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Circunferencias tangentes

Publicado por wgs84 en Jueves, 1 Mayo, 2008

Demostrar que las circunferencias C1: $x^2+y^2-3x-6y+10=0$ y C2: $x^2+y^2-5=0$ son tangentes.

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo centro esta sobre la recta 3x+y+5=0.

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común y cuyo radio es 20

Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto común tangente a la recta x-2y-1=0

Para analizar la posición relativa de dos circunferencias hay que resolver el sistema no lineal que forman. Si el sistema tiene dos soluciones las circunferencias son secantes, si sólo existe una solución serán tangentes y , por último si el sistema no tiene solución las circunferencias son exteriores

Para resolver el sistema restamos las ecuaciones de las circunferencias para obtener una ecuación lineal para poder aplicar el método de sustitución

$x^2+y^2-3x-6y+10- (x^2-y^2-5)=0$
$-3x-6y+15=0$ simplificando $x+2y-5=0 \rightarrow x=5-2y$
Ahora resolvemos por sustitución el sistema:
$\left. \begin{array}{rcl} x=5-2y \\ x^2+y^2+5=0 \end{array} \right\}$
$(5-2y)^2+y^2-5=0$
$25-20y+4y^2+y^2-5=0$
$5y^2-20y^2+20=0 \rightarrow y^2-4y+4=0 \rightarrow (y-2)^2=0$
Cuya única solución es $y= 2$ .
El valor de x será $x= 5-4=1$ . El punto de tangencia es $(1, 2)$ .

(2)La circunferencia que buscamos en el apartado 2 del problema tendrá el siguiente aspecto:
$x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ . Tenemos tres incógnitas
Si (a, b) son las coordenadas del centro se cumple que $a= - \dfrac{C}{2}$ y $b=-\dfrac{D}{2}$ .
Si el centro está en la recta $3x+y+5=0 \rightarrow y= -5-3x$ El centro (a, b) cumple dicha ecuación y tenemos que:
$-\dfrac{D}{2}=-5-3 \cdot \left ( -\dfrac{C}{2} \right )$
de donde obtenemos nuestra primera ecuación: $D= 10-3C$

La segunda ecuación la obtenemos del hecho que el punto (1,2) pertenece a nuestra circunferencia. Sustituimos los valores en la ecuación y: $C+2D+E=-5$ .

La tercera ecuación es más compleja de obtener.
Si las tres circunferencias tienen el mismo punto de tangencia compraten la misma recta tangente.
Utilizando la circunferencia C2 vamos a calcularla.
El punto es (1,2) y la pendiente la obtenemos derivando $x^2+y^2-5=0$
$2x+2yy'=0$ . Despejamos la derivada y nos queda $y'=\dfrac{-x}{y}$ . Sustituimos para el punto $(1,2)$ y obtenemos una pendiente de $-\dfrac{1}{2}$ .
La ecuacíon de la recta tangente (usando la forma punto pendiente) será: $y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)$ . Si despejamos la x: $x= 5-2y$ .

La intersección de esta recta con nuestra circunferencia objetivo $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ tendrá como solución un único punto. Como al resolver el sistema obtendremos una ecuación de segundo grado (sustituimos x=5-2y, en la ecuación cuadrática)le impondremos a esa ecuación la condición de que tenga una única solución (solución doble dice la teroía).
Para que una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0$ tenga una solución doble se ha de cumplir que $b^2-4ac=0$ . Procedamos:

Sustituyo $x= 5-2y$ en $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ :
$(5-2y)^2+y^2+C(5-2y)+Dy+E=0$
Desarrollo: $25-20y+4y^2+y^2+5C-2Cy+Dy+E=0$
Agrupo y formo la ecuación de 2º grado: $5y^2 +(D-2C-20)y+E+5C+25=0$
Imponemos la condión de solución doble y tenemos la tercera ecuación:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0$

Resolvemos el sistema no lineal de tres ecuaciones por sustitución.
.
Sustituimos la primera $D=10-3C$ en la segunda y obtenemos:
$E= 5C-25$
Luego sustituimos las dos en la tercera:
$(10-3C-2C-20)^2-20(5C-25+5C+25)=0$
$(-5C-10)^2-200C=0$
$(C+2)^2-8C=0$
$C^2-4C+4=0 \rightarrow (C-2)^2=0$
$C=2$ y luego $D=4$ y $E= -15$
la circunferencia buscada es: $x^2+y^2+2x+4y-15=0$
(3) Para resolver el apartado 3 nos sirve la ecuación que deriva del hecho de que la circunferencia que buscamos $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ pasa por el punto (1,2):
$C+2D+E=-5$

