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Problemas sobre la ecuación de la recta

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Otro de triángulos isosceles

Publicado por wgs84 en Viernes, 20 Marzo, 2009

EL LADO DESIGUAL DEL TRIANGULO ISOSCELES TIENE POR EXTREMOS LOS PUNTOS A(3,-1)Y B(6,2).HALLAR LAS COORDENADAS DEL TERCER VERTICE C. SI EL AREA DEL TRIANGULO ABC ES 7,5

Si es un triángulo isosceles la distancia AC es igual a la distancia BC. De aquí sale la ecuación:
\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} =\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2}
Elevando al cuadrado ambos términos y desarrollando los cuadrados:
x^2-6x+9+y^2+2y+1=x^2-12x+36+y^2-4y+4
Agrupando términos y simplificando obtenemos la ecuación de la mediatriz del segmento AB:
x+y-5=0 (1)

Por otro lado, el área del triángulo es 7.5. Bién, el área del triángulo será \dfrac{1}{2} \cdot | \vec{AB}| \cdot h
Donde \vec{AB} es la base y h la altura, qué es la distancia del punto incógnita C a la recta que pasa por los puntos A y B.
Vamos a despejar el valor de h:

  • La longitud de la base|\vec{AB}|=\sqrt{ (3-6)^2+(-1-2)^2}=3 \sqrt{2}
  • Despejamos h de la expresión del área del triángulo 7.5= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot h. De donde obtenemos que h= \dfrac{5}{\sqrt{2}}

La recta que pasa por AB será: x-y-4=0
Usando la ecuación de la distancia punto recta tendremos:
\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{| x-y-4|}{\sqrt{2}}
|x-y-4|= 5
De la ecuación con valor absoluto obtendremos dos ecuaciones una para el signo + y otra para el signo -:
(2) x-y-4=5 \rightarrow x-y-9=0
(3) x-y-4=-5 \rightarrow x-y+1=0

Los puntos solución se obtendrán de resolver los sistemas de ecuaciones:
(1) y (2)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y-9=0 \end{array} \right\}
Sumando las ecuaciones (reducción) obtenemos facilmente la primera solución:(7, -2)

y (1) y (3)

\left. \begin{array}{rcl} x+y-5=0 \\ x-y+1=0 \end{array} \right\}
Cuya solución es (2, 3)

tisosceles

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Examen Geometría analítica 2008-2009

Publicado por wgs84 en Viernes, 20 Febrero, 2009

  1. Resuleve 3(x-2, 5)= 2(y-3, 1) +4(2, x-2y)

    (3x-6, 15)=(2y-6, 2)+(8, 4x-8y)=(2y+2, 4x-8y+2)
    La igualdad de vectores da lugar a un sistema de ecuaciones
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-6=2y+2 \\ 15=4x-8y+2 \end{array} \right \}
    \left. \begin{array}{rcl} 3x-2y=8 \\ 4x-8y=13 \end{array} \right \}
    Lo resolvemos por igualación \dfrac{8+2y}{3}=\dfrac{13+8y}{4}
    32+8y=39+24y y=\dfrac{-7}{16}
    x=\dfrac{8-\dfrac{7}{8}}{3}=\dfrac{19}{8}

  2. Obten las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, general ,explicita y canónica de la recta que pasa por el punto P(5,6) y cuya pendiente es -2

    Si la pendiente es -2 un vector director es \vec{v} (1,-2) pues la pendiente es m=\dfrac{v_2}{v_1}

    • vectorial: (x,y)=(5,6) +t(1,-2) t \in setR
    • paramétricas: \left \{ \begin{array}{rcl} x= 5 +t \\ y=6-2t \end{array} \right.
    • continua: \dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-6}{-2}
    • general: -2x+10=y-6 \rightarrow 2x+y-16=0
    • punto-pendiente y-6=-2(x-5)
    • explicita: y= -2x+16
    • canónica: los puntos de corte (0,16) y (8,0) la ecuación será \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=1

