Julio 2008
L	M	X	J	V	S	D
« May
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Archivos para 'Recta' Categoría

Problemas sobre la ecuación de la recta

Ecuación de la recta V

Publicado por wgs84 en Martes, 1 Julio, 2008

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta x-y+5=0

Hallamos el corte de la recta con el eje OX , cuya ecuación es y=0 . $x-0+5=0$ . Por lo que $x= -5$ y el punto que buscamos es $A (-5, 0)$

Hallamos el corte de la recta con el eje OY , cuya ecuación es x=0 . $0-y+5=0$ . Por lo que $y= 5$ y el punto que buscamos es $B (0,5)$

La mediatriz del segmento $\overline{AB}$ es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. Vamos por partes:

perpendicular al segmento $\overline{AB}$ :

Calculamos el vector $\vec{AB}$ : $(0, 5)-(-5, 0)= (5, 5)$ . Su pendiente será $m=\dfrac{5}{5}=1$ y la pendiente de un vector perpendicular a $\vec{AB}$ será: $- \dfrac{1}{m}=-1$

pasa por el punto medio de $\overline{ AB}$

Calculamos el punto medio M:

$x_M= \dfrac{0-5}{2}=-\dfrac{5}{2}$

$y_M= \dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}$

La ecuación de la mediatriz será $y- \dfrac{5}{2}= - \left ( x+\dfrac{5}{2} \right )$
Simplificando nos queda que la mediatriz es $x+y=0$
Determinar el valor de los coeficientes A yB de la ecuacion Ax+By-38=0 de una recta; si debe pasar por los puntos P(4,2) y Q(-5,7)

La condición de pertenencia de un punto a una recta nos dice que si un punto pertenece a una recta satisface su ecuación, es decir, que si se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la recta se obtiene una igualdad aritmética cierta.
Por lo tanto, para el punto P (4,2) se cumple $4A+2B-38=0 \rightarrow 2A+B-19=0$ .
Para el punto Q (-5, 7) será $-5A+7B-38=0$
Hallamos los coeficientes A y B resolviendo el sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} 2A+B-19 & = &0 \\ -5A+7B-38 & = &0 \end{array} \right\}$
Cuyas soluciones son $A= 5$ y $B= 9$ .
La recta buscada es $r: 5x+9y-38=0$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | Sin Comentarios »

Un problema interesante sobre un rectángulo.

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008

Determine el area y las coordenadas de los vertices de le rectangulo si se sabe que:

su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas

una de las diagonales esta sobre la recta de ecuacion 3y=4x y tiene una longitud de 10 unidades.

uno de los lados esta contenido en una recta de pendiente -2

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será $(x_A , y_A)$ y el otro $(x_B , y_B)$ .

Como el punto media es 0:
$\dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B$ (1)
$\dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B$ (2)

La longitud de la diagonal es 10:
$\sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10$
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
$4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25$

Como una diagonal está sobre la recta $y= \dfrac{4x}{3}$
$x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3$
Si $x= 3 \rightarrow y= 4$
Si $x= -3 \rightarrow y= -4$
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: $r_1:y-4=-2(x-3)$
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: $r_2:y+4=-2(x+3)$

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a $r_1$ que pasa por $(3, 4)$ : $y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)$
2)Intersección de está recta con $r_2$ : $y+4=-2(x+3)$

$\left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}$
La solución es $(- 5, 0 )$

3)recta perpendicular a $r_2$ que pasa por $(-3, -4)$ : $y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)$
4)Intersección de está recta con $r_1$ : $y-4=-2(x-3)$
$\left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}$
La solución del sistema es $(5, 0)$

Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen

Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

$\sqrt {(5-3)^2+(0-4)^2} \cdot \sqrt{ (3+5)^2+ (4-0)^2}=40$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | Sin Comentarios »

Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos notables del triángulo

Publicado por wgs84 en Miércoles, 9 Mayo, 2007

Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):

