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Circunferencia y rectas tangentes

Publicado por wgs84 en Sábado, 22 Agosto, 2009

1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia.

  1. Pasa por ( 3,6), luego el radio será \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}
  2. Es tangente a x+y-11=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a+b-11|}{\sqrt{2}}
  3. Es tangente a -7y+57=0, luego el radio será la distancia del centro a esa recta \dfrac{|a-7b+57|}{\sqrt{50}}

De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales

  • \dfrac{(a+b-11)^2}{2}=9-6a+a^2+36-12b+b^2. Desarrollando nos queda:
    -b^2+2ab+2b-a^2-10a+31= 0
  • \dfrac{(a-7b+57)^2}{50}=9-6a+a^2+36-12b+b^2.Desarrollando nos queda:-b^2-14ab-198b-49a^2+414a+999=0

Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en b^2
16ab+200b+48a^2-424a-968=0. Simplificando (dividir a ambos lados por ocho ) nos queda:2ab+25b+6a^2-53a-121=0.
De aquí podemos despejar b en función de a y resolver el sistema por sustitución:
b= \dfrac{-6a^2+53a+121}{2a+25}.

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
a=-4,b=-11 y a=2, b=7

Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemos montado el sistema. Por ejemplo r= \sqrt{(3-a)^2+(6-b)^2}

Si a=-4,b=-11 entonces r=\sqrt{338} y la ecuación será (x+4)^2+(y+11)^2= 338

Si a=2, b=7 entonces r= \sqrt {2} y la circunferencia será (x-2)^2+(y-7)^2=2

2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0

Sea (a,b) el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones

  1. Si la circunferencia es tángente a 5x-12y+6=0 entonces: \dfrac{|5a-12b+6|}{13}=2
  2. Si la circunferencia es tángente a 3x-4y+2=0 entonces: \dfrac{|3a-4b+2|}{5}=2

De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:

  1. 5a-12b+6=26
  2. 5a-12b+6=-26
  3. 3a-4b+2=10
  4. 3a-4b+2=-10

Las coordenadas (a,b) las obtendremos combinando las distintas ecuaciones

  • Combinando la 1 y la 3 obtenemos a=1,b=-\dfrac{5}{4} y la circunferencia será: (x-1)^2+\left ( y+\dfrac{5}{4} \right )^2=4
  • Combinando la 1 y la 4 obtenemos a=-14, b=-\dfrac{15}{2} y la circunferencia será: (x+14)^2+\left ( y +\dfrac{15}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 3 obtenemos a=14, b=\dfrac{17}{2} y la circunferencia será : (x-14)^2+\left ( y-\dfrac{17}{2} \right )^2= 4
  • Combinando la 2 y la 4 obtenemos a=-1, b=\dfrac{9}{4} y la circunferencia será: (x+1)^2+ \left ( y -\dfrac{9}{4} \right )^2=4

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Otro de triángulos isosceles

Publicado por wgs84 en Viernes, 20 Marzo, 2009

EL LADO DESIGUAL DEL TRIANGULO ISOSCELES TIENE POR EXTREMOS LOS PUNTOS A(3,-1)Y B(6,2).HALLAR LAS COORDENADAS DEL TERCER VERTICE C. SI EL AREA DEL TRIANGULO ABC ES 7,5

Si es un triángulo isosceles la distancia AC es igual a la distancia BC. De aquí sale la ecuación:
\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} =\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}
Elevando al cuadrado ambos términos y desarrollando los cuadrados:
x^2-6x+9+y^2+2y+1=x^2-12x+36+y^2-4y+4
Agrupando términos y simplificando obtenemos la ecuación de la mediatriz del segmento AB:
x+y-5=0 (1)

Por otro lado, el área del triángulo es 7.5. Bién, el área del triángulo será \dfrac{1}{2} \cdot | \vec{AB}| \cdot h
Donde \vec{AB} es la base y h la altura, qué es la distancia del punto incógnita C a la recta que pasa por los puntos A y B.
Vamos a despejar el valor de h:

