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Archivos de la categoría ‘Trigonometría’

Ecuaciones trigonométricas 4

Publicado por wgs84 en Miércoles, 21 Marzo, 2007

Vamos a presentar un método de factorización para resolver algunas ecuaciones trigonométricas

\tan x= 2 \sin x

 

\dfrac{\sin x}{\cos x}= 2 \sin x

\sin x = 2 \sin x \cos x

\sin x - 2 \sin x \cos x=0

Sacamos factor común \sin x

\sin x (1-2 \cos x)=0

Por lo tanto:

  • \sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k
  • 1- 2 \cos x = 0 \rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \rightarrow x= \dfrac{ \pi}{3} + \pi k y x= \dfrac{5 \pi}{3} + {\pi}k

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Ecuaciones trigonométricas 3

Publicado por wgs84 en Miércoles, 21 Marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas transformandolas en ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable (opcional)

2 \sin^2 x-4=5 \cos x

Vamos a transformar toda la ecuación a \cos x ya que \sin^2 x es facilmente trnasformable en coseno mediante la igualdad fundamental de la trigonometría.

2(1-\cos^2 x)-4=5 \cos x

 

2 -2 \cos^2 x-4=5 \cos x

 

0=2 \cos^2 x+5 \cos x+2

Ahora, si cosx=t tenemos que:

0=2t^2+5t+2

Resolviendo la ecuación de 2º grado nos queda que:

t= \cos x= -2 que es imposible porqué recuerda que -1 \leqslant \cos x \leqslant 1

t= \cos x = -\dfrac{1}{2}

x= \dfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi k
x= \dfrac{4 \pi}{3} + 2 \pi k con k un entero

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Ecuaciones trigonométricas 2

Publicado por wgs84 en Viernes, 9 Marzo, 2007

Resolvemos la ecuación: \sec x = \sin x + \cos x de forma alternativa y más corta (factorización)

\sec x - \sin x - \cos x = 0

 

\dfrac{1}{\cos x} - \sin x - \cos x = 0

 

\dfrac{1 - \sin x \cos x - \cos^2 x}{\cos x} = 0

Como 1 = \sin^2 x + \cos^2 x

\dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x - \sin x x \cos x - \cos^2 x}{\cos x} = 0

 

\dfrac{\sin^2 x - \sin x \cos x}{\cos x} = 0

Factorizamos

\dfrac{\sin x (\sin x - \cos x)}{\cos x} = 0

 

\dfrac{\sin x}{\cos x} (\sin x - \cos x) = 0

\tan x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k donde k es un entero

\sin x = \cos x \rightarrow \tan x = 1 \rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k
donde k es un entero

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Ecuaciones trigonométricas 1

Publicado por wgs84 en Viernes, 2 Marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

Ejemplo 1: \sin x + \cos x = 1

Elevamos al cuadrado ambos lados y obtenemos:

\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1

Usando la formula fundamental de la trigonometría:

2 \sin x \cos x = 0

\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k

\cos x = 0 \rightarrow \dfrac{\pi}{2} + \pi k

Ejemplo 2: \sec x = \sin x + \cos x

\sec^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x

\sec^2 = 1 + 2 \sin x \cos x

\sec^2 - 1 = 2 \sin x \cos x

\tan^2 x = 2 \sin x \cos x

\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 2 \sin x \cos x

\sin^2 x = 2 \sin x \cos^3 x

\sin^2 x - 2 \sin x \cos^3 x = 0

\sin x (\sin x - 2 \cos^3 x) = 0

\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k

\sin x - 2 \cos^3 x = 0

\sin x = 2 \cos^3 x

\dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos^2 x

\tan x = \dfrac{2}{\sec^2 x}

\tan x = \dfrac{2}{1 + \tan^2 x}

\tan x + \tan^3 x = 2

Si \tan x = t

t^3 + t - 2 = 0

(t - 1) (t^2 + t + 2) = 0

Como el segundo polinomio es primo la única solución es

t = 1 = \tan x \rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k

Como hemos elevado al cuadrado puede que se hayan introducidon soluciones erroneas lo que no obliga a comoprobarlas:

Si x = 0 \sec 0 = \sin 0 + \cos 0 \rightarrow 1 = 1 + 0 es correcta

Si x= \dfrac{\pi}{4}

Si x= \dfrac{\pi}{4} tenemos que:

\sec \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{\pi}{4}

\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \sqrt{2} = \sqrt{2} y también es válida

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