  3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta x-7y-21=0 y es paralela a la recta 3x-2y+1=0

    Punto de corte de x-7y-21=0 con eje OY Si x=0 entonces y= -3 (0,-3) . El vector director es \vec{v}(2,3).
    La ecuación continua es \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y+3}{3}. Y en forma general 3x-2y-6=0

  4. Sea el triángulo de vértices A(4,1), B(12,3) y C (8,7). Calcula
    a) Baricentro
    b) El perímetro
    c) El ángulo A

    Para calcular el baricentro obtendremos el punto de corte de dos de las medianas del triángulo.
    MEDIANA DEL LADO AB

    • Punto medio del segmento AB M(8, 2)
    • Vector \vec{CM}=(0, -5) Podemos coger como vector director (0,1) paralelo al anterior.
    • La mediana x=8 pasa por M y C

    MEDIANA DEL LADO AC

    • Punto medio del segmento AC N(6,4)
    • Vector \vec{BN}=(-6,1)
    • L a mediana x+6y -30=0 pasa por N y B

    El baricentro sera la solución del sistema \left. \begin{array}{rcl} x=8 \\x+6y-30=0 \end{array} \right\}
    Cuya solución es \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Podemos comprobar el resultado con la fórmula del baricentro de un triángulo
    \left ( \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} \right )
    En nuestro caso \left ( \dfrac{4+12+8}{3}, \dfrac{1+3+7}{3} \right )= \left ( 8, \dfrac{11}{3} \right )
    Para calcular el perímetro sumaremos los módulos de los vectores que forman los lados
    | \vec{AC}|=\sqrt{ (8-4)^2+(7-1)^2}=2 \sqrt{13}
    | \vec{AB}|=\sqrt{(12-4)^2+(3-1)^2}=2 \sqrt{17}
    | \vec{BC}|=\sqrt{(8-12)^2+(3-7)^2}=4 \sqrt{2}
    perimetro= 2 \sqrt{13}+ 2 \sqrt{17}+4 \sqrt{2}

    El ángulo en A es el ángulo formado por los vectores \vec{AB}(8, 2) y \vec{AC}(8,2). \cos A= \dfrac{ 8 \cdot 4 + 2 \cdot 6}{4 \sqrt{13}\sqrt{17}}=\dfrac{11}{\sqrt{221}}
    A= 42º 16′ 25.28”

  5. Calcula la mediatriz del segmento formado por el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX y el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. ¿Qué ángulo formará la mediatriz con el eje OX?

    La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento AB que pasa por su punto medio M.

    • A va a ser el punto de corte de la recta 3x-5y+15= 0 con el eje OX. si y=0 tendremos que 3x+15=0 y el punto A será A(-5, 0)
    • B va ser el punto de abcisa 4 (x= 4) de la recta y= 3x-10. Si x=4 la coordenada y es y=3 \cdot 4-10=2. El punto B(4, 2)
    • M va a ser el punto medio del segmento AB M \left ( -\dfrac{1}{2}, 1 \right )
    • Vamos a sacar un vector perpendicular al segmento AB. \vec{AB}= (9,2). Un vector perpendicular a él será \vec{v}(2,-9)
    • La mediatriz pasará por M y tendrá como vector director \vec{v}(2,-9). En forma continua \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{y-1}{-9}. En forma general 18x+4y+5=0

    La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma una recta con el eje de abcisas.La pendiente de nuesta recta e m= \dfrac{-9}{2}= \tan \alpha
    \alpha=102º 31′ 43.7” .
    Es 180º + el ángulo negativo que sale en la calculadora ya que la función arctan (tan^-1) de la calculadora trabaja entre -90º y 90º.