  • La longitud de la base|\vec{AB}|=\sqrt{ (3-6)^2+(-1-2)^2}=3 \sqrt{2}
  • Despejamos h de la expresión del área del triángulo 7.5= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot h. De donde obtenemos que h= \dfrac{5}{\sqrt{2}}

La recta que pasa por AB será: x-y-4=0
Usando la ecuación de la distancia punto recta tendremos:
\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{| x-y-4|}{\sqrt{2}}
|x-y-4|= 5
De la ecuación con valor absoluto obtendremos dos ecuaciones una para el signo + y otra para el signo -:
(2) x-y-4=5 \rightarrow x-y-9=0
(3) x-y-4=-5 \rightarrow x-y+1=0

Los puntos solución se obtendrán de resolver los sistemas de ecuaciones:
(1) y (2)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y-9=0 \end{array} \right\}
Sumando las ecuaciones (reducción) obtenemos facilmente la primera solución:(7, -2)

y (1) y (3)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y+1=0 \end{array} \right\}
Cuya solución es (2, 3)

tisosceles

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Examen Geometría analítica 2008-2009

Publicado por wgs84 en Viernes, 20 Febrero, 2009

  1. Resuleve 3(x-2, 5)= 2(y-3, 1) +4(2, x-2y)

    (3x-6, 15)=(2y-6, 2)+(8, 4x-8y)=(2y+2, 4x-8y+2)
    La igualdad de vectores da lugar a un sistema de ecuaciones
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-6=2y+2 \\ 15=4x-8y+2 \end{array} \right \}
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-2y=8 \\ 4x-8y=13 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación \dfrac{8+2y}{3}=\dfrac{13+8y}{4}
    32+8y=39+24y y=\dfrac{-7}{16}
    x=\dfrac{8-\dfrac{7}{8}}{3}=\dfrac{19}{8}

  2. Obten las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, general ,explicita y canónica de la recta que pasa por el punto P(5,6) y cuya pendiente es -2

    Si la pendiente es -2 un vector director es \vec{v} (1,-2) pues la pendiente es m=\dfrac{v_2}{v_1}

    • vectorial: (x,y)=(5,6) +t(1,-2) t \in setR
    • paramétricas: \left \{ \begin{array}{rcl} x= 5 +t \\ y=6-2t \end{array} \right.
    • continua: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-6}{-2}
    • general: -2x+10=y-6 \rightarrow 2x+y-16=0
    • punto-pendiente y-6=-2(x-5)
    • explicita: y= -2x+16
    • canónica: los puntos de corte (0,16) y (8,0) la ecuación será \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=1

  3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta x-7y-21=0 y es paralela a la recta 3x-2y+1=0

    Punto de corte de x-7y-21=0 con eje OY Si x=0 entonces y= -3 (0,-3) . El vector director es \vec{v}(2,3).
    La ecuación continua es \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y+3}{3}. Y en forma general 3x-2y-6=0

  4. Sea el triángulo de vértices A(4,1), B(12,3) y C (8,7). Calcula
    a) Baricentro
    b) El perímetro
    c) El ángulo A

    Para calcular el baricentro obtendremos el punto de corte de dos de las medianas del triángulo.
    MEDIANA DEL LADO AB

    • Punto medio del segmento AB M(8, 2)
    • Vector \vec{CM}=(0, -5) Podemos coger como vector director (0,1) paralelo al anterior.
    • La mediana x=8 pasa por M y C

    MEDIANA DEL LADO AC

    • Punto medio del segmento AC N(6,4)
    • Vector \vec{BN}=(-6,1)
    • L a mediana x+6y -30=0 pasa por N y B

    El baricentro sera la solución del sistema \left. \begin{array}{rcl} x=8 \\x+6y-30=0 \end{array} \right\}
    Cuya solución es \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Podemos comprobar el resultado con la fórmula del baricentro de un triángulo
    \left ( \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} \right )
    En nuestro caso \left ( \dfrac{4+12+8}{3}, \dfrac{1+3+7}{3} \right )= \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Para calcular el perímetro sumaremos los módulos de los vectores que forman los lados
    | \vec{AC}|=\sqrt{ (8-4)^2+(7-1)^2}=2 \sqrt{13}
    | \vec{AB}|=\sqrt{(12-4)^2+(3-1)^2}=2 \sqrt{17}
    | \vec{BC}|=\sqrt{(8-12)^2+(3-7)^2}=4 \sqrt{2}
    perimetro= 2 \sqrt{13}+ 2 \sqrt{17}+4 \sqrt{2}

