El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for the ‘Límites’ Category

Calculo de límites de funciones reales de variable real

Indeterminación infinito partido infinito en límites de funciones exponenciales

Posted by wgs84 en Miércoles, 13 mayo, 2009

Para resolver estos límites hay que tener en cuenta estas consideraciones:

a^{+\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} +\infty & a >1 \\  0 &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.
a^{-\infty}= \left \{ \begin{array}{lcl} 0 & a >1 \\  +\infty &  0<a<1 \\ \mbox{no existe limite si } & a<0 \end{array} \right.

Veamos unos ejemplos
2^{+\infty}=+\infty
2^{-\infty}= \dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{+\infty}=\dfrac{1}{2^{+\infty}}=\dfrac{1}{+\infty}=0
\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{-\infty}= 2^{+\infty}=+\infty

Si la base es negativa, al quedar elevada a infinito cambiaría d esigno según fuese par o impar el exponente, por lo que no habrá límite

Pasamos al cálculo de límites

  1. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{3x-5}{2x+3} \right )^{1-3x}

    dividimos en la base por el término de mayor grado:
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{3}{x}} \right )^{1-3x}
    Sustituimos por + \infty y no queda
    \left ( \dfrac{3}{2} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{+\infty}=0
    porque 2/3 es menor que 1

  2. \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3x^2-5x-2}{x^2-1} \right )^{\dfrac{4x-5}{2x+1}}
    Si sustituimos en base y exponente obtenemos infinito partido infinito en ambos casos. Resolvemos la indeterminación independientemente en base y exponente dividiendo en cada uno por su término de mayor grado. x^2 en la base y x en el exponente.
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \dfrac{ 3- \dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}}{1-\dfrac {1}{x^2}} \right )^{\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}}

    sustituyendo nos da 3^2=9

  3. \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2x-7}{5x-3} \right )^{2x+1}
    \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} \left ( \dfrac{ 2-\dfrac{7}{x}}{5-\dfrac{3}{x}} \right )^{2x+1}

    Sustituyendo: \left ( \dfrac{2}{5} \right )^{-\infty}=\left ( \dfrac{5}{2} \right )^{+\infty}= +\infty

    ya que 5/2 es mayor que 1

Posted in Límites, Matemáticas | Leave a Comment »

Límites con ráices cúbicas

Posted by wgs84 en Martes, 30 diciembre, 2008

El fundamento para resolver estos límites es la descomposición en factores de la suma de cubos y de la diferencia de cubos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab +b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x + \sqrt[3]{1-x^3}= \infty -\infty

En este caso vamos a utilizar la suma de cubos para eliminar la raíz cúbica.
x + \sqrt[3]{1-x^3} hace de factor a+b a= x y b= \sqrt[3]{1-x^3}
Multiplicamos y dividimos por a^2-ab +b^2
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\left ( x + \sqrt[3]{1-x^3} \right )\left ( x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2} \right )}{ x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2} }=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^3+ 1-x^3}{x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2}}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x^2-x \cdot \sqrt[3]{1-x^3} +\sqrt[3]{ \left ( 1- x^3 \right ) ^2}}= \dfrac{1}{\infty}=0

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  x- \sqrt[3]{x^3-7x^2}=\infty-\infty

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  x- \sqrt[3]{x^3-7x^2}=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}  \dfrac{\left ( x- \sqrt[3]{x^3-7x^2} \right ) \left ( x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}\right )}{x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^3-x^3+7x^2}{x^2+ x \cdot \sqrt[3]{x^3-7x^2} + \sqrt[3]{\left (x^3-7x^2 \right )^2}}

Dividimos arriba y abajo por el término de mayor grado x^2= \sqrt[3]{x^6}. Previamente introduciremos factores dentro de los radicales y desarrolaremos porductos notables
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{7x^2}{x^2+ \sqrt[3]{x^6-7x^5} + \sqrt[3]{x^6-14x^5+49x^2}}=
\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{7}{1+\sqrt[3]{1-\dfrac{7}{x}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{14}{x}+\dfrac{49}{x^4}}}= \dfrac{7}{3}

Posted in Límites, Matemáticas | 15 Comments »

Limites infinito/infinito en funciones racionales (II)

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

Vamos a seguir resolviendo límites de este tipo utilizando un par de propiedades:

  1. El límite de una potencia es la potencia del límite: \displaystyle \lim_{x  \rightarrow a}\left  ( f(x) \right )^n=\left (\displaystyle \lim_{x  \rightarrow a} f(x) \right)^n
  2. El límite de una raíz es la raíz del límite: \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)}

