El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 26 mayo 2007

Límites 0/0 en funciones irracionales

Posted by wgs84 en Sábado, 26 mayo, 2007

Método de resolución:

  1. Se multiplica y divide por el conjugado de la/s expresión/es irracionales (binomios)
  2. factorización (si es necesaría)
  3. simplificación

1) \displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ \sqrt{x+1}-1}{x}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{ (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}}
\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}}=\displaystyle {\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}}=\dfrac{1}{2}


2) \displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

Factorizamos y multiplicamos por la expresión conjugada del binomio irracional

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{3-\sqrt{x+2}}{x^2-8x+7}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! Mucho cuidado al realizar el producto de expresiones conjugadas:

(3-\sqrt{x+2})(3+\sqrt{x+2})= 3^2-(\sqrt{x+2})^2=9-(x+2)=9-x-2=7-x

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{7-x}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

¡OJO! con b-a= -(a-b) a la hora de simplificar

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-(x-7)}{(x-7)(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 7}\dfrac{-1}{(x-1)(3+\sqrt{x+2})}}=-\dfrac{1}{36}


3) \displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}}
Multiplicamos y dividimos por las expresiones conjugadas del numerador y del denominador:

\displaystyle {\lim_{x \to 1} \dfrac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})(\sqrt{x+8}+3)}{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{x+3})}}

Teniendo muy encuenta los ¡OJOS! anteriores no queda:

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{(1-x)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(x-1)(\sqrt{x+8}+3)}{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}}

\displaystyle {\lim_{x \to 1}\dfrac{-(\sqrt{x+8}+3)}{(2+\sqrt{x+3})}}=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}

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Limites 0/0 en funciones racionales

Posted by wgs84 en Miércoles, 23 mayo, 2007

La indeterminación se resuelve:

  1. factorizando los polinomios del denominador y del numerador
  2. simplificando.

Ojo tengamos en cuenta a la hora de simplificar que b-a = -(a-b)

1) \displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2-1}{1-x}} =\dfrac{0}{0}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{1-x}}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}}

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{(x+1)}{-1}}=-1

2) \displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{x^3-7x^2+16x-12}{x^3-7x+6}}= \dfrac{0}{0}

Factorizamos el numerador

rufini1.png

El cociente es x^2-5x+6. Para factorizar resolvemos la ecuación x^2-5x+6=0.
Sus soluciones son 2 y 3. Y la factorización del polinomio es:

x^3-7x^2+16x-12=(x-2)^2(x-3)

Factorizamos el denominador

Ruffini denominador

El cosiente es x^2+2x-3. Se factoriza resolviendo la ecuación de 2º grado x^2+2x-3=0 cuyas soluciones son -3 y 1. La factorización del denominador es:

x^3-7x+6=(x-2)(x+3)(x-1)

\displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)^2(x-3)}{(x-2)(x-1)(x+3)}}

\displaystyle{\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+3)}}=\dfrac{0}{5}=0

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Ángulo central e inscrito en una circunferencia 1º ESO

Posted by wgs84 en Domingo, 20 mayo, 2007

Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia

ángulo central

El arco AB se puede expresar en unidades de longitud y también en unidades angulares

La mediad angular del arco AB es igual a valor del ángulo central que lo abarca arco AB=\theta

Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia

inscrito

Relación entre un águlo inscrito y el árco que abarca:

inscrito.jpg

El triángulo QOB es isósceles ya que OQ=OB por ser radios de la misma circunferencia. Entonces \widehat{B}=\widehat{Q}.

En el triángulo QOB el ángulo que falta vale 180- \widehat{O} por ser adyacente al ángulo central \widehat{O}.

La suma de los ángulos interiores es 180 y de ahí:

2 \cdot \widehat{Q}+180- \widehat{O} =180

\widehat{Q}=\dfrac{\widehat{O}}{2}=\dfrac{arco  AB}{2}

inscrito2.jpg

La consecuencia inmediata de esto es que si dos ángulos inscritos abarcan el mismo arco son iguales y los dos medirán la mitad de ese arco

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Recuros de geometría analítica en la red

Posted by wgs84 en Miércoles, 9 mayo, 2007

El olvido de las matemáticas perjudica todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo.