    El ángulo en A es el ángulo formado por los vectores \vec{AB}(8, 2) y \vec{AC}(8,2). \cos A= \dfrac{ 8 \cdot 4 + 2 \cdot 6}{4 \sqrt{13}\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{221}}
    A= 42º 16′ 25.28”

  5. Calcula la mediatriz del segmento formado por el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX y el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. ¿Qué ángulo formará la mediatriz con el eje OX?

    La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento AB que pasa por su punto medio M.

    • A va a ser el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX. si y=0 tendremos que 3x+15=0 y el punto A será A(-5, 0)
    • B va ser el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. Si x=4 la coordenada y es y=3 \cdot 4-10=2. El punto B(4, 2)
    • M va a ser el punto medio del segmento AB M \left ( -\dfrac{1}{2}, 1 \right )
    • Vamos a sacar un vector perpendicular al segmento AB. \vec{AB}= (9,2). Un vector perpendicular a él será \vec{v}(2,-9)
    • La mediatriz pasará por M y tendrá como vector director \vec{v}(2,-9). En forma continua \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{y-1}{-9}. En forma general 18x+4y+5=0

    La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma una recta con el eje de abcisas.La pendiente de nuesta recta e m= \dfrac{-9}{2}= \tan \alpha
    \alpha=102º 31′ 43.7” .
    Es 180º + el ángulo negativo que sale en la calculadora ya que la función arctan (tan^-1) de la calculadora trabaja entre -90º y 90º.

  6. Calcula las coordenadas de los puntos del segmento de extremos A(1, 2) y B( 6, 9) que lo dividen en tres partes iguales

    Los puntos buscados serán C y D tales que cumplirán las ecuaciones:

    • 4 \vec{AC}=\vec{AB}
      4(x-1, y-2)=(5, 7) . De esta ecuación vectorial C \left ( \dfrac{9}{4}, \dfrac{15}{4} \right )
    • \vec{AD}=\dfrac{3}{4} \vec{AB}
      (x-1, y-2)=\dfrac{3}{4} \cdot (5, 7). De esta ecuación vectorial D \left ( \dfrac{19}{4}, \dfrac{29}{4} \right )

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Uno sobre un triángulo isósceles

Publicado por wgs84 en Viernes, 13 Febrero, 2009

Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A

El punto en cuestión, al estar sobre la recta x+2y-15=0 tendrá la forma A(15-2y, y). De esta forma hay una sóla incognita para una única condicón: el triángulo es isosceles (dos lados iguales).La ecuación que resulelve el problema es:
| \vec{AB}|=|\vec{AC}|
\sqrt{(15-2y+1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(15-2y-3)^2+(y+3)^2}
Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando los productos notables
5y^2-70y+265=5y^2-42y +153
La coordenada y será y=\dfrac{56}{15}.
Y la coordenada x x=15-2y= 15-2 \dfrac{56}{15}=\dfrac{113}{15}
A= \left (\dfrac{56}{15}, \dfrac{113}{15} \right )

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Proyección de un punto sobre una recta y pie de la perpendicular

Publicado por wgs84 en Domingo, 8 Febrero, 2009

1)Hallar la proyección del punto P(-8, 12) sobre la recta que pasa por los puntos A(2, -3) y B(-5, 1).

Es la intersección de la recta que pasa por A y B con la perpendicular a esta que pasa por en punto P.

  1. Hallamos la ecuación de la recta r que pasa por los punto Ay B. El vector director será \vec{AB}=(-7,4).
    La ecuación continua \dfrac{x-2}{-7}=\dfrac{y+3}{4}. En forma general r :4x+7y+13=0
  2. Obtenemos la recta s perpendicular a r que pasa por el punto P. El vector director será (4, 7). La ecuación continua \dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y-12}{7}. En forma general 7x+4y+104=0
  3. El punto que buscamos es la solución del sistema formado por las rectas r y s.
    \left \{ \begin{array}{rcl} 4x-7y-13=0 \\ 7x-4y+104=0 \end{array} \right.
    Cuya solución es x=-12,y=5

2)Hallar la ecuación de la recta, si el punto P(2, 3) es la base de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la recta.

