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Calculo de límites de funciones reales de variable real

Limites infinito/infinito en funciones racionales (II)

Publicado por wgs84 en Domingo, 27 Enero, 2008

Vamos a seguir resolviendo límites de este tipo utilizando un par de propiedades:

El límite de una potencia es la potencia del límite: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\left ( f(x) \right )^n=\left (\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) \right)^n$
El límite de una raíz es la raíz del límite: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)}$

Ejemplos:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left ( \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1}\right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1} \right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3}-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3}-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3=\left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}{1-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3= \left ( \dfrac{2-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}} \right )^3=\left ( \dfrac{2-0+0}{1-0} \right )^3=2^3=8$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{ \dfrac{\dfrac{2}{\infty}}{1+\dfrac{1}{\infty}}}=\sqrt{\dfrac{0}{1+0}}=\sqrt{0}=0$

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Limites infinito/infinito en funciones racionales

Publicado por wgs84 en Domingo, 27 Enero, 2008

Para resolver la indeterminacion $\dfrac{\infty}{\infty}$ se divide numerador y denominador por la parte literal del término de mayor grado. Se nos presentarán tres casos

1) Grado del numerador>grado denominador. En este caso el resultado será siempre $\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4-5x^2+3x-1}{2x^3+x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{3x^4}{x^4}-\dfrac{5x^2}{x^4}+\dfrac{3x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{x}{x^4}+\dfrac{2}{x^4}}$

Simplificamos y sustituimos :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^4}}= \dfrac{3-\dfrac{5}{\infty}+\dfrac{3}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{\dfrac{2}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{2}{\infty}}=\dfrac{3-0+0-0}{0+0+0}=\dfrac{3}{0}=\infty$

2) Grado numerador < grado denominador. En este caso el resultado siempre es 0

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{x^2-3x+5}{x^4-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{x^2}{x^4}-\dfrac{3x}{x^4}+\dfrac{5}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}$

Simplificando y sustituyendo

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{5}{x^4}}{1-\dfrac{1}{x^4}}=\dfrac{\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{5}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0-0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0$

3) Grado numerador=grado denominador .En este caso el resultado esel cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador y denimoinador

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2x^2-2x}{3x^2-1}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{3x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2-\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{1}{x^2}}$

Sustituyendo

$\dfrac{2-\dfrac{2}{\infty}}{3-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{2-0}{3-0}=\dfrac{2}{3}$

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Límites 0/0 en funciones irracionales

Publicado por wgs84 en Sábado, 26 Mayo, 2007

Método de resolución:

Se multiplica y divide por el conjugado de la/s expresión/es irracionales (binomios)
factorización (si es necesaría)
simplificación

1) $\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ \sqrt{x+1}-1}{x}}$
$\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}$
$\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}}$ = $\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}}$ = $\dfrac{1}{2}$

2) $\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}$

Factorizamos y multiplicamos por la expresión conjugada del binomio irracional

$\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}$

$\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}$

¡OJO! Mucho cuidado al realizar el producto de expresiones conjugadas:

$(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})= 3^2-(\sqrt{x+2})^2=9-(x+2)=9-x-2=7-x$

$\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{7-x}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}$

¡OJO! con b-a= -(a-b) a la hora de simplificar

$\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-(x-7)}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}$

$\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-1}{(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}=-\dfrac{1}{36}$

3) $\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}}$
Multiplicamos y dividimos por las expresiones conjugadas del numerador y del denominador:

$\displaystyle {\lim_{x \to 1} \dfrac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})(\sqrt{x+8}+3)}{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{x+3})}}$

Teniendo muy encuenta los ¡OJOS! anteriores no queda:

$\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{(1-x)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}$

$\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}$

$\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(\sqrt{x+8}+3)}{(2+\sqrt{x+3})}}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}$

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Limites 0/0 en funciones racionales

Publicado por wgs84 en Miércoles, 23 Mayo, 2007

La indeterminación se resuelve:

factorizando los polinomios del denominador y del numerador
simplificando.

Ojo tengamos en cuenta a la hora de simplificar que b-a = -(a-b)

1) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-1}{1-x}} =\dfrac{0}{0}$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{1-x}}$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}}$

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)}{-1}}=-1$

2) $\displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{x^3-7x^2+16x-12}{x^3-7x+6}}= \dfrac{0}{0}$

Factorizamos el numerador

El cociente es $x^2-5x+6$ . Para factorizar resolvemos la ecuación $x^2-5x+6=0$ .
Sus soluciones son 2 y 3. Y la factorización del polinomio es:

$x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)$

Factorizamos el denominador

Ruffini denominador

El cosiente es $x^2+2x-3$ . Se factoriza resolviendo la ecuación de 2º grado $x^2+2x-3=0$ cuyas soluciones son -3 y 1. La factorización del denominador es: