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Ecuaciones trigonométricas 2

Posted by wgs84 en Viernes, 9 marzo, 2007

Resolvemos la ecuación: \sec x = \sin x + \cos x de forma alternativa y más corta (factorización)

\sec x - \sin x - \cos x = 0

 

\dfrac{1}{\cos x} - \sin x - \cos x = 0

 

\dfrac{1 - \sin x \cos x - \cos^2 x}{\cos x} = 0

Como 1 = \sin^2 x + \cos^2 x

\dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x - \sin x x \cos x - \cos^2 x}{\cos x} = 0

 

\dfrac{\sin^2 x - \sin x \cos x}{\cos x} = 0

Factorizamos

\dfrac{\sin x (\sin x - \cos x)}{\cos x} = 0

 

\dfrac{\sin x}{\cos x} (\sin x - \cos x) = 0

\tan x = 0 \rightarrow x = 0 + \pi k donde k es un entero

\sin x = \cos x \rightarrow \tan x = 1 \rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k
donde k es un entero

2 comentarios to “Ecuaciones trigonométricas 2”

  1. Angie said

    Hola muy bien explicado el tema le entendí bastante bien, solo hay una cosa q no me keda clara y me preguntaba si podrian explicarmela por favor:

    al final de donde sale lo de
    sin x= cos x -> tan x= 1 -> x = pi + pi k
    4

    gracias

  2. wgs84 said

    Si te fijas al final del desarrollo queda la siguiente ecuación factorizada:
    \dfrac{\sin x}{\cos x}(\sin x -\cos x)
    \tan x(\sin x -\cos x)=0
    Si el producto de dos factores es cero alguno de los dos ha ded ser cero. De ahí que:
    1ª solución \tan x=0
    2ª solución:
    \sin x-\cos x=0
    \sin x=\cos x
    \dfrac{\sin x}{\cos x}=1
    \tan x=1

    El angulo cuya tangente es 1 es pi/4 y como el periodo de la tangente es pi la solución es pi/4 +pi*k

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