El vector perpendicular a la recta es \vec{OP}=(2,3). Por lo tanto el vector de la recta es \vec{v}= (-3,2) y el punto por el que pasa P( 2,3).
Su ecuación continua: \dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y-3}{2}

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Área de un triángulo

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Febrero, 2009

Halla el área del triángulo de vértices A(2,-2), B(-8,4) Y C(5,3)

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.
La altura es la longitud del segmento que desde un vértice al lado opuesto en perpendicular (base)

Calcularemos la altura respecto al lado BC

  1. Calculamos la recta sobre la que se apoya el lado BC.
    El vector \vec{BC}=(13, -1)
    La recta en ecuación continua es \dfrac{x-5}{13}=\dfrac{y-3}{-1}
    En forma general es r: x+13y-44=0
  2. La altura será la distancia del vértice A a la recta r
    \dfrac{|2+13(-2) -44|}{\sqrt{170}}=\dfrac{68}{\sqrt{170}}
  3. La longitud de la base será el móduco del \vec{BC}.
    |\vec{BC}|=\sqrt{13^2+(-1)^2}=\sqrt{170}
  4. Por último el área del triágulo será \dfrac{1}{2} \sqrt{170} \dfrac{68}{\sqrt{170}}=34

También se puede calcular mediante determinantes:
triangulo
\dfrac{1}{2} \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 1 & -8 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{array} \right |= \dfrac{1}{2} (-24-10+8-16-20-6)=-34. Tomaremos el valor absoluto

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Una de lugares geométricos

Publicado por wgs84 en Martes, 20 Enero, 2009

Encontar una ecuacion que deba sastisfacer las coordenadas de cualquier punto cuya distancia al punto (5,3)es siempre 2 unidades mas grande que su distancia al punto (-4,-2)

La ecuación será: \sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2} -\sqrt{(x+4)^2+(y+2)^2}=2

Para desarrollarla basta aislar radicales e ir elevando al cuadrado sucesivamente.
Aislando en la derecha el segundo radical y elevando al cuadrado queda:

(x-5)^2+(y-3)^2 -4 \sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2}+4= (x+4)^2+(y+2)^2
Agrupando términos semejantes , simplificando y llevando el radical que queda al miembro derecho de la igualdad queda:
-5y-9x+9=2 \sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2}

Si Volvemos a elevar al cuadrado y agrupamos términos semejantes:
21y^2+90xy-66y+77x^2-122x-55=0

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Triángulo equilátero y circunferencias

Publicado por wgs84 en Martes, 20 Enero, 2009

Si dos vertices de un triangulo equilatero son (-4,3) y (0,0) encontrar el tercer vertice

La distancia entre los dos puntos es el radio de las circunferecias que vamos a utilizar \sqrt{(-4)^2+3^2}=5 y que es la longitud del lado del triángulo equilatero

Circunferencia de radio 5 y centro (-4, 3) (x+4)^2+(y-3)^2=25
Circunferencia de centro (0,0) y radio 5 x^2+y^2=25

La solución del sitema de ecuaciones formado por las dos circunferencias serán los vértices buscados, que serań dos puntos simétricos al segmento (-4, 3) (0,0).
\left. \begin{array}{rcl} y^2-6y+x^2+8x=0 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Para resolverlo primero restamos las dos ecuaciones para conseguir una ecuación lineal: -6y+8x+25=0
Ahora resolvemos por sustitución el sistema compuesto por la ecuación lineal obtenida y una de las circunferencias
\left. \begin{array}{rcl} -6y+8x+25=0 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right\}
Las soluciones son los puntos:

\left ( \dfrac{-3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{-4 \sqrt{3}+3}{2} \right )
\left ( \dfrac{3 \sqrt{3}-4}{2}, \dfrac{4 \sqrt{3}+3}{2} \right )

