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Archivos para 'Geometría analítica' Categoría

Ecuación de la recta V

Publicado por wgs84 en Martes, 1 Julio, 2008

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta x-y+5=0

Hallamos el corte de la recta con el eje OX , cuya ecuación es y=0 . $x-0+5=0$ . Por lo que $x= -5$ y el punto que buscamos es $A (-5, 0)$

Hallamos el corte de la recta con el eje OY , cuya ecuación es x=0 . $0-y+5=0$ . Por lo que $y= 5$ y el punto que buscamos es $B (0,5)$

La mediatriz del segmento $\overline{AB}$ es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. Vamos por partes:

perpendicular al segmento $\overline{AB}$ :

Calculamos el vector $\vec{AB}$ : $(0, 5)-(-5, 0)= (5, 5)$ . Su pendiente será $m=\dfrac{5}{5}=1$ y la pendiente de un vector perpendicular a $\vec{AB}$ será: $- \dfrac{1}{m}=-1$

pasa por el punto medio de $\overline{ AB}$

Calculamos el punto medio M:

$x_M= \dfrac{0-5}{2}=-\dfrac{5}{2}$

$y_M= \dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$

La ecuación de la mediatriz será $y- \dfrac{5}{2}= - \left ( x+\dfrac{5}{2} \right )$
Simplificando nos queda que la mediatriz es $x+y=0$
Determinar el valor de los coeficientes A yB de la ecuacion Ax+By-38=0 de una recta; si debe pasar por los puntos P(4,2) y Q(-5,7)

La condición de pertenencia de un punto a una recta nos dice que si un punto pertenece a una recta satisface su ecuación, es decir, que si se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la recta se obtiene una igualdad aritmética cierta.
Por lo tanto, para el punto P (4,2) se cumple $4A+2B-38=0 \rightarrow 2A+B-19=0$ .
Para el punto Q (-5, 7) será $-5A+7B-38=0$
Hallamos los coeficientes A y B resolviendo el sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} 2A+B-19 & = &0 \\ -5A+7B-38 & = &0 \end{array} \right\}$
Cuyas soluciones son $A= 5$ y $B= 9$ .
La recta buscada es $r: 5x+9y-38=0$

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Circunferencias tangentes II

Publicado por wgs84 en Jueves, 8 Mayo, 2008

Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje x y pasa por las intersecciones de las circunferencias C1: $x^2+y^2-8x-6y+17=0$ y C2: $x^2+y^2-18x-4y+67=0$

Calculamos la intersección de las dos circunferencias. Las restamos para obtener una ecuación lineal.
$x^2+y^2-8x-6y+17 -x^2-y^2+18x+4y-67=0$
$10x-2y-50=0 \rightarrow 5x-y-25=0 \rightarrow 5x-25=y$

Sustituimos en la ecuación de alguna de las circunferencias, por ejemplo la primera:
$x^2+(5x-25)^2-8x-6(5x-25)+17=0$
Desarrollamos y agrupamos $26x^2-288x+792=0 \rightarrow 13x^2-144x+396=0$
Las soluciones son $\left ( \dfrac{66}{13}, \dfrac{5}{13} \right )$ y $(6, 5)$ . Que son dos puntos de la circunferencia incógnita.

Si el centro está sobre el eje X tiene la forma (x, 0) y la distancia a los dos punto de paso será igual (el radio).
$\left (x- \dfrac{66}{13} \right )^2+ \dfrac{25}{169}=(x-6)^2+25$
La resolvemos y el centro es $(19, 0)$ .

Obtenemos el radio calculando la distancia a uno de los puntos de corte de C1 y C2

$r^2= (19-6)^2+(5-0)^2= 194$
La circunferencia que nos piden es $(x-19)^2+y^2=194$

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Problemas sobre la determinación de la ecuación de una circunferencia

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008

Calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos (2,4)(6,7) y su centro pasa por la recta 2x+y=7

Si el centro pertenece a la recta 2x+y=7 sus coordenadas las podremos escribir así: (x, 7-2x)

La distancia del centro a los dos puntos perimetrales (2, 4) y (6, 7) será la misma, el radio de la circunferencia.

$\sqrt{(x-2)^2+(7-2x-4)^2}= \sqrt{(x-6)^2+(7-2x-7)^2}$
Resolviendo está ecuación obtenemos la coordenada x del centro $x= -\dfrac{23}{4}$

Sustituyendo en la ecuación 2x+y= 7 obtendremos la coordenada y. $y= \dfrac{37}{2}$

Con el centro y una de los puntos perimetrales calculamos el radio $r=\sqrt{(2+\dfrac{23}{4})^2+(4-\dfrac{37}{2})^2}= \dfrac{5 \sqrt{173}}{4}$

Con estos datos la ecuación de la circunferencia será:
$(x-2)^2+(y-4)^2= \dfrac{4325}{16}$

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Un problema interesante sobre un rectángulo.