Ejemplos:

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left ( \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1}\right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1} \right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3}-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3}-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3=\left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}{1-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3= \left ( \dfrac{2-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}} \right )^3=\left ( \dfrac{2-0+0}{1-0} \right )^3=2^3=8
  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{ \dfrac{\dfrac{2}{\infty}}{1+\dfrac{1}{\infty}}}=\sqrt{\dfrac{0}{1+0}}=\sqrt{0}=0

Posted in Límites, Matemáticas | 5 Comments »

Limites infinito/infinito en funciones racionales

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

Para resolver la indeterminacion \dfrac{\infty}{\infty} se divide numerador y denominador por la parte literal del término de mayor grado. Se nos presentarán tres casos

1) Grado del numerador>grado denominador. En este caso el resultado será siempre \infty

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4-5x^2+3x-1}{2x^3+x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{3x^4}{x^4}-\dfrac{5x^2}{x^4}+\dfrac{3x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{x}{x^4}+\dfrac{2}{x^4}}

Simplificamos y sustituimos :

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^4}}= \dfrac{3-\dfrac{5}{\infty}+\dfrac{3}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{\dfrac{2}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{2}{\infty}}=\dfrac{3-0+0-0}{0+0+0}=\dfrac{3}{0}=\infty

2) Grado numerador < grado denominador. En este caso el resultado siempre es 0

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{x^2-3x+5}{x^4-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{x^2}{x^4}-\dfrac{3x}{x^4}+\dfrac{5}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}

Simplificando y sustituyendo

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{5}{x^4}}{1-\dfrac{1}{x^4}}=\dfrac{\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{5}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0-0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0

3) Grado numerador=grado denominador .En este caso el resultado esel cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador y denimoinador

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2x^2-2x}{3x^2-1}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{3x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2-\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{1}{x^2}}

Sustituyendo

\dfrac{2-\dfrac{2}{\infty}}{3-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{2-0}{3-0}=\dfrac{2}{3}

Posted in Límites, Matemáticas | 1 Comment »

Límites 0/0 en funciones irracionales

Posted by wgs84 en Sábado, 26 mayo, 2007

Método de resolución:

  1. Se multiplica y divide por el conjugado de la/s expresión/es irracionales (binomios)
  2. factorización (si es necesaría)
  3. simplificación

1) \displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ \sqrt{x+1}-1}{x}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}}=\dfrac{1}{2}


2) \displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

Factorizamos y multiplicamos por la expresión conjugada del binomio irracional

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! Mucho cuidado al realizar el producto de expresiones conjugadas:

(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})= 3^2-(\sqrt{x+2})^2=9-(x+2)=9-x-2=7-x

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{7-x}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! con b-a= -(a-b) a la hora de simplificar

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-(x-7)}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-1}{(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}=-\dfrac{1}{36}


3) \displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}}
Multiplicamos y dividimos por las expresiones conjugadas del numerador y del denominador:

\displaystyle {\lim_{x \to 1} \dfrac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})(\sqrt{x+8}+3)}{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{x+3})}}

Teniendo muy encuenta los ¡OJOS! anteriores no queda:

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{(1-x)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(\sqrt{x+8}+3)}{(2+\sqrt{x+3})}}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}

Posted in Límites, Matemáticas | 27 Comments »

Limites 0/0 en funciones racionales

Posted by wgs84 en Miércoles, 23 mayo, 2007

La indeterminación se resuelve:

  1. factorizando los polinomios del denominador y del numerador
  2. simplificando.

Ojo tengamos en cuenta a la hora de simplificar que b-a = -(a-b)

1) \displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-1}{1-x}} =\dfrac{0}{0}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{1-x}}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)}{-1}}=-1

2) \displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{x^3-7x^2+16x-12}{x^3-7x+6}}= \dfrac{0}{0}

Factorizamos el numerador

rufini1.png

El cociente es x^2-5x+6. Para factorizar resolvemos la ecuación x^2-5x+6=0.
Sus soluciones son 2 y 3. Y la factorización del polinomio es:

x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)

Factorizamos el denominador

Ruffini denominador

El cosiente es x^2+2x-3. Se factoriza resolviendo la ecuación de 2º grado x^2+2x-3=0 cuyas soluciones son -3 y 1. La factorización del denominador es:

x^3-7x+6=(x-2)(x+3)(x-1)

\displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)^2(x-3)}{(x-2)(x-1)(x+3)}}

\displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+3)}}=\dfrac{0}{5}=0

Posted in Límites, Matemáticas | 15 Comments »

 
Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 32 seguidores