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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 28 septiembre 2007

Extracción e introducción de factores de un radical

Posted by wgs84 en Viernes, 28 septiembre, 2007

Para extraer factores de un radical usaremos la definición de producto en este sentido: \sqrt[n]{A \cdot B}=\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}.Veamos unos cuantos ejemplos

  • \sqrt{5a^2}=\sqrt{5} \cdot \sqrt {a^2}. Simplificando el segundo radical queda:a \cdot \sqrt{5}
  • \sqrt[3]{xy^6}=\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y^6}= y^2 \cdot \sqrt[3]{x}
  • \sqrt{5x^5} .En este ejercicio descompondremos x^5 en dos factores de modo que se pueda extraer alguno de ellos . \sqrt{5 x^4 x}=\sqrt{5x} \cdot \sqrt{x^4}=x^2 \cdot \sqrt{5x}
  • \sqrt[5]{6 x^{10} y^7 z^{23}}=\sqrt[5]{6 x^{10} y^5 y^2 z^{20} z^3}.Extraemos directamente los factores que van a salir (dividimos exponente entre índice): x^2 y z^4 \sqrt[5]{6y^2 z^3}.
  • \sqrt{\dfrac{2^2 a^3 b}{3^3 c^4 d^5}}=\dfrac{\sqrt{2^2 a^3 b}}{\sqrt{3^3 c^4 d^5}}=\dfrac{\sqrt{2^2 a^2 a b}}{\sqrt{3^2 3 c^4 d^4 d}}=\dfrac{2a}{3c^2 d^2} \sqrt{\dfrac{ab}{3d}}

Para introducir factores basta elevarlos al índice del radical e introducirlos dentro. Veamos la justificación de esto:

A \cdot \sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{A^n} \cdot \sqrt[n]{B}=\sqrt[n]{A^n \cdot B}

  • x \sqrt{2y}=\sqrt{2yx^2}
  • 2a \sqrt[3]{3a^2b}=\sqrt[3]{(2a)^3 3a^2 b}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3 a^5}
  • \dfrac{3x}{2y} \sqrt{\dfrac{2y}{3x}}=\sqrt{\dfrac{3^2 x^2}{2^2 y^2} \cdot  \dfrac{2y}{3x}}=\sqrt{\dfrac{3x}{2y}}

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Producto y cociente radicales

Posted by wgs84 en Miércoles, 26 septiembre, 2007

El producto de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al producto de los radicandos factores:

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Multiplicando las dos expresiones tenemos que:

q^n \cdot p^n=A \cdot B

 

(q\cdot p)^n=A \cdot B

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ (q\cdot p)^n}=\sqrt[n]{A \cdot B}

 

q\cdot p=\sqrt[n]{A \cdot B}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\sqrt[n]{A} \cdot\sqrt[n]{B}= \sqrt[n]{A \cdot B} c.q.d

El cociente de dos radicales homogeneos (con igual índice) es igual a otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es igual al cociente de los radicandos factores:

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}}

Demostración :

Si \sqrt[n]{A} =q entonces q^n=A. (1)

Si \sqrt[n]{B} =p entonces p^n=B. (2)
Divdiendo las dos expresiones tenemos que:

\dfrac{q^n}{ p^n}=\dfrac{A}{B}

 

\left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n=\dfrac{A}{B}

Tomando raíces de índice n a ambos lados:

\sqrt[n]{ \left ( \dfrac{q}{ p} \right )^n}=\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

 

\dfrac{q}{ p} =\sqrt[n]{\dfrac{A}{B}}

Teniendo en cuenta (1) y (2) :

\dfrac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}= \sqrt[n]{\dfrac{A}{ B}} c.q.d

 

Ejemplos :

  • \sqrt[3]{3x^2 y^3}  \cdot \sqrt{xy} \cdot \sqrt[4]{9 x^3 y^2}

1. Primero ponemos los radicales en índice común.También descompondremos en factores primos los coeficientes que aparezcan: 9= 3^2

