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Ecuación de la recta en el plano (I)

Publicado por wgs84 en Lunes, 30 abril, 2007

La ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma: (x, y)= (x_0,y_0)+t(V_x,V_y) con t un número real.

ret11.gif

(x_0,y_0) es un punto de la recta (A) y (V_x,V_y) un vector director de la recta. Estos dos elementos forman la determinación lineal de la recta, es decir, que para representar un a recta de forma analítica los necesitaremos impepinablemente.

Una aclaración antes de continuar. Vector director significa que tiene la misma dirección que la recta a la que determina. Para aclararnos bien en este tema tenemos que saber extraer el punto y el vector director de cada una de las formas de la ecuación de la recta,

Para pasar a la forma paramétrica simplemente hay que convertir la anterior ecuación vectorial en dos ecuaciones algebraicas:

x= x_0+t \cdot V_x

y= y_0+t \cdot V_y

Ecuación continua

Para obtener la ecuación continua de la recta despejamos el parámetro t de las dos ecuaciones paramétricas e igualamoslos resultados:

\dfrac{x-x_0}{V_x}=\dfrac{y-y_o}{V_y}

Ecuación punto-pendiente

¿Que es la pendiente de un de una recta?

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX. Ese mismo ángulo es el que forma el vector director de la recta y, a partir de sus componentes obtenemos una expresión para la pendiente (m):

m= \dfrac{V_y}{V_x}

Para encontrar la forma de la ecuación punto-pendiente unicamente hay que pasar V_y multiplicando al primer miembro en la ecuación continua:

\dfrac{V_y}{V_x} \left ( x-x_0 \right ) = y- y_0

Por lo que la ecacuón queda:

y-y_o= m (x-x_0)

 

Ecuación General (implicita)

La ecuación general de la recta tiene la siguinete forma: Ax+By+C=0

Vamoa a averiguar el significado geométrico de los coeficientes a partir de la ecuación continua de la recta.

Multiplicando en cruz y llevandolo todo a una lado obtenemos:

V_yx-V_xy+V_xy_0-V_yx_0=0

Comparando las dos ecuaciones vemos que :

  • A=V_y
  • B=-V_x

Por lo que el vector director de la recta será (-B, A) y la pendiente m= -A/B

Ecuación explicita

Se obtiene despejando y de la ecuación general o de la punto-pendiente y tiene la forma:

y=mx+n

y=mx -mx_0+y_0 (punto-pendiente)

y= \dfrac{-A}{B}x-\dfrac{C}{B} (general)

donde m es la pendiente (vector) y n la ordenada en el origen (punto donde la recta corta al eje OY, valor de y para x=0)

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10 comentarios hacia “Ecuación de la recta en el plano (I)”

  1. guadalupe iveth escribió

    Quiero resolver este problema:
    Una recta pasa por los puntos M(3, y) y N (-4,5) y tiene pendiente igual a -1.Obtenga el valor de y.

  2. wgs84 escribió

    Si la recta pasa por M y N su vector director será (-4-3, 5-y)=(-7, 5-y).

    Por definición de pendiente tendremos que:
    \dfrac{5-y}{-7}=-1
    y dre ahí ya 5-y=7; y=-2

  3. airun escribió

    como se sabe la ecuacion continua,parametrica y vectorial a partir de la ecuacion general?

  4. wgs84 escribió

    En la ecuación general de la recta Ax+By+c=0 el vector director es (-B, A). Para averiguar un punto le das un valor cualquiera a x y despejas y.
    Ejemplo: 3x-2y+4=0
    El vector director será (2, 3). Para sacar un punto le damos un valor a x, por ejemplo x=0 y despejamos y:
    3 \cdot 0 -2y+4=0
    4=2y
    y=2
    El punto es (0, 2)
    A partir de ahí ya es fácil
    Continua: \dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-2}{3}
    Vectorial: (x,y)=(0,2)+ (2, 3)t
    Sacar las paramétricas es ya trivial

  5. cecilia lopez escribió

    bueno este deben de ser mas
    explicitos en todo poner mas ejemplos
    de como hacerlos

  6. victoria escribió

    Me parece extraordinario el contenido de esta pagina, es muy claro, conciso y precis. Realmente los felicito

  7. hans escribió

    creo q deberian poner menos teoria y mas practica

  8. Fultless escribió

    Super que genial que haya este tipo de paginas, me quitaron un gran dolor de cabeza :P

  9. Reiciouck escribió

    We appreciate you the helpful post! I’d do not have found this or else!

  10. Ajg12 escribió

    Muchas gracias Ed, eres el mejor. Todo muy claro

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