Si el radio es 20, y sabiendo que el coeficiente el término independiente de la circunferencia es $E=a^2+b^2-r^2$ , con (a, b) las coordenadas del centro y r el radio. tendremos que nuestra segunda ecuación será:
$E=\dfrac{C}{4}+\dfrac{D}{4}-400$

La misma ecuación se puede obtener diciendo que la distancia entre el centro y el punto (1,2) es igual al radio.

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y desarrolando obtenemos la ecuación:
(*) $C^2+D^2+4C+8D-1580=0$
Para la tercera ecuación volveremos a utiloizar la condición que la circunferencia incógnita es tangenta a las circunferencias C1 y C2. La ecuación resultante de esto ya lo calculamos en el apartado 2 y es:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=0$

Sustituimos la primera ecuación: $(D-2C-20)^2-20(-C-2D-5+5C+25)=0$
Desarrollamos: $4C^2-4CD+D^2=0$
Como es un cuadradp perfecto: $(2C-D)^2=0$
$2C-D=0$
(**) $D=2C$ .

Sustituimos esta expresión en (*) $C^2+D^2+4C+8D-1580=0$ ,agrupamos términos, simpliifcamos y obtenemos la ecuación :
$C^2+4C-316=0$
cuyas soluciones son:
$C=-8 \sqrt{5}-2$ y $C=8 \sqrt{5}-2$ . Dos soluciones para C significa que habrá dos circunferencias que cumplan las condiciones establecidas.
Los valores de D serán (**)
$D=-16 \sqrt{5}-4$ y $D=16 \sqrt{5}-4$
Los valores de $E: =-5-2D-C$
$E=5+40 \sqrt{5}$ y $E=5- 40 \sqrt{5}$

(4)Veamos el apartado cuatro:
La recta $x=2y-1$ es tangente a la circunferencia incógnita $x^2+y^2+Cx+Dy+E=0$ .
Sustituimos la ecuación lineal en la circunferencia e impondremos la condión de solución doble a la ecuación de segundo grado resultante:
$(2y+1)^2+y^2+C(2y+1)+Dy+E=0$
$5y^2+y(4+2C+D)+1+C+E=0$
Imponemos la condicón b^2-40c=0:
$(4+2c+d)^2-20(1+C+E)$
$-20E+D^2+4CD+8D+4C^2-4C-4$ Primera ecuación
Las otras ecuaciones son de apartados anteriores:
La circunferencia pasa por (1,2): $E=-2-C-2D$
la circunferencia es tangente en (1,2) a las otras dos:
$(D-2C-20)^2-20(E+5C+25)=-20E+D^2-4CD-40D+4C^2-20C-100$

Sustiuimos la segunda ecuación(lineal) en la otras dos (cuadráticas): y obtenemos:
$D^2+4CD+48D+4C^2+16C+96=0$ (*)
$D^2-4CD+4C^2=(D-2C)^2=0 \rightarrow D= 2C$ (**)

Sustituyo $D=2C$ en (*): $16C^2+112C+96=0 \rightarrow C^2+7C+6=0$
y obtenemos como soluciones:
$C=-6$ y $C=-1$
Calcula mos las otras varibles:
$D= -12$ y $C=-2$
$E=25$ y $E=0$

Vamos a comprobar si las soluciones son circunferencias.

1ª: las coordenadas del centro son (-3, -6). Por lo tanto $13= 25+36-r^2 \rightarrow r=\sqrt{61}$ es circunferencia. El punto de tangencia será (5, 2)
las coordenadas del centro son (-1/2,-1). Por lo tanto $0=\dfrac{1}{4}+1-r^2 \rightarrow r=\sqrt{\dfrac{5}{4}}$ es circunferencia.El punto de tangencia será (1,0)

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Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Publicado por wgs84 en Sábado, 12 Abril, 2008

$\left. \begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x-2y+3z & = & 13 \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}$

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
$x=4-y-z$

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
$\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}$
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
$z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}$
$27+9y=14-4y$
$13 y = -13$
$y=-1$
$z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3$
Sustituimos los dos valores obtenidos en $x= 4-y-z$
$x= 4+1-3=2$