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008

Determine el area y las coordenadas de los vertices de le rectangulo si se sabe que:

su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas

una de las diagonales esta sobre la recta de ecuacion 3y=4x y tiene una longitud de 10 unidades.

uno de los lados esta contenido en una recta de pendiente -2

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será $(x_A , y_A)$ y el otro $(x_B , y_B)$ .

Como el punto media es 0:
$\dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B$ (1)
$\dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B$ (2)

La longitud de la diagonal es 10:
$\sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10$
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
$4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25$

Como una diagonal está sobre la recta $y= \dfrac{4x}{3}$
$x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3$
Si $x= 3 \rightarrow y= 4$
Si $x= -3 \rightarrow y= -4$
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: $r_1:y-4=-2(x-3)$
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: $r_2:y+4=-2(x+3)$

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a $r_1$ que pasa por $(3, 4)$ : $y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)$
2)Intersección de está recta con $r_2$ : $y+4=-2(x+3)$

$\left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}$
La solución es $(- 5, 0 )$

3)recta perpendicular a $r_2$ que pasa por $(-3, -4)$ : $y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)$
4)Intersección de está recta con $r_1$ : $y-4=-2(x-3)$
$\left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}$
La solución del sistema es $(5, 0)$

Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen

Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

$\sqrt {(5-3)^2+(0-4)^2} \cdot \sqrt{ (3+5)^2+ (4-0)^2}=40$

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Circunferencias tangentes

Publicado por wgs84 en Jueves, 1 Mayo, 2008

Demostrar que las circunferencias C1: $x^2+y^2-3x-6y+10=0$ y C2: $x^2+y^2-5=0$ son tangentes.

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo centro esta sobre la recta 3x+y+5=0.

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo radio es 20

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común tangente a la recta x-2y-1=0

Para analizar la posición relativa de dos circunferencias hay que resolver el sistema no lineal que forman. Si el sistema tiene dos soluciones las circunferencias son secantes, si sólo existe una solución serán tangentes y , por último si el sistema no tiene solución las circunferencias son exteriores

Para resolver el sistema restamos las ecuaciones de las circunferencias para obtener una ecuación lineal para poder aplicar el método de sustitución

$x^2+y^2-3x-6y+10- (x^2-y^2-5)=0$
$-3x-6y+15=0$ simplificando $x+2y-5=0 \rightarrow x=5-2y$
Ahora resolvemos por sustitución el sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} x=5-2y \\ x^2+y^2+5=0 \end{array} \right\}$
$(5-2y)^2+y^2-5=0$
$25-20y+4y^2+y^2-5=0$
$5y^2-20y^2+20=0 \rightarrow y^2-4y+4=0 \rightarrow (y-2)^2=0$
Cuya única solución es $y= 2$ .
El valor de x será $x= 5-4=1$ . El punto de tangencia es $(1, 2)$ .

(2)La circunferencia que buscamos en el apartado 2 del problema tendrá el siguiente aspecto:
$x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ . Tenemos tres incógnitas
Si (a, b) son las coordenadas del centro se cumple que $a= - \dfrac{C}{2}$ y $b=-\dfrac{D}{2}$ .
Si el centro está en la recta $3x+y+5=0 \rightarrow y= -5-3x$ El centro (a, b) cumple dicha ecuación y tenemos que:
$-\dfrac{D}{2}=-5-3 \cdot \left ( -\dfrac{C}{2} \right )$
de donde obtenemos nuestra primera ecuación: $D= 10-3C$

La segunda ecuación la obtenemos del hecho que el punto (1,2) pertenece a nuestra circunferencia. Sustituimos los valores en la ecuación y: $C+2D+E=-5$ .

La tercera ecuación es más compleja de obtener.
Si las tres circunferencias tienen el mismo punto de tangencia compraten la misma recta tangente.
Utilizando la circunferencia C2 vamos a calcularla.
El punto es (1,2) y la pendiente la obtenemos derivando $x^2+y^2-5=0$
$2x+2yy'=0$ . Despejamos la derivada y nos queda $y'=\dfrac{-x}{y}$ . Sustituimos para el punto $(1,2)$ y obtenemos una pendiente de $-\dfrac{1}{2}$ .
La ecuacíon de la recta tangente (usando la forma punto pendiente) será: $y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)$ . Si despejamos la x: $x= 5-2y$ .