1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro

Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

medianas y baricnetro

Punto medio del lado AB: $M \left (\dfrac{6+2}{2},\dfrac{3+9}{2} \right )=(4,6)$

Vector: $\overrightarrow{MC}=(8-4, 1-6)=(4, -5)$

Mediana: $\dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-6}{-5}$

En forma general $5x+4y-44=0$

—————————————

Punto medio del lado BC: $N \left (\dfrac {6+8}{2},\dfrac{9+1}{2} \right )=(7,5)$

Vector $\overrightarrow {AN}=(7-2, 5-3)=(5,2)$

Mediana: $\dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y-3}{2}$

En forma general $2x-5y+11=0$

—————————————

Punto medio del lado AC: $O \left (\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{1+3}{2} \right )=(5,2)$

Vector $\overrightarrow{OB}=(6-5, 9-2)=(1, 7)$

Mediana $\dfrac{x-5}=\dfrac{y-2}{7}$

En forma explicita $y=7x-33$

—————————————

Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:

$2x-5y+11=0$

$y=7x-33$

Por sustitución $2x-5(7x-33)+11=0$ . Despejando $x= \dfrac{16}{3}$

$y= 7 \cdot \dfrac{16}{3} -33= \dfrac{13}{3}$

El baricentro $\left ( \dfrac{16}{3}, \dfrac{13}{3} \right )$

2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

mediatrices y circuncentro

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular.

Vector $\overrightarrow{AB}=(6-2, 9-3)=(4, 6)$

Pendiente $m=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

Pendiente de la perpendicular $m_p=-\dfrac{2}{3}$

Mediatriz $y-6=-\dfrac{2}{3}(x-4)$

———————————————-

Vector $\overrightarrow{AC}=(8-2, 1-3)=(6,-2)$

Pendiente $m=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}$

Pendiente de la perpendicular $m_p=3$

Mediatriz: $y-2=3(x-5)$

——————————————–

Vector $\overrightarrow{BC}=(8-6, 1-9)=(2, -8)$

Pendiente $m=\dfrac{-8}{2}=-4$

Pendiente de la perpendicular $m_p= \dfrac{1}{4}$

ediatriz: $y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)$

—————————————-

Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices

$y-2=3(x-5)$

$y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)$

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

$4(3x-13)-20=x-7$

$x=\dfrac{65}{11}$ ; $y=\dfrac{52}{11}$

El circuncentro $\left ( \dfrac{65}{11},\dfrac{52}{11} \right )$

3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro

Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

alturas y ortocentro

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas:

Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): $y-1=-\dfrac{2}{3}(x-8)$

Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9): $y-9=3(x-6)$

Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): $y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)$

El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:

$y-9=3(x-6)$

$y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)$

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: $y=3x-9$ ; $4(3x-9)-12-x+2=0$

$x=\dfrac{46}{11}$

$y= 3 \cdot \dfrac{46}{11}-9= \dfrac{39}{11}$

El ortocentro: $\left ( \dfrac{46}{11}, \dfrac{39}{11} \right )$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | 33 Comentarios »

Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):

Comprobar que es isósceles
Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

$| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}$

$| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4$

Es isósceles $| \overrightarrow {AB}|= | \overrightarrow {BC}|$

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector $\overrightarrow {AC}= (4, 0)$ . La pendiente que determina es $m= \dfrac{0}{4}=0$

La pendiente de la perpendicular será infinito $\dfrac{1}{0} =\infty$

La recta será $y-5= \dfrac{1}{0}(x-5)$ es decir $x= 5$

Recta que pasa por A y C: $\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0}$ es decir $y= 1$

El punto de corte será $(5, 1)$

El punto medio del segmento AC será:

$x=\dfrac{7+3}{2}=5$

$y=\dfrac{1+1}{2}=1$

Punto medio del segmento AB

$x=\dfrac{5+3}{2}=4$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Punto medio del segmento CB

$x=\dfrac{7+5}{2}=6$

$y=\dfrac{5+1}{2}=3$

Vector que los une $(6-4, 3-3)=(2, 0)$ . Su pendiente es $\dfrac{0}{2}=0$

Vector $\overrightarrow {AC}= (4,0)$ . Su pendiente $\dfrac{0}{4}=0$

Son paralelos

Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: $(3,1)$ . Pendiente $m=\dfrac{1}{3}$ . La recta perpendicular tendrá de pendiente $m_p=-3$ . Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si $y=0$ entonces $x= -5$ . $P(-5, 0)$