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Racionalización de denominadores

Publicado por wgs84 en Sábado, 5 Abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

Un sólo radical de índice dos en el denominador

Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}$
Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
$\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}$
Veamos algunos ejemplos más:
- $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}$
- $\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}$ . Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
Con un radical de índice cualquiera en el denominador

$\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$
- $\dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^2}}{x}$ . Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
- $\dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}$ . Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
- Ejercicio propuesto: $\dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}$
Racionalización de binomios irracionales de índice 2

binomios irracionales de índice 2: $1-\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}+7$ , $\sqrt{7} -\sqrt{5}$
La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones $a+b$ y $a-b$ son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

$\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
$\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}$
Ejemplos:
- $\dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)$
- $\dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2+\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2+\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2+\sqrt{10}}{3}$
- $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}$

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Sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas con transformaciones previas

Publicado por wgs84 en Lunes, 31 Marzo, 2008

La forma estandad de un sistemas de ecuaciones con dos incognitas es esta:

$\left. \begin{array}{rcl} Ax+By & = & C \\ A' x+B' y & = & C' \end{array} \right\}$

Muchos sistemas no aparecen directamente con esta forma. En estos tendremos que eliminar paréntesis y denominadores y agrupar términos semajantes para dejarlos en la forma “estandard” y así podder aplicar algunos de los métodos de resolución.

Veamos algunos ejemplos:

Eliminación de denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}+\dfrac{5y}{4} & = & 2 \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{5y}{3} & = & \dfrac{3}{2} \end{array} \right\}$ .
Eliminamos denominadores en ambas ecuaciones:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{4}+\dfrac{5y}{4} & = & \dfrac{8}{4} \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{10y}{6} & = & \dfrac{9}{6} \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 2x+5y & = & 8 \\ x-10y & = & 9 \end{array} \right\}$ .

Ya lo tenemos en la forma “standard” y lo resolvemos por sustitución.
Despejamos la varible x de la segunda ecuación: $x=9+10y$
Sustituimos en la primera y resolvemos:
$2(9+10y) +5y= 8$
$18+20y+5y=8$
$25y=-10$
$y=-\dfrac{2}{5}$
$x=9-10 \cdot \dfrac{2}{5}$
$x=9-4$
$x=5$
Eliminación de paréntesis

$\left. \begin{array}{rcl} 3(x+4) & = & 2(2y+3) \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .
$\left. \begin{array}{rcl} 3x+12 & = & 4y+6 \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}$ .

$\left. \begin{array}{rcl} 3x-4y & = & -6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

Esta es la forma “standard”. Lo resolvemos por reducción multiplicando por $-1$ la primera ecuación y sumandolas a continuación:
$\left. \begin{array}{rcl} -3x+4y & = & 6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}$ .

$3x=6$
$x= 2$
Sustituimos en la 1ª ecuación el valor de x
$3 \cdot 2-4y=-6$
$6-4y=-6$
$-4y=-12$
$y= 3$

Sistemas con paréntesis y denominadores

$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2(x-3)}{3}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & 1 \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+2(3-y)=0 \end{array} \right\}$
Eliminamos primero los denominadores:
$\left. \begin{array}{rcl} \dfrac{4(x-3)}{6}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & \dfrac{6}{6} \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+\dfrac{4(3-y)}{2}=0 \end{array} \right \}$
$\left. \begin{array}{rcl} 4(x-3)-3(y-2) & = & 6 \\ x-2+4(3-y)=0 \end{array} \right \}$
Eliminamos parénteis:
$\left. \begin{array}{rcl} 4x-12-3y+6 & = & 6 \\ x-2+12-4y=0 \end{array} \right \}$ Transponemos términos y agrupamos y tenemos el sistema en la forma “standard”:

$\left. \begin{array}{rcl} 4x-3y & = & 12 \\ x-4y & = & -10 \end{array} \right \}$

Lo resolvemos por sustitcuión. Despejamos la x de la 2ª ecuación:
$x=4y-10$
Sustituimos en la 1ª ecuación: $4(4y-10)-3y=12$
$16y -40-3y=12$
$13y= 52$
$y= 4$
Sustituyendo en $x=4y-10$ tenemos que $x=4 \cdot 4 -10$
$x=6$

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Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Métodos de resolución

