1-x}=\dfrac{3}{3^x}$
${(a^m)}^n= a^{m \cdot n}$ . Por ejemplo $4^x= {2^2}^x= {(2^x)}^2$

Ejemplos de ecuaciones

$2^{x+1}-5 \cdot 2^x+3=0$
El cambio de varible es $2^x=t$ . Procedemos a aislar dicha exponencial
$2^x \cdot 2-5 \cdot 2^x +3=$
$2t-5t+3=0$
$t=1$
Deshacemos el cambio de variable
$2^x=1$ por lo que $x=0$
$9^x-90 \cdot 3^x+729=0$
El cambio de variable es $3^x=t$
${3^2}^x-90 \cdot 3^x+729=0$
${3^x}^2-90 \cdot 3^x+729=0$
$t^2-90t+729=0$
resolvemos la ecuación de 2º grado y tenemos que $t= 81$ y $t=9$
Deshacemos el cambio de varible
$3^x=81=3^4$ ; $x= 4$
$3^x= 9=3^2$ ; $x= 2$
$2^x+2^{x+1}+2^{x-2}+2^{x-3}=864$
El cambio de variable es $2^x= t$
$2^x +2 \cdot 2^x+\dfrac{2^x }{2^2}+\dfrac{2^x}{2^3}=864$
$t + 2t+\dfrac{t}{4}+\dfrac{t}{8}=864$
$8t+16t+2t+t= 864 \cdot 8$
$27t= 2^5 \cdot 3^3 \cdot 2^3$
$t=2^8$
Deshacemos el cambio de variable $2^x= 2^8$ ; $x= 8$
$3^x+3^{1-x}=4$
El cambio de variable es $3^x=t$
$3^x+ \dfrac{3}{3^x}=4$
$t+ \dfrac{3}{t}=4$
$t^2+3=4t$ ; $t^2-4t+3=0$
Reslviendo la ecución de 2º grado:
$t= 3$ y $t= 1$
Deshacemos el cambio de variable
$3^x=3$ ; $x= 1$
$3^x= 1$ ; $x= 0$

Ejercicios propuestos

$2^x-5\cdot 2^{-x}+4\cdot 2^{-3x}$ sol: 0; 1
$2^{2x}+2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}+2^{2x-4}=1984$ sol: 5
$4^{x+1}+2^{x+3}-320=0$ sol: 3
$3^x+ \dfrac{1}{3^{x-1}}=4$ sol=0; 1

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Ecuaciones exponenciales. Igualación de base

Posted by wgs84 en martes, 4 noviembre, 2008

La función exponencial es:

$f(x)=a^x$

donde $a$ es un número positivo distinto de uno. Como consecuencia de esto, la función exponencial es «simpre positiva». $a^x > 0$ $\forall x \in R$

Una ecuación exponencial, por lo tanto, es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

El método que vamos a ver en esta entrada es el de igualación de base. Se trata de conseguir la misma base a ambos lados del igual. Una vez conseguido esto, se igualan los exponentes dando lugar a una ecuación algebraica.

$2^{x-3}= 128$ .
Descomponemos en factores primos 128 y la ecuación nos queda $2^{x-3}=2^7$ Ya tenemos las bases iguales.
Igualando los exponenes nos queda la ecuación algebraica $x-3=2$ y por lo tanto $x= 5$
$5^{\frac{x+2}{3}}= \frac{1}{125}$ .
Hay que tenr en cuenta que: $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$
La base a conseguir a ambos lados del igual será 5. $5^{\frac{x+2}{3}}= \dfrac{1}{5^3}=5^{-3}$ .
Igualando exponentes nos queda: $\dfrac{x+2}{3}=-3$ $x= -11$
$9^{x-2}=\sqrt{3^x}$
Hay que tener en cuenta que $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
${3^2}^{(x-2)}= 3^{\frac{x}{2}}$
$3^{2x-4}= 3^{\frac{x}{2}}$
$2x-4=\frac{x}{2}$
$x= \dfrac{8}{3}$
$7^{x^2-5x+6}=1$

Como cualquier número elevado a cero es igual a 1 podemos escribir $7^{x^2-5x+6}=7^0$
La ecuación algebraica es $x^2-5x+6=0$ cuyas soluciones son $x= 2, x= 3$

Ejercicios propuestos:

$3^{5x-3}= \left ( \dfrac{1}{27} \right )^{2x+5}$
Solución
$3^{5x-3}= {3^{-3}}^{(2x+5)}$
$5x-3=-6x-15$
$11x=-12$
$x=-\dfrac{12}{11}$
$\left ( \dfrac{1}{16} \right )^{3-x}= \sqrt[5]{8^{x-3}}$
Solución
${2^{-4}}^{(3-x)}={2^3}^{\frac{x-3}{5}}$
$-12+4x=\dfrac{3x-9}{5}$
$-60+20x= 3x-9$
${17x= 51}$
$x= 3$
$\sqrt[x+15]{2^{x-5}}= \dfrac{1}{4} \sqrt[x-5]{8^{x+5}}$ «NUEVO»
$\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x-1}=\left ( \dfrac{9}{4} \right )^{2x-3}$ «NUEVO»