La recta será $y+5=-3(x-0)$ ; $y= -3x-5$

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución $x-3(-3x-5)-2=0$ Resolviendo hallamos que $x=\dfrac{17}{7}$

La coordenada y será $y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}$

3)La distancia buscada es $|\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}$

Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r $(2, 1)$ . Pendiente $m= \dfrac{1}{2}$ . La pendiente de la perpendicular $m_p=-2$

La recta será: $y+2=-2(x-3)$ ; $y= -2x+4$

2) Punto de corte Q de la recta $y= -2x+4$ con r

Por sustitución $x-2(-2x+4)+33=0$ . Resolviendo tenemos que $x= -5$ . Y la coordenada $y= -2 \cdot (-5)+4=14$ . Así pues $Q= (-5, 14)$

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

$-5=\dfrac{x_p+3}{2}$ y la x de P valdrá $x_p=-7$

$14=\dfrac{y_p-2}{2}$ y la y de P valdrá $y_p=30$

Por cierto ya he activado la posibilidad de hacer comentarios sin tener que darse de alta en wordpress e identificarse

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | 17 Comentarios »

Posicones relativas de dos rectas en el plano

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Dos rectas

$r\equiv Ax+By+C=0$

$s\equiv A'x+B'y+C'=0$

Pueden ser coincidentes:

En este caso como se trata de dos rectas iguales se cumplirá que $\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}$

Pueden ser paralelas :

En este caso los vectores directores serán proporcionales pero no compartiran ningún punto. Se cumplirá que:

$\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}$

Por último las rectas pueden ser secantes :

En este caso los vectores directores no son paralelos: $\dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}$

El punto de intersección se calcula resolviendo el sistema formado por las dos rectas ya que es un punto que pertenece a las dos rectas (condición de pertenecia) y por lo tanto satisfará las ecuaciones de ambas

Estudia la posición relativa de las rectas r: 5x-3y+2=0 y s:2x+y+3= 0

$\dfrac{5}{-3}\neq\dfrac{2}{1}$ son secantes

Para obener el punto de corte resolvemos el sistema. Reducción r+3s

$5x-3y+2=0$

$6x+3y+9=0$

————————-

$11x =11$

$x=1$ .

Sustiyo en s-> $2+3y+3=0$

$y =-\dfrac{5}{2}$

El punto de corte es $\left (1, -\dfrac{ 5}{2} \right )$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | 1 Comentario »

Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (II)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0

Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo $x=0$ tenemos que $-2y+4=0$ y por lo tanto $y=2$ . Nuestro punto es $(0, 2)$

Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es $(5, 1)$ , que también será vector director de la recta que buscamos.

$x= 5t$

$y= 2+t$

Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)

Punto: $x=\dfrac{5+3}{2}=4$ , $y=\dfrac{-2-6}{2}= -4$ $(4, -4)$

Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ $(-5-2, -3-1) =(-7, -4)$

Por lo tanto sus pendientes seran inversas y con el signo cambiado. Si $m= \dfrac{4}{7}$ , la pendiente de la recta que buscamos será $-\dfrac{7}{4}$

En forma punto-pendiente la recta incognita será: $y-4=-\dfrac{7}{4} (x+4)$

Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución: $7x+4y+12=0$

Obten la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectangulo de ctatetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso $b=3$ .Entonces $3a=6$ y $a= 2$ .

Utilizando la forma segmentaria la ecuación de la recta es $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1$

Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0

El vector director se s es (2, 3), y su pendiente $m_s=\dfrac{3}{2}$ .