  6. Calcula las coordenadas de los puntos del segmento de extremos A(1, 2) y B( 6, 9) que lo dividen en tres partes iguales

    Los puntos buscados serán C y D tales que cumplirán las ecuaciones:

    • 4 \vec{AC}=\vec{AB}
      4(x-1, y-2)=(5, 7) . De esta ecuación vectorial C \left ( \dfrac{9}{4}, \dfrac{15}{4} \right )
    • \vec{AD}=\dfrac{3}{4} \vec{AB}
      (x-1, y-2)=\dfrac{3}{4} \cdot (5, 7). De esta ecuación vectorial D \left ( \dfrac{19}{4}, \dfrac{29}{4} \right )

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Uno sobre un triángulo isósceles

Publicado por wgs84 en Viernes, 13 Febrero, 2009

Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A

El punto en cuestión, al estar sobre la recta x+2y-15=0 tendrá la forma A(15-2y, y). De esta forma hay una sóla incognita para una única condicón: el triángulo es isosceles (dos lados iguales).La ecuación que resulelve el problema es:
| \vec{AB}|=|\vec{AC}|
\sqrt{(15-2y+1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(15-2y-3)^2+(y+3)^2}
Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando los productos notables
5y^2-70y+265=5y^2-42y +153
La coordenada y será y=\dfrac{56}{15}.
Y la coordenada x x=15-2y= 15-2 \dfrac{56}{15}=\dfrac{113}{15}
A= \left (\dfrac{56}{15}, \dfrac{113}{15} \right )

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Proyección de un punto sobre una recta y pie de la perpendicular

Publicado por wgs84 en Domingo, 8 Febrero, 2009

1)Hallar la proyección del punto P(-8, 12) sobre la recta que pasa por los puntos A(2, -3) y B(-5, 1).

Es la intersección de la recta que pasa por A y B con la perpendicular a esta que pasa por en punto P.

  1. Hallamos la ecuación de la recta r que pasa por los punto Ay B. El vector director será \vec{AB}=(-7,4).
    La ecuación continua \dfrac{x-2}{-7}=\dfrac{y+3}{4}. En forma general r :4x+7y+13=0
  2. Obtenemos la recta s perpendicular a r que pasa por el punto P. El vector director será (4, 7). La ecuación continua \dfrac{x+8}{4}=\dfrac{y-12}{7}. En forma general 7x+4y+104=0
  3. El punto que buscamos es la solución del sistema formado por las rectas r y s.
    \left \{ \begin{array}{rcl} 4x-7y-13=0 \\ 7x-4y+104=0 \end{array} \right.
    Cuya solución es x=-12,y=5

2)Hallar la ecuación de la recta, si el punto P(2, 3) es la base de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la recta.

El vector perpendicular a la recta es \vec{OP}=(2,3). Por lo tanto el vector de la recta es \vec{v}= (-3,2) y el punto por el que pasa P( 2,3).
Su ecuación continua: \dfrac{x-2}{-3}=\dfrac{y-3}{2}

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Área de un triángulo

Publicado por wgs84 en Martes, 3 Febrero, 2009

Halla el área del triángulo de vértices A(2,-2), B(-8,4) Y C(5,3)

El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.
La altura es la longitud del segmento que desde un vértice al lado opuesto en perpendicular (base)

Calcularemos la altura respecto al lado BC

  1. Calculamos la recta sobre la que se apoya el lado BC.
    El vector \vec{BC}=(13, -1)
    La recta en ecuación continua es \dfrac{x-5}{13}=\dfrac{y-3}{-1}
    En forma general es r: x+13y-44=0
  2. La altura será la distancia del vértice A a la recta r
    \dfrac{|2+13(-2) -44|}{\sqrt{170}}=\dfrac{68}{\sqrt{170}}
  3. La longitud de la base será el móduco del \vec{BC}.
    |\vec{BC}|=\sqrt{13^2+(-1)^2}=\sqrt{170}
  4. Por último el área del triágulo será \dfrac{1}{2} \sqrt{170} \dfrac{68}{\sqrt{170}}=34