La intersección de esta recta con nuestra circunferencia objetivo $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ tendrá como solución un único punto. Como al resolver el sistema obtendremos una ecuación de segundo grado (sustituimos x=5-2y, en la ecuación cuadrática)le impondremos a esa ecuación la condición de que tenga una única solución (solución doble dice la teroía).
Para que una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0$ tenga una solución doble se ha de cumplir que $b^2-4ac=0$ . Procedamos:

Sustituyo $x= 5-2y$ en $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ :
$(5-2y)^2+y^2+C(5-2y)+Dy+E=0$
Desarrollo: $25-20y+4y^2+y^2+5C-2Cy+Dy+E=0$
Agrupo y formo la ecuación de 2º grado: $5y^2 +(D-2C-20)y+E+5C+25=0$
Imponemos la condión de solución doble y tenemos la tercera ecuación:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0$

Resolvemos el sistema no lineal de tres ecuaciones por sustitución.
.
Sustituimos la primera $D=10-3C$ en la segunda y obtenemos:
$E= 5C-25$
Luego sustituimos las dos en la tercera:
$(10-3C-2C-20)^2-20(5C-25+5C+25)=0$
$(-5C-10)^2-200C=0$
$(C+2)^2-8C=0$
$C^2-4C+4=0 \rightarrow (C-2)^2=0$
$C=2$ y luego $D=4$ y $E= -15$
la circunferencia buscada es: $x^2+y^2+2x+4y-15=0$
(3) Para resolver el apartado 3 nos sirve la ecuación que deriva del hecho de que la circunferencia que buscamos $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ pasa por el punto (1,2):
$C+2D+E=-5$

Si el radio es 20, y sabiendo que el coeficiente el término independiente de la circunferencia es $E=a^2+b^2-r^2$ , con (a, b) las coordenadas del centro y r el radio. tendremos que nuestra segunda ecuación será:
$E=\dfrac{C}{4}+\dfrac{D}{4}-400$

La misma ecuación se puede obtener diciendo que la distancia entre el centro y el punto (1,2) es igual al radio.

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y desarrolando obtenemos la ecuación:
(*) $C^2+D^2+4C+8D-1580=0$
Para la tercera ecuación volveremos a utiloizar la condición que la circunferencia incógnita es tangenta a las circunferencias C1 y C2. La ecuación resultante de esto ya lo calculamos en el apartado 2 y es:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0$

Sustituimos la primera ecuación: $(D-2C-20)^2-20(-C-2D-5+5C+25)=0$
Desarrollamos: $4C^2-4CD+D^2=0$
Como es un cuadradp perfecto: $(2C-D)^2=0$
$2C-D=0$
(**) $D=2C$ .

Sustituimos esta expresión en (*) $C^2+D^2+4C+8D-1580=0$ ,agrupamos términos, simpliifcamos y obtenemos la ecuación :
$C^2+4C-316=0$
cuyas soluciones son:
$C=-8 \sqrt{5}-2$ y $C=8 \sqrt{5}-2$ . Dos soluciones para C significa que habrá dos circunferencias que cumplan las condiciones establecidas.
Los valores de D serán (**)
$D=-16 \sqrt{5}-4$ y $D=16 \sqrt{5}-4$
Los valores de $E: =-5-2D-C$
$E=5+40 \sqrt{5}$ y $E=5- 40 \sqrt{5}$

(4)Veamos el apartado cuatro:
La recta $x=2y-1$ es tangente a la circunferencia incógnita $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ .
Sustituimos la ecuación lineal en la circunferencia e impondremos la condión de solución doble a la ecuación de segundo grado resultante:
$(2y+1)^2+y^2+C(2y+1)+Dy+E=0$
$5y^2+y(4+2C+D)+1+C+E=0$
Imponemos la condicón b^2-40c=0:
$(4+2c+d)^2-20(1+C+E)$
$-20E+D^2+4CD+8D+4C^2-4C-4$ Primera ecuación
Las otras ecuaciones son de apartados anteriores:
La circunferencia pasa por (1,2): $E=-2-C-2D$
la circunferencia es tangente en (1,2) a las otras dos:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=-20E+D^2-4CD-40D+4C^2-20C-100$

Sustiuimos la segunda ecuación(lineal) en la otras dos (cuadráticas): y obtenemos:
$D^2+4CD+48D+4C^2+16C+96=0$ (*)
$D^2-4CD+4C^2=(D-2C)^2=0 \rightarrow D= 2C$ (**)

Sustituyo $D=2C$ en (*): $16C^2+112C+96=0 \rightarrow C^2+7C+6=0$
y obtenemos como soluciones:
$C=-6$ y $C=-1$
Calcula mos las otras varibles:
$D= -12$ y $C=-2$
$E=25$ y $E=0$

Vamos a comprobar si las soluciones son circunferencias.