El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente $m_r=\dfrac{2}{5B}$

Si r y s son perpendiculares $m_s=-\dfrac{1}{m_r}$ . Por lo tanto : $\dfrac{-5B}{2}=\dfrac{3}{2}$

$B=-\dfrac {3}{5}$ y nuestra recta queda $2x+3y+C=0$

Como el punto $(3, -2)$ pertenece a la recta se cumple que: $2 \cdot 3 +3 \cdot (-2) +C=0$ Por lo que $C=0$

Y la recta incognita será $2x+3y=0$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | Sin Comentarios »

Ecuación de la recta en el plano (II)

Publicado por wgs84 en Miércoles, 2 Mayo, 2007

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Se trata de una recta que pasa por el punto $A(x_a, y_a)$ y por el punto $B (x_b, y_b)$ . Como vetor director cogeremos el vector $AB (x_b - x_a, y_b - y_a)$ y como punto cualquiera de los dos, el A o el B. En forma contínua quedará:

$\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a}= \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}$

La ecuación de la recta que pasa por $A(5,4)$ y $B (-3,1)$ será:

En forma contínua $\dfrac{x-5}{5+3}=\dfrac{y-4}{4-1}$ ,

y en general $3x-8y+17=0$

Ecuaciones de los ejes de coordenadas

Determinación lineal del eje OX: punto $(0, 0)$ y vector director $(1,0)$ Utilizando la forma punto-pendiente la ecuación será $y-0=0(x-0)$ -> $y=0$

Determinación lineal del eje OY: punto $(0,0)$ y vector director $(0, 1)$

Utilizando la forma continua $\dfrac{x-0}{0}=\dfrac{y-0}{1}$ . Multiplicando en cruz tenemos que $x=0$

Puntos de corte con los Ejes

Corte Eje OX: en este punto la coordenada y es cero . Para calcular la x , sustituimos la y por cero en la ecuación de la recta y despejamos la x.

Corte Eje OY: en este punto la coordenada x es cero . Para calcular la y , sustituimos la x por cero en la ecuación de la recta y despejamos la y.

Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la recta $2x-y+3=0$

Eje OX: $y=0$ -> $2x+3=0$ -> $x=-\dfrac{3}{2}$ . El punto es $\left (-\dfrac{3}{2}, 0 \right )$

Eje OY: $x=0$ -> $-y+3=0$ -> $y=3$ . El punto es $(0, 3)$

Ecuación canónica o segmentaria

Se trata de obtener la ecuación de la recta a partir de sus puntos de corte con los ejes. Sea $(a, 0)$ el corte con el eje OX y $(0, b)$ el corte con el eje OY.

El vector director de la recta será $( a-0, 0-b)=(a, -b )$ y la ecuación en forma contínua será

$\dfrac{x-a}{a}=\dfrac{y-0}{-b}$

que la podemos escribir así:

$\dfrac{x}{a}-1=-\dfrac{y}{b}$

y finalmente:

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

Condición de paralelismo entre rectas

Aunque matizaremos esto más adelante cuando hablemos de incidencia de rectas valga como adelanto.

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son paralelos, es decir, cuando sus componentes sean proporcionales $\dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{W_y}{W_x}$ . Así, las rectas

$x-2y+5=0$

$2x-4y+8=0$

son paralelas porque sus vetores (2, 1) y (4, 2) respectivamente tienen las componentes proporcionales $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}$ .

Un enunciado equivalente es decir que dos rectas son paralelas cuando tiene identicas pendientes. Por ejemplo, las rectas $y= -3x+1$ y $y+\dfrac{1}{2}=-3(x-5)$ son paralelas

Condición de perpendicularidad

Si una recta (r) forma un ángulo A con el eje OX, una recta perpendicular a ésta (s) formará con el eje OX un ángulo de A+90.

La pendiente de r valdrá $tan A=m_r$ y la de s $tan (90+A)=-ctan A$ . Por lo que se cumplirá que:

$m_s= -\dfrac{1}{m_s}$

Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una es la inversa cambiada de signo de la otra.

Os prometí unos problemas resueltos pero los dejo para mañana. Buenas noches

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | 1 Comentario »

Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (I)

Publicado por wgs84 en Martes, 1 Mayo, 2007

1) Obtén todas las formas de la recta que pasa por A(3, 4) con vector director (-1, 3)

Vectorial : $(x, y)=(3,4)+ t\cdot(-1, 3)$ con t un número real

Paramétricas: Operando obtenemos $( x, y)= (3-t, 4+3t)$

Contínua: Despejando t de las dos paramétricas e igualando obtenemos $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-4}{3}$