También se puede calcular mediante determinantes:
triangulo
\dfrac{1}{2} \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 1 & -8 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \end{array} \right |= \dfrac{1}{2} (-24-10+8-16-20-6)=-34. Tomaremos el valor absoluto

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Incentro y circuncferencia inscrita a un triángulo

Publicado por wgs84 en Miércoles, 3 Diciembre, 2008

En un triangulo cuyos vertices son A(-1,0); B(2,9/4) y C(5,0), hallar la ecuacion de la circunferencia inscrita al triangulo

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo. También es el punto de corte de las tres bisectrices. Por lo tanto calcularemos dos de las bisectrices y el punto de corte será el incentro

  1. Primero calculamos las ecuaciones de las rectas que forman los lados.
    • El vector \vec{AB}= (2+1 ; \dfrac{9}{4}-0)=(3, \dfrac{9}{4}))
      Multiplicando por 4 y diviendo por tres nos queda como vector director \vec{v}=(4, 3).
      La ecuación de la recta que pasa por A y B sera \dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-0}{3}.
      Multiplicando en cruz y agrupando 3x-4y+3=0 (1)
    • El vector \vec{BC}=(5-2, 0-\dfrac{9}{4})=(3, -\dfrac{9}{4}) Multiplicando por 4 y divdiendo por 3 nos queda como vector director de la recta que pasa por B y C \vec{w}=(4, -3).
      La ecuación de la recta correspondiente será \dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-0}{-3}. Pasandola a forma general es 3x+4y-15=0 (2)
    • La ecuación de la recta que pasa por A y C es el eje OX: y= 0 (3)
  2. Calculamos dos bisectrices. Por facilidad obtendrema la bisectriz en A y en C
    • \left | \dfrac{3x-4y+3}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x-4y+3}{5}=y \rightarrow 3x-9y+3=0
      bisectriz \dfrac{3x-4y+3}{5}=-y \rightarrow 3x+y+3=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x-9y+3=0 (4)
    • \left | \dfrac{3x+4y-15}{\sqrt{9+16}} \right | =\left | y \right |
      Esto da lugar a :
      bisectriz: \dfrac{3x+4y+15}{5}=y \rightarrow 3x-y-15=0
      bisectriz \dfrac{3x+4y-15}{5}=-y \rightarrow 3x+9y-15=0
      Gráficamente se puede comprobar que la bisectriz que buscamos es 3x+9y-15=0 (5)
  3. Calculamos el incentro resolviendo el sistema :
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+9y-15=0 \\ 3x-9y+3=0 \end{array} \right \}
    Sumando las ecuaciones nos queda 6x-12=0 \rightarrow x= 2. Sustituyendo en la segunda , por ejemplo 6-9y+3=0 \rightarrow y=1.
    El Incentro es el punto ( 2, 1)
  4. El radio de la circunferencia será la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo. Elejimos el lado AC de ecuación (4) y=0 por ser el más sencillo.
    En este caso la distnacia del punto ( 2, 1) al eje OX es su coordenada y, es decir, el radio de la circunferencia es r= 1
  5. La ecuación de la circunferencia inscrita es (x-2)^2+(y-1)^2=1

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Ecuación de la recta V

Publicado por wgs84 en Martes, 1 Julio, 2008

  1. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta x-y+5=0

    Hallamos el corte de la recta con el eje OX , cuya ecuación es y=0 . x-0+5=0. Por lo que x= -5 y el punto que buscamos es  A (-5, 0)

    Hallamos el corte de la recta con el eje OY , cuya ecuación es x=0 . 0-y+5=0. Por lo que y= 5 y el punto que buscamos es  B (0,5)

    La mediatriz del segmento \overline{AB} es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. Vamos por partes:

    perpendicular al segmento\overline{AB} :