Publicado por wgs84 en Viernes, 28 Marzo, 2008

Método de sustitución

Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes $1$ o $-1$ .
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+y & = & 7 \\ 3x-2y & = & 21 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la $y$ de la primera ecuación: $y=7-2x$
2. Sustituimos en la otra ecuaciñon: $3x-2(7-2x)=21$
3. Resolvemos la ecuacón resultante:
  $3x-14+4x=21$
  $7x=35$
  $x= 5$
4. Para averiguar el valor de $y$ sustituimos el valor de $x=5$ en la expresión obtenida el el paso 1
  $y= 7-2 \cdot 5$
  $y=-3$
Método de igualación

$\left.\begin{array}{rcl} 4x-3y & = & -2 \\ 5x+2y & = & 9 \end{array} \right\}$
1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
  $x=\dfrac{3y-2}{4}$
  $x=\dfrac{9-2y}{5}$
2. Igualamos las dos expresiones anteriores
  $\dfrac{3y-2}{4}=\dfrac{9-2y}{5}$
3. Resolvemos la ecuación resultante
  $15y-10=36-8y$
  $23y=46$
  $y=2$
4. Para calcular el valor de x sustituimos $y=2$ en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
  $x= \dfrac{3 \cdot 2 -2}{4}=1$
Método de reducción

Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
$\left.\begin{array}{rcl} 2x+5y & = & -3 \\ -3x+4y & = & -7 \end{array} \right\}$
1. Vamos a eliminar la $x$ . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
  $\left.\begin{array}{rcl} 6x+15y & = & -9 \\ -6x+8y & = & -14 \end{array} \right\}$
2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
  $23y=-23$
  $y=-1$
3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
  $2x +5 \cdot (-1)= -3$
  $2x=2$
  $x= 1$

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Resolución de ecuaciones de primer grado mediante las propiedades de las igualdades

Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008

ECUACIONES SIN PARÉNTESIS Y SIN DENOMINADORES

Vamos a resolver una ecuación sencilla: $2x-1=5x-3$

1)Transposicón de términos.

Se trata de dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro. Queremos que $5x$ desaparezca del miembro izquierdo y aparezca en el derecho. Para eso usamos la propiedad de la suma y sumamos a ambos lados el opuesto de $5x$ que es $-5x$ :

$2x-1-5x=5x-5x-3$

Como la suma de los opuestos es el elemento neutro , es decir, “cero” , $5x$ desaparece y aparece en el otro miembro con el signo cambiado

$2x-1-5x=-3$

Repetimos el proceso con $-1$

$2x-5x-1+1=-3+1$

$2x-5x=-3+1$

Si te fijas el resultado es el mismo que con $5x$ . La aplicación de la propiedad de la suma permite pasar un término de un miembro a otro cambiandole el signo,

2) Agrupamos términos semejantes (sumar las x con las x y los números con los números)

$-3x=-2$

3)Despejamos x.Para dejar sóla la x en el miembro izquierdo vamos a utilizar la propiedad del producto. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por el inverso del coeficiente de la x. En este caso por el inverso de $-3$ que es $- \dfrac{1}{3}$ .

$-\dfrac{1}{3} \cdot (-3)x=-2 \cdot \left (- \dfrac{1}{3} \right )$

Operamos y obtenemos la solución:

$x= \dfrac{-2}{-3}$

Si te fijas el $-3$ que esta multiplicando ha pasado al otro miembro dividiendo.

$x= \dfrac{2}{3}$

Todo esto se traduce en las conocida norma:

Todo lo que esta sumando pasa al otro lado restando y viceversa

Todo lo que está multiplicando a todo un miembro pasa al otro lado dividiendo y viceversa
ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Si la ecuación tiene paréntesis unicamente hay que añadir un paso a lo anterior: la eliminación de parénteis mediante la propiedad distributiva .

$2-3(x+1)+2(2-3x)=5-(4x-3)$

1)Eliminamos paréntesis:

$2-3x-3+4-6x=5-4x+3$

2)Transposición de términos

$-3x-6x+4x=5+3-2-4$

3)Agrupamos términos semejantes

$-5x=2$

4)Despejamos la x

$x= -\dfrac{2}{5}$
ECUACIONES CON DENOMINADORES

Cuando en las ecuaciones aparecen denominadores lo primero que hacemos e s sacar común denominador para poder sumar/restar los numeradores.