1ª: las coordenadas del centro son (-3, -6). Por lo tanto $13= 25+36-r^2 \rightarrow r=\sqrt{61}$ es circunferencia. El punto de tangencia será (5, 2)
las coordenadas del centro son (-1/2,-1). Por lo tanto $0=\dfrac{1}{4}+1-r^2 \rightarrow r=\sqrt{\dfrac{5}{4}}$ es circunferencia.El punto de tangencia será (1,0)

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Recuros de geometría analítica en la red

Publicado por wgs84 en Miércoles, 9 Mayo, 2007

El olvido de las matemáticas perjudica todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo.

Roger Bacon

Proyecto Descartes: son de 1º de Bachillerato pero los alumnos de 4º pueden aprovechar ciertas partes

Otros recursos:

Geometría activa . Seleccionar 2º ciclo de secundaria y allí encontrareis la geometría analítica

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Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos notables del triángulo

Publicado por wgs84 en Miércoles, 9 Mayo, 2007

Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):

1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro

Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

medianas y baricnetro

Punto medio del lado AB: $M \left (\dfrac{6+2}{2},\dfrac{3+9}{2} \right )=(4,6)$

Vector: $\overrightarrow{MC}=(8-4, 1-6)=(4, -5)$

Mediana: $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-6}{-5}$

En forma general $5x+4y-44=0$

—————————————

Punto medio del lado BC: $N \left (\dfrac {6+8}{2},\dfrac{9+1}{2} \right )=(7,5)$

Vector $\overrightarrow {AN}=(7-2, 5-3)=(5,2)$

Mediana: $\dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y-3}{2}$

En forma general $2x-5y+11=0$

—————————————

Punto medio del lado AC: $O \left (\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{1+3}{2} \right )=(5,2)$

Vector $\overrightarrow{OB}=(6-5, 9-2)=(1, 7)$

Mediana $\dfrac{x-5}=\dfrac{y-2}{7}$

En forma explicita $y=7x-33$

—————————————

Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:

$2x-5y+11=0$

$y=7x-33$

Por sustitución $2x-5(7x-33)+11=0$ . Despejando $x= \dfrac{16}{3}$

$y= 7 \cdot \dfrac{16}{3} -33= \dfrac{13}{3}$

El baricentro $\left ( \dfrac{16}{3}, \dfrac{13}{3} \right )$

2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

mediatrices y circuncentro

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular.

Vector $\overrightarrow{AB}=(6-2, 9-3)=(4, 6)$

Pendiente $m=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

Pendiente de la perpendicular $m_p=-\dfrac{2}{3}$

Mediatriz $y-6=-\dfrac{2}{3}(x-4)$

———————————————-

Vector $\overrightarrow{AC}=(8-2, 1-3)=(6,-2)$

Pendiente $m=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}$

Pendiente de la perpendicular $m_p=3$

Mediatriz: $y-2=3(x-5)$

——————————————–

Vector $\overrightarrow{BC}=(8-6, 1-9)=(2, -8)$

Pendiente $m=\dfrac{-8}{2}=-4$

Pendiente de la perpendicular $m_p= \dfrac{1}{4}$

ediatriz: $y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)$

—————————————-

Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices

$y-2=3(x-5)$

$y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)$

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

$4(3x-13)-20=x-7$

$x=\dfrac{65}{11}$ ; $y=\dfrac{52}{11}$

El circuncentro $\left ( \dfrac{65}{11},\dfrac{52}{11} \right )$

3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro

Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

alturas y ortocentro

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas:

Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): $y-1=-\dfrac{2}{3}(x-8)$

Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9): $y-9=3(x-6)$

Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): $y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)$

El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:

$y-9=3(x-6)$

$y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)$

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: $y=3x-9$ ; $4(3x-9)-12-x+2=0$

$x=\dfrac{46}{11}$

$y= 3 \cdot \dfrac{46}{11}-9= \dfrac{39}{11}$

El ortocentro: $\left ( \dfrac{46}{11}, \dfrac{39}{11} \right )$

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Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):

Comprobar que es isósceles
Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

$| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4$

Es isósceles $| \overrightarrow {AB}|= | \overrightarrow {BC}|$

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector $\overrightarrow {AC}= (4, 0)$ . La pendiente que determina es $m= \dfrac{0}{4}=0$