    Calculamos el vector \vec{AB}: (0, 5)-(-5, 0)= (5, 5). Su pendiente será m=\dfrac{5}{5}=1 y la pendiente de un vector perpendicular a \vec{AB} será: - \dfrac{1}{m}=-1

    pasa por el punto medio de \overline{ AB}

    Calculamos el punto medio M:

    x_M= \dfrac{0-5}{2}=-\dfrac{5}{2}

    y_M= \dfrac{5+0}{2}=\dfrac{5}{2}

    La ecuación de la mediatriz será y- \dfrac{5}{2}= - \left ( x+\dfrac{5}{2} \right )
    Simplificando nos queda que la mediatriz es x+y=0

  2. Determinar el valor de los coeficientes A yB de la ecuacion Ax+By-38=0 de una recta; si debe pasar por los puntos P(4,2) y Q(-5,7)

    La condición de pertenencia de un punto a una recta nos dice que si un punto pertenece a una recta satisface su ecuación, es decir, que si se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la recta se obtiene una igualdad aritmética cierta.
    Por lo tanto, para el punto P (4,2) se cumple 4A+2B-38=0 \rightarrow 2A+B-19=0.
    Para el punto Q (-5, 7) será -5A+7B-38=0
    Hallamos los coeficientes A y B resolviendo el sistema:
    \left. \begin{array}{rcl} 2A+B-19 & = &0 \\ -5A+7B-38 & = &0 \end{array} \right\}
    Cuyas soluciones son A= 5 y B= 9.
    La recta buscada es r: 5x+9y-38=0

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Un problema interesante sobre un rectángulo.

Publicado por wgs84 en Sábado, 3 Mayo, 2008


Determine el area y las coordenadas de los vertices de le rectangulo si se sabe que:

  1. su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas
  2. una de las diagonales esta sobre la recta de ecuacion 3y=4x y tiene una longitud de 10 unidades.
  3. uno de los lados esta contenido en una recta de pendiente -2

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será (x_A , y_A) y el otro (x_B , y_B).

Como el punto media es 0:
\dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B (1)
\dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B (2)

La longitud de la diagonal es 10:
\sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25

Como una diagonal está sobre la recta y= \dfrac{4x}{3}
x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3
Si x= 3 \rightarrow y= 4
Si x= -3 \rightarrow y= -4
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: r_1:y-4=-2(x-3)
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: r_2:y+4=-2(x+3)

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a r_1 que pasa por (3, 4): y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)
2)Intersección de está recta con r_2:y+4=-2(x+3)

\left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}
La solución es (- 5, 0 )

3)recta perpendicular a r_2 que pasa por (-3, -4): y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)
4)Intersección de está recta con r_1: y-4=-2(x-3)
\left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}
La solución del sistema es (5, 0)

Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen

Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

\sqrt {(5-3)^2+(0-4)^2} \cdot \sqrt{ (3+5)^2+ (4-0)^2}=40

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Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos notables del triángulo

Publicado por wgs84 en Miércoles, 9 Mayo, 2007


Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):

1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro

Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

medianas y baricnetro

Punto medio del lado AB: M \left (\dfrac{6+2}{2},\dfrac{3+9}{2} \right )=(4,6)

Vector: \overrightarrow{MC}=(8-4, 1-6)=(4, -5)

Mediana: \dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-6}{-5}

En forma general 5x+4y-44=0

—————————————

Punto medio del lado BC:N \left (\dfrac {6+8}{2},\dfrac{9+1}{2} \right )=(7,5)

Vector \overrightarrow {AN}=(7-2, 5-3)=(5,2)

Mediana: \dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y-3}{2}

En forma general 2x-5y+11=0

—————————————

Punto medio del lado AC: O \left (\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{1+3}{2} \right )=(5,2)

Vector \overrightarrow{OB}=(6-5, 9-2)=(1, 7)

Mediana \dfrac{x-5}=\dfrac{y-2}{7}

En forma explicita y=7x-33

—————————————

Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:

2x-5y+11=0

y=7x-33

Por sustitución 2x-5(7x-33)+11=0. Despejando x= \dfrac{16}{3}

y= 7 \cdot \dfrac{16}{3} -33= \dfrac{13}{3}

El baricentro \left ( \dfrac{16}{3}, \dfrac{13}{3} \right )

2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

mediatrices y circuncentro

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular.