 

 
   

Roger Bacon

Proyecto Descartes: son de 1º de Bachillerato pero los alumnos de 4º pueden aprovechar ciertas partes

Otros recursos:

  • Geometría activa . Seleccionar 2º ciclo de secundaria y allí encontrareis la geometría analítica

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Ejercicios resueltos geometría analítica (IV). Rectas y puntos notables del triángulo

Posted by wgs84 en Miércoles, 9 mayo, 2007


Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):

1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro

Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

medianas y baricnetro

Punto medio del lado AB: M \left (\dfrac{6+2}{2},\dfrac{3+9}{2} \right )=(4,6)

Vector: \overrightarrow{MC}=(8-4, 1-6)=(4, -5)

Mediana: \dfrac{x-4}{4}=\dfrac{y-6}{-5}

En forma general 5x+4y-44=0

—————————————

Punto medio del lado BC:N \left (\dfrac {6+8}{2},\dfrac{9+1}{2} \right )=(7,5)

Vector \overrightarrow {AN}=(7-2, 5-3)=(5,2)

Mediana: \dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y-3}{2}

En forma general 2x-5y+11=0

—————————————

Punto medio del lado AC: O \left (\dfrac{8+2}{2}, \dfrac{1+3}{2} \right )=(5,2)

Vector \overrightarrow{OB}=(6-5, 9-2)=(1, 7)

Mediana \dfrac{x-5}=\dfrac{y-2}{7}

En forma explicita y=7x-33

—————————————

Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:

2x-5y+11=0

y=7x-33

Por sustitución 2x-5(7x-33)+11=0. Despejando x= \dfrac{16}{3}

y= 7 \cdot \dfrac{16}{3} -33= \dfrac{13}{3}

El baricentro \left ( \dfrac{16}{3}, \dfrac{13}{3} \right )

2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro

Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

mediatrices y circuncentro

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamos los vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular.

Vector \overrightarrow{AB}=(6-2, 9-3)=(4, 6)

Pendiente m=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}

Pendiente de la perpendicular m_p=-\dfrac{2}{3}

Mediatriz y-6=-\dfrac{2}{3}(x-4)

———————————————-

Vector \overrightarrow{AC}=(8-2, 1-3)=(6,-2)

Pendiente m=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}

Pendiente de la perpendicular m_p=3

Mediatriz: y-2=3(x-5)

——————————————–

Vector \overrightarrow{BC}=(8-6, 1-9)=(2, -8)

Pendiente m=\dfrac{-8}{2}=-4

Pendiente de la perpendicular m_p= \dfrac{1}{4}

ediatriz: y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)

—————————————-

Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos de las mediatrices

y-2=3(x-5)

y-5=\dfrac{1}{4}(x-7)

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

4(3x-13)-20=x-7

x=\dfrac{65}{11} ; y=\dfrac{52}{11}

El circuncentro \left ( \dfrac{65}{11},\dfrac{52}{11} \right )

3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro

Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

alturas y ortocentro

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuaciones de las alturas:

Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1): y-1=-\dfrac{2}{3}(x-8)

Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9): y-9=3(x-6)

Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3): y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)

El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:

y-9=3(x-6)

y-3=\dfrac{1}{4}(x-2)

Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda: y=3x-9; 4(3x-9)-12-x+2=0

x=\dfrac{46}{11}

y= 3 \cdot \dfrac{46}{11}-9= \dfrac{39}{11}

El ortocentro: \left ( \dfrac{46}{11}, \dfrac{39}{11} \right )

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Ejercicios resueltos geometría analíitca (III)

Posted by wgs84 en Jueves, 3 mayo, 2007

  • Dado el triángulo ABC con A(3,1), B(5, 5) y C (7,1):
  1. Comprobar que es isósceles
  2. Comprobar que la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC corta al lado AC en su punto medio
  3. Comprueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y BC es paralela a la recta que pasa por AC

1)

Basta calcular los módulos de los vectores que determinan los lados:

| \overrightarrow {AB}|= \sqrt{ (5-3)^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {BC}|= \sqrt{ (7-5)^2+(1-5)^2}=2\sqrt{5}

| \overrightarrow {AC}|= \sqrt{ (7-3)^2+(1-1)^2}=4

Es isósceles | \overrightarrow {AB}|=  | \overrightarrow {BC}|

2)

Recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC:

El vector \overrightarrow {AC}= (4, 0) . La pendiente que determina es m= \dfrac{0}{4}=0

La pendiente de la perpendicular será infinito \dfrac{1}{0} =\infty

La recta será y-5= \dfrac{1}{0}(x-5) es decir x= 5

Recta que pasa por A y C: \dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-1}{0} es decir y= 1

El punto de corte será (5, 1)

El punto medio del segmento AC será:

x=\dfrac{7+3}{2}=5

y=\dfrac{1+1}{2}=1

3)

Punto medio del segmento AB

x=\dfrac{5+3}{2}=4

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Punto medio del segmento CB

x=\dfrac{7+5}{2}=6

y=\dfrac{5+1}{2}=3

Vector que los une (6-4, 3-3)=(2, 0). Su pendiente es \dfrac{0}{2}=0

Vector \overrightarrow {AC}= (4,0). Su pendiente \dfrac{0}{4}=0

Son paralelos

  • Calcular la distancia que separa a dos rectas paralelas:

r: x-3y+5=0

s: x-3y-2=0

1) Obtenemos una recta perpendicular a ambas paralelas.

Vector de r: (3,1). Pendiente m=\dfrac{1}{3}. La recta perpendicular tendrá de pendiente m_p=-3. Como punto utilizamos cualquiera P que pertenezca a r:

Si y=0 entonces x= -5. P(-5, 0)

La recta será y+5=-3(x-0); y= -3x-5

2) Calculamos el punto de intersección Q de la recta hallada anteriormente con s:

Por sustitución x-3(-3x-5)-2=0 Resolviendo hallamos quex=\dfrac{17}{7}

La coordenada y será y= -3 \cdot \dfrac {17}{3} -5= -\dfrac {86}{7}

3)La distancia buscada es |\overrightarrow {PQ}|= \sqrt{\left ( \dfrac{17}{7}+5 \right )^2+ \left ( \dfrac{86}{7} \right ) ^2}=\dfrac{\sqrt{10100}}{7}

  • Calcular el punto simétrico (P’) de P( 3, -2) respecto de la recta r: x-2y+33=0

simetrico

1) Recta perpendicular a r que pasa por P

Vector de r (2, 1). Pendiente m= \dfrac{1}{2}. La pendiente de la perpendicular m_p=-2

La recta será: y+2=-2(x-3); y= -2x+4

2) Punto de corte Q de la recta y= -2x+4 con r

Por sustitución x-2(-2x+4)+33=0 . Resolviendo tenemos que x= -5 . Y la coordenada y= -2 \cdot (-5)+4=14. Así pues Q= (-5, 14)

3) El punto Q es el punto medio del segmento PP’ por lo que se cumplirá que:

-5=\dfrac{x_p+3}{2} y la x de P valdrá x_p=-7

14=\dfrac{y_p-2}{2} y la y de P valdrá y_p=30

Por cierto ya he activado la posibilidad de hacer comentarios sin tener que darse de alta en wordpress e identificarse

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Posicones relativas de dos rectas en el plano

Posted by wgs84 en Jueves, 3 mayo, 2007

Dos rectas

r\equiv Ax+By+C=0

s\equiv A'x+B'y+C'=0

Pueden ser coincidentes:

coin.jpg

En este caso como se trata de dos rectas iguales se cumplirá que \dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}

Pueden ser paralelas :

2004721133748.gif

En este caso los vectores directores serán proporcionales pero no compartiran ningún punto. Se cumplirá que:

\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}\neq\dfrac{C}{C'}

Por último las rectas pueden ser secantes :

2004721133817.gif

En este caso los vectores directores no son paralelos: \dfrac{A}{A'}\neq\dfrac{B}{B'}

El punto de intersección se calcula resolviendo el sistema formado por las dos rectas ya que es un punto que pertenece a las dos rectas (condición de pertenecia) y por lo tanto satisfará las ecuaciones de ambas

Estudia la posición relativa de las rectas r: 5x-3y+2=0 y s:2x+y+3= 0

\dfrac{5}{-3}\neq\dfrac{2}{1} son secantes

Para obener el punto de corte resolvemos el sistema. Reducción r+3s

5x-3y+2=0

6x+3y+9=0

————————-

11x =11

x=1.