$\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{5}=\dfrac{3x}{4} +\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10x}{20}-\dfrac{12}{20}=\dfrac{15x}{20}+\dfrac{10}{20}$

$\dfrac{10x-12}{20}= \dfrac{15x+10}{20}$

Vamos a eliminar los denominadores usando la propiedad del producto. Multiplicamos ambos términos por el común denominador que es $20$ .

$20 \cdot \left ( \dfrac{10x-12}{20} \right )= 20 \cdot \left( \dfrac{15x+10}{20} \right )$

$10x-12=15x+10$

Una vez eleiminados los denominadores se resuleve como los casos anteriores

$10x-15x=10+12$

$-5x=22$

$x= -\dfrac{22}{5}$

Ejercicos propuesto:
Resuelve usando las propiedades de las igualdades la ecuación: $\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+2}{4}$

Resolución :

Sacamos común denominador en las fracciones que intervienen:
$\dfrac{6(x-1)}{12} -\dfrac{4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}$
$\dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}$
Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el común denominador $12$ :
$12 \cdot \left (\dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12} \right )= 12 \cdot \left (\dfrac{3(x+2)}{12} \right )$
$6(x-1)-4(2x-3)=3(x+2)$
Eliminamos paréntesis:
$6x-6-8x+12=3x+6$
Transponemos términos mediante la propiedad de la suma:
$6x-8x-3x+12-12=3x-3x+6-12$
$6x-8x-3x=6-12$
Agrupamos términos semejantes:
$-5x=-6$
Despejamos la $x$ multiplicando ambos términos por $-\dfrac{1}{5}$ , el inverso de $-5$ :
$-\dfrac{1}{5} \cdot (-5x)=-6 \cdot \left (-\dfrac{1}{5} \right )$
La solución es $x=\dfrac{6}{5}$

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Sistemas de ecuaciones. Concepto de solución

Publicado por wgs84 en Jueves, 27 Marzo, 2008

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las que vamos a buscar una solución común.
Los sistemas los vamos a clasificar en lineales y no linelaes. Los sistemas de ecuaciones lineal son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación gráfica es una linea recta.

Vamos a explicar el concepto de solución de un sistema. Para ello vamos a utilizar un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incognitas.
$\left. \begin{array}{rcl} 2x+y & = & 5 \\ x+y & = & 3 \end{array} \right\}$
La pareja de valores $(x, y)=(1, 0)$ no es solución dels sistema al sustituir dichos valores en el sistema las igualdades aritméticas que resultan son falsas. (Las ecuaciones no quedan satisfechas )
$2 \cdot 1+ 0 \neq 5$ y $1+0 \neq 3$ .

La pareja de valores $( 2, 1)$ sí que es solución del sistema porque “satisface” todas las ecuaciones
$2 \cdot 2 +1= 5$ y $2 +1 =3$ .

Para buscar las soluciones de los sistemas aplicaremos distintos métodos de resolución

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Igualdades matemáticas. Concepto de solución. Identidades y ecuaciones

Publicado por wgs84 en Domingo, 17 Febrero, 2008

Una igualdad es una expresión matemática en la que aparecen uno más signos (=). Vamos a tratar dos tipos de igualdades:

igualdades numéricas o aritméticas: $2 \cdot 3 +5=11$
igualdades algebraicas : $2x^2 y-3z= 9$ . En estas intervienen números y letras relacionados entre si por medio de las operaciones algebraicas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.

Propiedades axiomáticas de las igualdades

Propiedad de la suma: si en una igualdad sumamos la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.

$F=G$

$F+k=G+k$

$2+3=5$

$2+3-9=5-9$

Propiedad del producto: si en una igualdad multiplicamos por la misma cantidad a ambos lados de la igualdad, esta permace (sigue siendo una igualdad.

$F=G$

$F \cdot k=G \cdot k$

$2+3=5$

$(2+3) \cdot 4=5 \cdot 4$

La solución de una expresión algebraica es el valor o conjunto de valores que transforman una igualda algebriaca en una igualdad aritmética.

La solución de $x-3=0$ es 3 por que si sustituimos x por 3 tenemos que $3-3=0$ y esto es cierto.
Si hacemos que x= 5 resulta una igualdad falsa $5-3=0$ .
En la igualdad $x+y=1$ hay infinitas parejas de valores(x,y) que son solución: (1,0); (0,1); (2,-1); (3,-2)……y también hay infinitas parejas que no lo son: (7,7); (0.5, 0.3)……..
En la igualdad $x+x=2x$ todos los posibles valores de x son solución