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12}} \cdot \sqrt[12]{x^6 y^6} \cdot \sqrt[12]{3^6 x^9 y^6}

2. Realizamos el producto

\sqrt[12]{3^4 x^8 y^{12} x^6 y^6 3^6 x^9 y^6}

3. Agrupamos factores mediante las propiedades de la potencias a^n \cdot a^m = a^{m+n}

\sqrt[12]{3^{10} x^{23} y^{24}}

  • \left ( \sqrt{ \dfrac{a}{2b}} \div \sqrt[3]{ \dfrac{b}{4a^2}} \right ) \cdot \sqrt[4]{\dfrac{2b}{a}}

Sacamos índice común y realizamos el cociente entre paréntesis y luego el producto:

\left ( \sqrt[12]{\dfrac{a^6}{2^6 b^6} \div \dfrac{b^4}{2^8 a^8}} \right ) \cdot \sqrt[12]{\dfrac{2^3 b^3}{a^3}}= \sqrt[12]{\dfrac{2^8 a^{14}}{2^6 b^{10}} \cdot \dfrac{2^3 b^3}{a^3}}=\sqrt[12]{\dfrac{2^5 a^{11}}{b^7}}

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Exponentes fraccionarios

Posted by wgs84 en Lunes, 24 septiembre, 2007

Un radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario en la que el númerador es el exponente del radicando y el denominador el índice:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Vamos a demostarlo:

Si \sqrt[n]{a^m}=r. Por definición de radical tenemos que r^n=a^m.

Tomamoso raíces de orden n a cada lado de la igualdad: \sqrt[n]{r^n}=\sqrt[n]{a^m}

Simplificamos ambos radicales dividiendo índice y exponente por n:

\sqrt[\frac{n}{n}]{r^{\frac{n}{n}}}=\sqrt[\frac{n}{n}]{a^{\frac{m}{n}}}

r=\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Ejemplos:

Escribe como exponente fraccionario:

  1. \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}
  2. \sqrt{x^3y^6}=\sqrt{(xy^2)^3}=(xy^2)^{\frac{3}{2}}
  3. \sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y}}=\left ( \dfrac{x^2}{y} \right )^{\frac{1}{2}}

Escribe en forma de radical

  1. \left (x^2y^3 \right )^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{(x^2 y^3)^2}=\sqrt[5]{x^4 y^6}
  2. \left ( \dfrac{x^3}{z^2 y^5} \right )^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{z^2 y^5}}
  3. (x^4 y^6)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{4}{2}} y^{\frac{6}{2}}= x^2 y^3

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Transformación de radicales.Teorema fundamental de la radicación

Posted by wgs84 en Domingo, 23 septiembre, 2007

Teorema fundamental de la radicación

Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente del radicando por el mismo número natural obtenemos un radical equivalente al original:

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

 

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[\frac{n}{p}]{a^{\frac{n}{p}}}

Vamos a demostrarlo para el caso del producto:

Si \sqrt[n]{a^m}=r. (1)

Por definición de radical tendremos que : r^n=a^m (2)

Elevamos ambas partes de la igualdad al exponente q :

(r^n)^q=(a^m)^q \rightarrow r^{n \cdot q}=a^{m \cdot q} (3)

Tomamos raíces de índice nq en ambos miembros de la igualdad:

\sqrt[ n \cdot q]{ r^{n \cdot q}}=\sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(4)

Por definición de radical:

r= \sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(5)

Y teniendo en cuenta lo que es r (1):

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

Este teorema nos permite hacer dos cosas:

1. Simplificar radicales

Dividiremos el índice y el exponente del radicando por un mismo número. Si al hacer esto el índice resultante es 1, desparece el signo radical

  1. \sqrt[8]{x^2}=\sqrt[4]{x}
  2. \sqrt{x^6}=x^3
  3. \sqrt[6]{a^3 b^9}=\sqrt[6]{(ab^3)^3}=\sqrt{ab^3}
  4. \sqrt[20]{\dfrac{x^{10}}{y^5}}=\sqrt[20]{\left ( \dfrac{x^2}{y} \right )^5}=\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{y}}

2. Reducir radicales a índice común

Lo veremos con un ejemplo: \sqrt{x}; \sqrt[3]{y^2}; \sqrt[4]{x^2 y^3}

El índice común será en m.c.m de los índices: m.c.m(2,3,4)=12.

