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Ecuaciones trigonométricas 1

Posted by wgs84 en Viernes, 2 marzo, 2007

Vamos a resolver ecuaciones trigonométricas elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

Ejemplo 1: \sin x + \cos x = 1

Elevamos al cuadrado ambos lados y obtenemos:

\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1

Usando la formula fundamental de la trigonometría:

2 \sin x \cos x = 0

\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k

\cos x = 0 \rightarrow \dfrac{\pi}{2} + \pi k

Ejemplo 2: \sec x = \sin x + \cos x

\sec^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x

\sec^2 = 1 + 2 \sin x \cos x

\sec^2 - 1 = 2 \sin x \cos x

\tan^2 x = 2 \sin x \cos x

\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 2 \sin x \cos x

\sin^2 x = 2 \sin x \cos^3 x

\sin^2 x - 2 \sin x \cos^3 x = 0

\sin x (\sin x - 2 \cos^3 x) = 0

\sin x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k

\sin x - 2 \cos^3 x = 0

\sin x = 2 \cos^3 x

\dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos^2 x

\tan x = \dfrac{2}{\sec^2 x}

\tan x = \dfrac{2}{1 + \tan^2 x}

\tan x + \tan^3 x = 2

Si \tan x = t

t^3 + t - 2 = 0

(t - 1) (t^2 + t + 2) = 0

Como el segundo polinomio es primo la única solución es

t = 1 = \tan x \rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k

Como hemos elevado al cuadrado puede que se hayan introducidon soluciones erroneas lo que no obliga a comoprobarlas:

Si x = 0 \sec 0 = \sin 0 + \cos 0 \rightarrow 1 = 1 + 0 es correcta

Si x= \dfrac{\pi}{4}

Si x= \dfrac{\pi}{4} tenemos que:

\sec \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \dfrac{\pi}{4}

\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \sqrt{2} = \sqrt{2} y también es válida

31 comentarios to “Ecuaciones trigonométricas 1”

  1. Joaquín said

    Las ecuaciones trigonométricas son una de las partes de las matemáticas que más me han gustado siempre, bonita entrada ^^

  2. Jorge said

    La verdad que no entiendo una mierda…

  3. vivi said

    Neccesito ayuda para rendir mi examen de algebra, la verdad es ke no entiendo casi nada. Gracias Bye!

  4. andres el + hemoxo said

    no entiendo nada pero nada porfa una ayudita grax xaito

  5. andres el + hemoxo said

    la verdad yo tampoko entiendo aasi ke not puedo ayudar t kiero nunk lo olvides

  6. ANGIE said

    DETESTOOOOOOOOO LA TRIGONOMETRIA POR DIOS QUIEN NOS CASTIGO CON ESTO MUY DESOCUPADO EL Q SE PUSO A INVENTAR ESTA PORQUERIA

  7. brayan s. said

    no entiendo nada por favor ayudeme con las malditas ecuaciones trigonometricas

  8. Ana said

    Fantastica pagina, me gusta explicacion. Rasa no es tan dificil!!!!!!!!!!!!!!!!!!Bye

  9. fredd said

    a principio me parecio dificil ……pero ahora es como resolver una suma…
    pero aun necesito ayuda…
    gracias por la ayuda…..

  10. T-Rod said

    Buen Post.. Ahora seria bueno k yo lo entendiera pues tngo problemas con estas ecuaciones en el cole.. Alguien podria ayudarme por el messenger si es posible asi hay mas entendimiento… Por Favor?

  11. aliiCiia said

    si te doy una ecuacion trigonometrica k e tenido en un examen…me la resolverias?¿?¿

  12. wgs84 said

    Escribela

  13. kike said

    aqui lo basico es manejar la identidad pitagorica.. este es el punto de partida para entender este maravilloso y fascinante mundo de las ecuaciones trigonometricas claro no esta de mas manejar bien las restricciones en la C.T..

  14. jimmy said

    no entiendo por favor alguien que me ayude tengo un examen y no se nada porfa una ayudita con este tema
    gracias…

  15. carlos manuel said

    soy profesor de matematicas e imparto todos los niveles
    para dominar dichas ecuaciones se necesita primero dominar las identidades trigonometicas, las funciones pitagoricas y los reciprocos de la razones trigonometricas, lo demas consiste en sustituir las razones hasta que todas tengan la misma razon trigonometrica luego se factorizan como si fueran ecuaciones cuadraticas o se despejan como ecuaciones lineales que vieron de algebra y por ultimo encuentran el angulo despejando la razon trigonometrica en foma inversa ya sea con calculadora cientifica o con la tabla matematica

  16. babosita said

    esto no lo entiendo que hallo?

  17. Diego said

    De la solución dada no se deduce la x=0 (ningún valor de K lo genera). Utilizando las fórmulas de tg(x/2) para reemplazar los términos de la ecuación original se llega a w(w^2+2w-1)=0 de donde se deduce que

    alpha=2n.PI
    y alpha=n+PI/4

    Sin elevaciones al cuadrado.

  18. wgs84 said

    Cero si que es una solución que se obtiene algunos pasos antes(linea 9). Compruebalo. Respecto a la forma de resolver la ecuación sólo indicarte que es una entrada para alumnos de 4º ESO. Eso quiere decir que no saben ni que exiten la formulas trigonométricas del ángulo mitad, ni las fórmulas de adición no nada de eso. Saben las fórmulas derivadas de \sin^2x+ \cos^2x=1. Se les enseñan 2 o 3 técnicas:

    -transformación en ecuación algebraica de segundo o primer grado
    -elevando al cuadrado a ambos lados, factorizando

    Esta ecuación es difícil para ellos. En otra entrada posterior se resuleve de otra manera.

  19. sasu said

    necesito saber cundo me dan un triángulo rectángulo y me da averiguar hipotenusa y los demás en que me tengo que basar para hacerlo. y tambien con otros dibujos geométricos

  20. emiliano said

    necesito saber como realizar este ejercicio entes del lunes gracias

    encontrar los valores de x que satisfacen la ecuacion, en [0;2pi]

    2cos^2x-senx=1

  21. dnares said

    me puedes explicar las ecuaciones trgonometricas???

  22. noni said

    las ecuaciones trigonometricas son faciles , solo requieren de habilidad matematicas:P:P

  23. himerx said

    mm claro q son faciles, pero no todas las ecuaciones trigonometricas se pueden resolver aplicando identidades

  24. diego said

    este tema es muy dificil, nooooooooo, voy a perder trigo este periodo k mentiras ok grcias de toas formas por os ejempos

  25. shorbhy said

    ps yo menos que entiendo seeparen eso

  26. ROBERTH said

    jummmm oe a lo bn no explicas nada solo colocaste el ejercicio y la solucion

  27. el pran said

    oye papi gracias por esa mielda de detalle y q dios lo bendiga se les quiere llevateloooooooooooooooooooooo yess bayy

  28. shagui said

    esta melma me gusta la mamera en la q esta resuelto

  29. Maru said

    No entiendo nada

  30. elena said

    no entiendo nada de nada!! o.o??

  31. martin said

    esto no me ha ayudado absolutamente en nada

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