La pendiente de la perpendicular será infinito $\dfrac{1}{0} =\infty$

La recta será $y-5= \dfrac{1}{0}(x-5)$ es decir $x= 5$

Recta que pasa por A y C: $\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0}$ es decir $y= 1$

El punto de corte será $(5, 1)$

El punto medio del segmento AC será:

$x=\dfrac{7+3}{2}=5$

$y=\dfrac{1+1}{2}=1$

Punto medio del segmento AB

$x=\dfrac{5+3}{2}=4$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Punto medio del segmento CB

$x=\dfrac{7+5}{2}=6$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Vector que los une $(6-4, 3-3)=(2, 0)$ . Su pendiente es $\dfrac{0}{2}=0$

Vector $\overrightarrow {AC}= (4,0)$ . Su pendiente $\dfrac{0}{4}=0$

Son paralelos

Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: $(3,1)$ . Pendiente $m=\dfrac{1}{3}$ . La recta perpendicular tendrá de pendiente $m_p=-3$ . Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si $y=0$ entonces $x= -5$ . $P(-5, 0)$

La recta será $y+5=-3(x-0)$ ; $y= -3x-5$

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución $x-3(-3x-5)-2=0$ Resolviendo hallamos que $x=\dfrac{17}{7}$

La coordenada y será $y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}$

3)La distancia buscada es $|\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}$

Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r $(2, 1)$ . Pendiente $m= \dfrac{1}{2}$ . La pendiente de la perpendicular $m_p=-2$

La recta será: $y+2=-2(x-3)$ ; $y= -2x+4$

2) Punto de corte Q de la recta $y= -2x+4$ con r

Por sustitución $x-2(-2x+4)+33=0$ . Resolviendo tenemos que $x= -5$ . Y la coordenada $y= -2 \cdot (-5)+4=14$ . Así pues $Q= (-5, 14)$

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

$-5=\dfrac{x_p+3}{2}$ y la x de P valdrá $x_p=-7$

$14=\dfrac{y_p-2}{2}$ y la y de P valdrá $y_p=30$

Por cierto ya he activado la posibilidad de hacer comentarios sin tener que darse de alta en wordpress e identificarse

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Posicones relativas de dos rectas en el plano

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dos rectas

$r\equiv Ax+By+C=0$

$s\equiv A'x+B'y+C'=0$

Pueden ser coincidentes:

En este caso como se trata de dos rectas iguales se cumplirá que $\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}$

Pueden ser paralelas :

En este caso los vectores directores serán proporcionales pero no compartiran ningún punto. Se cumplirá que:

$\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}$

Por último las rectas pueden ser secantes :

En este caso los vectores directores no son paralelos: $\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}$

El punto de intersección se calcula resolviendo el sistema formado por las dos rectas ya que es un punto que pertenece a las dos rectas (condición de pertenecia) y por lo tanto satisfará las ecuaciones de ambas

Estudia la posición relativa de las rectas r: 5x-3y+2=0 y s:2x+y+3= 0

$\dfrac{5}{-3}\neq\dfrac{2}{1}$ son secantes

Para obener el punto de corte resolvemos el sistema. Reducción r+3s

$5x-3y+2=0$

$6x+3y+9=0$

————————-

$11x =11$

$x=1$ .

Sustiyo en s-> $2+3y+3=0$

$y =-\dfrac{5}{2}$

El punto de corte es $\left (1, -\dfrac{ 5}{2} \right )$

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Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (II)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0

Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo $x=0$ tenemos que $-2y+4=0$ y por lo tanto $y=2$ . Nuestro punto es $(0, 2)$

Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es $(5, 1)$ , que también será vector director de la recta que buscamos.

$x= 5t$

$y= 2+t$

Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)

Punto: $x=\dfrac{5+3}{2}=4$ , $y=\dfrac{-2-6}{2}= -4$ $(4, -4)$

Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ $(-5-2, -3-1) =(-7, -4)$

Por lo tanto sus pendientes seran inversas y con el signo cambiado. Si $m= \dfrac{4}{7}$ , la pendiente de la recta que buscamos será $-\dfrac{7}{4}$

En forma punto-pendiente la recta incognita será: $y-4=-\dfrac{7}{4} (x+4)$

Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución: $7x+4y+12=0$

Obten la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectangulo de ctatetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso $b=3$ .Entonces $3a=6$ y $a= 2$ .

Utilizando la forma segmentaria la ecuación de la recta es $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1$

Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0

El vector director se s es (2, 3), y su pendiente $m_s=\dfrac{3}{2}$ .