Luego elevaremos los exponentes de cada radicando al resultado de dividir el índice común por cada uno de lo índices originales.

\dfrac{12}{2}=6; \dfrac{12}{3}=4; \dfrac{12}{4}=3

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{(y^2)^4}; \sqrt[12]{(x^2 y^3)^3}

 

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{y^8}; \sqrt[12]{x^6 y^9}

 

Ejercicio propuesto: \sqrt[6]{\dfrac{a^2 b^3 }{c^4}}; \sqrt[10]{\dfrac{a^3 c^7}{b^6}}

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Definición de radical

Posted by wgs84 en Domingo, 23 septiembre, 2007

La radicación es la operación inversa a la potenciación y se define así:

\sqrt[n]{a} =b \leftrightarrow b^n=a

Es decir \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8

La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” si y sólo s b elevado a n es igual a “a”

Partes de un radical: \sqrt[n]{a}=b

  • \sqrt{} es el signo radical
  • n es el índice
  • a es el radicando
  • b es la raíz o solución de radical

La raíz de un radical es el número que hay que elevar al índice para obtener el radicando

Signo y número de soluciones de un radical en el conjunto R

  • Si el radical es de índice par y el radicando es negativo no existe solución. La \sqrt{-4} será igual a un número x que desconocemos. Por definición de radical tendremos que x^2=-4 y esto es imposible en el conjunto de los números reales (cualquier número al cuadrado es positivo).
  • Si el radical es de índice par y radicando positivo tiene dos raíces opuestas(iguales pero de distinto signo).\sqrt{4}= \pm 2 porque 2^2=4 y (-2)^2=4
  • Si el radical tiene índice negativo tiene una única solución con el mismo signo que el radicando. \sqrt[3]{27}=3 porque 3^3=27 . \sqrt[3]{-27}=-3 porque (-3)^3= -27

Ejercicios: trabajaremos con la descomposicón en factores primos de los radicandos

  1. \sqrt{169}=\sqrt{ 13^2}=\pm 13
  2. \sqrt{256}=\sqrt{2^8}=\sqrt{(2^4)^2}=\pm 2^4=\pm 16
  3. \sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2
  4. \sqrt[7]{-128}=\sqrt[7]{-2^7}= -2
  5. \sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=\sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3}=2 \cdot 3=6
  6. \sqrt[4]{\dfrac{81}{256}}=\sqrt[4]{\dfrac{3^4}{2^8}}=\sqrt[4]{\left ( \dfrac{3}{2^2} \right )^4}=\pm \dfrac{3}{4}
  7. \sqrt[3]{-0.125}=\sqrt[3]{-\dfrac{125}{1000}}=\sqrt[3]{-\dfrac{5^3}{10^3}}=-\dfrac{1}{2}

Cuando trabajemos con radicales algebraicos no tendremos en cuenta el doble signo de los radicales de índice par

  1. \sqrt{x^{10}}=\sqrt{(x^5)^2}=x^5
  2. \sqrt[3]{a^6 \cdot b^{15}}= \sqrt[3]{( a^2 \cdot b^5)^3}=a^2 b^5
  3. \sqrt[4]{\dfrac{x^8y^{12}}{z^4}}=\sqrt[4]{\left ( \dfrac{x^2 y^3}{z} \right )^4}=\dfrac{x^2 y^3}{z}

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Inicio curso 07/08

Posted by wgs84 en Sábado, 22 septiembre, 2007

Este año el blog estará dedicado fundamentalmente a mis alumnos de 3º E.S.O. Espero que os sea útil

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