Sustiyo en s-> 2+3y+3=0

y =-\dfrac{5}{2}

El punto de corte es \left (1, -\dfrac{ 5}{2} \right )

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Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (II)

Posted by wgs84 en Jueves, 3 mayo, 2007

Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0

Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo x=0 tenemos que -2y+4=0 y por lo tanto y=2. Nuestro punto es (0, 2)

Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es (5, 1), que también será vector director de la recta que buscamos.

x= 5t

y= 2+t

Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)

Punto: x=\dfrac{5+3}{2}=4 , y=\dfrac{-2-6}{2}= -4 (4, -4)

Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ (-5-2, -3-1) =(-7, -4)

Por lo tanto sus pendientes seran inversas y con el signo cambiado. Si m= \dfrac{4}{7}, la pendiente de la recta que buscamos será -\dfrac{7}{4}

En forma punto-pendiente la recta incognita será: y-4=-\dfrac{7}{4} (x+4)

Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución: 7x+4y+12=0

Obten la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas

La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectangulo de ctatetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso b=3 .Entonces 3a=6 y a= 2.

Utilizando la forma segmentaria la ecuación de la recta es \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1

Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0

El vector director se s es (2, 3), y su pendiente m_s=\dfrac{3}{2}.

El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente m_r=\dfrac{2}{5B}

Si r y s son perpendiculares m_s=-\dfrac{1}{m_r}. Por lo tanto : \dfrac{-5B}{2}=\dfrac{3}{2}

B=-\dfrac {3}{5} y nuestra recta queda 2x+3y+C=0

Como el punto (3, -2) pertenece a la recta se cumple que:  2 \cdot 3 +3 \cdot (-2) +C=0 Por lo que C=0

Y la recta incognita será 2x+3y=0

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Ecuación de la recta en el plano (II)

Posted by wgs84 en Miércoles, 2 mayo, 2007

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Se trata de una recta que pasa por el punto A(x_a, y_a) y por el punto B (x_b, y_b). Como vetor director cogeremos el vector AB (x_b - x_a, y_b - y_a) y como punto cualquiera de los dos, el A o el B. En forma contínua quedará:

\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a}= \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}

La ecuación de la recta que pasa por A(5,4) y B (-3,1) será:

En forma contínua \dfrac{x-5}{5+3}=\dfrac{y-4}{4-1} ,

y en general 3x-8y+17=0

Ecuaciones de los ejes de coordenadas

Determinación lineal del eje OX: punto (0, 0) y vector director (1,0)Utilizando la forma punto-pendiente la ecuación será y-0=0(x-0) -> y=0

Determinación lineal del eje OY: punto (0,0) y vector director (0, 1)

Utilizando la forma continua \dfrac{x-0}{0}=\dfrac{y-0}{1}. Multiplicando en cruz tenemos que x=0

Puntos de corte con los Ejes

Corte Eje OX: en este punto la coordenada y es cero . Para calcular la x , sustituimos la y por cero en la ecuación de la recta y despejamos la x.

Corte Eje OY: en este punto la coordenada x es cero . Para calcular la y , sustituimos la x por cero en la ecuación de la recta y despejamos la y.

Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la recta 2x-y+3=0

Eje OX: y=0 -> 2x+3=0 -> x=-\dfrac{3}{2}. El punto es \left (-\dfrac{3}{2}, 0 \right )

Eje OY: x=0 -> -y+3=0 -> y=3. El punto es (0, 3)

Ecuación canónica o segmentaria

Se trata de obtener la ecuación de la recta a partir de sus puntos de corte con los ejes. Sea (a, 0) el corte con el eje OX y (0, b) el corte con el eje OY.

El vector director de la recta será ( a-0, 0-b)=(a, -b ) y la ecuación en forma contínua será

\dfrac{x-a}{a}=\dfrac{y-0}{-b}

que la podemos escribir así:

\dfrac{x}{a}-1=-\dfrac{y}{b}

y finalmente:

\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1

Condición de paralelismo entre rectas

Aunque matizaremos esto más adelante cuando hablemos de incidencia de rectas valga como adelanto.