Punto-pendiente: la pendiente será $m=\dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{3}{-1}$ y la ecuación quedara $y-4=-3(x-3)$

Ecuación general o implícita: ee obtiene llegando a la forma $Ax+By+C=0$ desde la forma contínua o desde la punto-pendiente. Así pues: $y-4=-3x+9$ y de ahí $3x+y-13=0$

Ecuación explícita: basta despejar la y de la continua, la genmeral o la punto-pendiente $y= -3x+13$

2) La ecuación de una recta es:

$x= -2t$

$y= 3+5t$

Obtén su determinación lineal, su ordenada en el origen y su ecuación punto-pendiente

La ecuación está en forma paramétrica. Las componentes del vector director son los coeficientes del parametro t por lo que será $(-2, 5)$ y el punto $A=(0, 3)$

La pendiente $m=\dfrac{V_y}{V_x}=-\dfrac{5}{2}$

La ecuación punto-pendiente $y-3=-\dfrac{5}{2}(x-0)$

Para obtner la ordenada en el origen (punto de corte con el eje OY) sustituyo 0 en la ecuación anterior o obtengo la forma explicita:

$y= -\dfrac{5}{2} +3$

Así, la ordenada en el origen es 3. El punto $(0, 3)$

3)Una recta tiene como ecuación general $2x -y-7=0$ . Obtener sus ecuaciones paramétricas

Necesitamos un punto de la recta y un vector director:

Como en la ecuación general el vector es (-B, A) -> (1, 2)
Para obtener un punto le damos un valor cualquiera a x y despejamos y. Si $x=0$ entonces $-y-7=0$ y $y= -7$

Las paramétricas serán:

$x= t$

$y= -7+2t$

4) Obtén la determinación lineal de la recta $y= -2x +\dfrac{1}{2}$

La recta está en forma implicita por lo que el coeficiente de las x es la pendiente $m= -2= \dfrac{V_y}{V_x}$ . De los infinitos vectores de pendiente -2 elegimos uno, por ejemplo (1, -2) Nos serviría cualquiera con tal de que su pendiente fuera -2.

Como punto elegimos la ordenada en el origen $\left (0, \dfrac{1}{2} \right )$

5) Obtener la ecuación general de la recta que pasa por (1, -3) y que forma un ángulo de 30º con el eje OX

Por definición la pendiente será $\tan 30= \dfrac{\sqrt{3} }{3}$

Montamos la punto-pendiente $y+3= \dfrac{\sqrt{3} }{3} \left ( x-1 \right )$

Eliminamos paréntesis y denominadores : $3y+9=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$

Lo pasamos todo a la izquierda y ya tenemos la forma general: $- \sqrt{3}x+3y+9+\sqrt{3}=0$

Publicado en Geometría analítica, Matemáticas, Recta | 1 Comentario »

Ecuación de la recta en el plano (I)

Publicado por wgs84 en Lunes, 30 Abril, 2007

La ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma: $(x, y)= (x_0,y_0)+t(V_x,V_y)$ con t un número real.

$(x_0,y_0)$ es un punto de la recta (A) y $(V_x,V_y)$ un vector director de la recta. Estos dos elementos forman la determinación lineal de la recta, es decir, que para representar un a recta de forma analítica los necesitaremos impepinablemente.

Una aclaración antes de continuar. Vector director significa que tiene la misma dirección que la recta a la que determina. Para aclararnos bien en este tema tenemos que saber extraer el punto y el vector director de cada una de las formas de la ecuación de la recta,

Para pasar a la forma paramétrica simplemente hay que convertir la anterior ecuación vectorial en dos ecuaciones algebraicas:

$x= x_0+t \cdot V_x$

$y= y_0+t \cdot V_y$

Ecuación continua

Para obtener la ecuación continua de la recta despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones paramétricas e igualamoslos resultados:

$\dfrac{x-x_0}{V_x}=\dfrac{y-y_o}{V_y}$

Ecuación punto-pendiente

¿Que es la pendiente de un de una recta?

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX. Ese mismo ángulo es el que forma el vector director de la recta y, a partir de sus componentes obtenemos una expresión para la pendiente (m):

$m= \dfrac{V_y}{V_x}$