\left [x=-4.598076211353316,y=-1.964101615137754 \right ]
\left [x=0.59807621135332,y=4.964101615137754 \right ]

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Incentro y circuncferencia inscrita a un triángulo

Publicado por wgs84 en Miércoles, 3 Diciembre, 2008

En un triangulo cuyos vertices son A(-1,0); B(2,9/4) y C(5,0), hallar la ecuacion de la circunferencia inscrita al triangulo

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. También es el punto de corte de las tres bisectrices. Por lo tanto calcularemos dos de las bisectrices y el punto de corte será el incentro

  1. Primero calculamos las ecuaciones de las rectas que forman los lados.
    • El vector \vec{AB}= (2+1 ; \dfrac{9}{4}-0)=(3, \dfrac{9}{4}))
      Multiplicando por 4 y diviendo por tres nos queda como vector director \vec{v}=(4, 3).
      La ecuación de la recta que pasa por A y B sera \dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-0}{3}.
      Multiplicando en cruz y agrupando 3x-4y+3=0 (1)
    • El vector \vec{BC}=(5-2, 0-\dfrac{9}{4})=(3, -\dfrac{9}{4}) Multiplicando por 4 y divdiendo por 3 nos queda como vector director de la recta que pasa por B y C \vec{w}=(4, -3).
      La ecuación de la recta correspondiente será \dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-0}{-3}. Pasandola a forma general es 3x+4y-15=0 (2)
    • La ecuación de la recta que pasa por A y C es el eje OX: y= 0 (3)
  2. Calculamos dos bisectrices. Por facilidad obtendrema la bisectriz en A y en C
    • \left | \dfrac{3x-4y+3}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x-4y+3}{5}=y \rightarrow 3x-9y+3=0
      bisectriz \dfrac{3x-4y+3}{5}=-y \rightarrow 3x+y+3=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x-9y+3=0 (4)
    • \left | \dfrac{3x+4y-15}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x+4y+15}{5}=y \rightarrow 3x-y-15=0
      bisectriz \dfrac{3x+4y-15}{5}=-y \rightarrow 3x+9y-15=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x+9y-15=0 (5)
  3. Calculamos el incentro resolviendo el sistema :
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+9y-15=0 \\ 3x-9y+3=0 \end{array} \right \}
    Sumando las ecuaciones nos queda 6x-12=0 \rightarrow x= 2. Sustituyendo en la segunda , por ejemplo 6-9y+3=0 \rightarrow y=1.
    El Incentro es el punto ( 2, 1)
  4. El radio de la circunferencia será la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo. Elejimos el lado AC de ecuación (4) y=0 por ser el más sencillo.
    En este caso la distnacia del punto ( 2, 1) al eje OX es su coordenada y, es decir, el radio de la circunferencia es r= 1
  5. La ecuación de la circunferencia inscrita es (x-2)^2+(y-1)^2=1

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Problema de geometría analítica VI

Publicado por wgs84 en Lunes, 22 Septiembre, 2008

Encuentra las coordenadas  de los vertices  del triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios  de sus lados  son P(4,-5), Q(5,2), R(3,-2)

Los vertives del teiangulo van a ser los puntos A(x_A, y_A); B (x_B, y_B) y  C (x_C, y_C)

Caculamos primero las coordenadas x de los tres vértices

El punto P( 4,-5) es el punto medio del segemeto AB:

4= \dfrac{x_A+x_B}{2}

El punto Q(5,2) es el punto medio del segmento BC:

5=\dfrac{x_B+x_B}{2}

El punto R(3,-2) es el punto medio del segmento CA:

3=\dfrac{x_C+x_A}{2}

Resolviendo el sistema tenemos que x_A=2, x_B=6, x_C=4

Para las coordenadas y actuamos igual y nos sale el sistema

-5= \dfrac{y_A+y_B}{2}

2= \dfrac{y_B+y_C}{2}

-2= \dfrac{y_C+y_A}{2}

Reolviendo tenemos que y_A=-9, y_B=-1, y_C=5

vértice A(2, -9)

vétice B (6, -1)

vértice C (4, 5)

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