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son paralelos, es decir, cuando sus componentes sean proporcionales \dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{W_y}{W_x}. Así, las rectas

x-2y+5=0

2x-4y+8=0

son paralelas porque sus vetores (2, 1) y (4, 2) respectivamente tienen las componentes proporcionales \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}.

Un enunciado equivalente es decir que dos rectas son paralelas cuando tiene identicas pendientes. Por ejemplo, las rectas y= -3x+1 y y+\dfrac{1}{2}=-3(x-5) son paralelas

Condición de perpendicularidad

Si una recta (r) forma un ángulo A con el eje OX, una recta perpendicular a ésta (s) formará con el eje OX un ángulo de A+90.

La pendiente de r valdrá tan A=m_r y la de s tan (90+A)=-ctan A. Por lo que se cumplirá que:

m_s= -\dfrac{1}{m_s}

Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una es la inversa cambiada de signo de la otra.

Os prometí unos problemas resueltos pero los dejo para mañana. Buenas noches

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Ecuación de la recta. Ejercicios de aplicación (I)

Posted by wgs84 en Martes, 1 mayo, 2007

1) Obtén todas las formas de la recta que pasa por A(3, 4) con vector director (-1, 3)

Vectorial : (x, y)=(3,4)+ t\cdot(-1, 3) con t un número real

Paramétricas: Operando obtenemos ( x, y)= (3-t, 4+3t)

Contínua: Despejando t de las dos paramétricas e igualando obtenemos \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-4}{3}

Punto-pendiente: la pendiente será m=\dfrac{V_y}{V_x}=\dfrac{3}{-1} y la ecuación quedara y-4=-3(x-3)

Ecuación general o implícita: ee obtiene llegando a la forma Ax+By+C=0 desde la forma contínua o desde la punto-pendiente. Así pues: y-4=-3x+9 y de ahí 3x+y-13=0

Ecuación explícita: basta despejar la y de la continua, la genmeral o la punto-pendiente y= -3x+13

2) La ecuación de una recta es:

x= -2t

y= 3+5t

Obtén su determinación lineal, su ordenada en el origen y su ecuación punto-pendiente

La ecuación está en forma paramétrica. Las componentes del vector director son los coeficientes del parametro t por lo que será (-2, 5) y el punto A=(0, 3)

La pendiente m=\dfrac{V_y}{V_x}=-\dfrac{5}{2}

La ecuación punto-pendiente y-3=-\dfrac{5}{2}(x-0)

Para obtner la ordenada en el origen (punto de corte con el eje OY) sustituyo 0 en la ecuación anterior o obtengo la forma explicita:

y= -\dfrac{5}{2} +3

Así, la ordenada en el origen es 3. El punto (0, 3)

3)Una recta tiene como ecuación general 2x -y-7=0. Obtener sus ecuaciones paramétricas

Necesitamos un punto de la recta y un vector director:

  • Como en la ecuación general el vector es (-B, A) -> (1, 2)
  • Para obtener un punto le damos un valor cualquiera a x y despejamos y. Si x=0 entonces -y-7=0 y y= -7

Las paramétricas serán:

x= t

y= -7+2t

4) Obtén la determinación lineal de la recta y= -2x +\dfrac{1}{2}

La recta está en forma implicita por lo que el coeficiente de las x es la pendiente m= -2= \dfrac{V_y}{V_x}. De los infinitos vectores de pendiente -2 elegimos uno, por ejemplo (1, -2) Nos serviría cualquiera con tal de que su pendiente fuera -2.

Como punto elegimos la ordenada en el origen \left (0,  \dfrac{1}{2} \right )

5) Obtener la ecuación general de la recta que pasa por (1, -3) y que forma un ángulo de 30º con el eje OX

Por definición la pendiente será \tan 30= \dfrac{\sqrt{3} }{3}

Montamos la punto-pendiente y+3= \dfrac{\sqrt{3} }{3} \left ( x-1 \right )

Eliminamos paréntesis y denominadores : 3y+9=\sqrt{3}x-\sqrt{3}

Lo pasamos todo a la izquierda y ya tenemos la forma general: - \sqrt{3}x+3y+9+\sqrt{3}=0

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