Vector \overrightarrow{AB}=(6-2, 9-3)=(4, 6)

Pendiente m=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}

Pendiente de la perpendicular m_p=-\dfrac{2}{3}

Mediatriz y-6=-\dfrac{2}{3}(x-4)

———————————————-

Vector \overrightarrow{AC}=(8-2, 1-3)=(6,-2)

Pendiente m=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}

Pendiente de la perpendicular m_p=3

Mediatriz: y-2=3(x-5)

——————————————–

Vector \overrightarrow{BC}=(8-6, 1-9)=(2, -8)

Pendiente m=\dfrac{-8}{2}=-4

Pendiente de la perpendicular m_p= \dfrac{1}{4}

ediatriz: y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)

—————————————-

Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices

y-2=3(x-5)

y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

4(3x-13)-20=x-7

x=\dfrac{65}{11} ; y=\dfrac{52}{11}

El circuncentro \left ( \dfrac{65}{11},\dfrac{52}{11} \right )

3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro

Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

alturas y ortocentro

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas:

Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): y-1=-\dfrac{2}{3}(x-8)

Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9): y-9=3(x-6)

Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)

El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:

y-9=3(x-6)

y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: y=3x-9; 4(3x-9)-12-x+2=0

x=\dfrac{46}{11}

y= 3 \cdot \dfrac{46}{11}-9= \dfrac{39}{11}

El ortocentro: \left ( \dfrac{46}{11}, \dfrac{39}{11} \right )

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Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Publicado por wgs84 en Jueves, 3 Mayo, 2007

  • Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):
  1. Comprobar que es isósceles
  2. Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
  3. Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

1)

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4

Es isósceles | \overrightarrow {AB}|= | \overrightarrow {BC}|

2)

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector \overrightarrow {AC}= (4, 0) . La pendiente que determina es m= \dfrac{0}{4}=0

La pendiente de la perpendicular será infinito \dfrac{1}{0} =\infty

La recta será y-5= \dfrac{1}{0}(x-5) es decir x= 5

Recta que pasa por A y C: \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0} es decir y= 1

El punto de corte será (5, 1)

El punto medio del segmento AC será:

x=\dfrac{7+3}{2}=5

y=\dfrac{1+1}{2}=1

3)

Punto medio del segmento AB

x=\dfrac{5+3}{2}=4

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Punto medio del segmento CB

x=\dfrac{7+5}{2}=6

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Vector que los une (6-4, 3-3)=(2, 0). Su pendiente es \dfrac{0}{2}=0

Vector \overrightarrow {AC}= (4,0). Su pendiente \dfrac{0}{4}=0

Son paralelos

  • Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: (3,1). Pendiente m=\dfrac{1}{3}. La recta perpendicular tendrá de pendiente m_p=-3. Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si y=0 entonces x= -5. P(-5, 0)

La recta será y+5=-3(x-0); y= -3x-5

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución x-3(-3x-5)-2=0 Resolviendo hallamos quex=\dfrac{17}{7}

La coordenada y será y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}

3)La distancia buscada es |\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}

  • Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r (2, 1). Pendiente m= \dfrac{1}{2}. La pendiente de la perpendicular m_p=-2

La recta será: y+2=-2(x-3); y= -2x+4

2) Punto de corte Q de la recta y= -2x+4 con r

Por sustitución x-2(-2x+4)+33=0 . Resolviendo tenemos que x= -5 . Y la coordenada y= -2 \cdot (-5)+4=14. Así pues Q= (-5, 14)

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

-5=\dfrac{x_p+3}{2} y la x de P valdrá x_p=-7

14=\dfrac{y_p-2}{2} y la y de P valdrá y_p=30

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