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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Transformación de radicales.Teorema fundamental de la radicación

Posted by wgs84 en Domingo, 23 septiembre, 2007

Teorema fundamental de la radicación

Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente del radicando por el mismo número natural obtenemos un radical equivalente al original:

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

 

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[\frac{n}{p}]{a^{\frac{n}{p}}}

Vamos a demostrarlo para el caso del producto:

Si \sqrt[n]{a^m}=r. (1)

Por definición de radical tendremos que : r^n=a^m (2)

Elevamos ambas partes de la igualdad al exponente q :

(r^n)^q=(a^m)^q \rightarrow r^{n \cdot q}=a^{m \cdot q} (3)

Tomamos raíces de índice nq en ambos miembros de la igualdad:

\sqrt[ n \cdot q]{ r^{n \cdot q}}=\sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(4)

Por definición de radical:

r= \sqrt[ n \cdot q]{a^{m \cdot q}}(5)

Y teniendo en cuenta lo que es r (1):

\sqrt[n]{a^m}=  \sqrt[n \cdot q]{a^{m \cdot q}}

Este teorema nos permite hacer dos cosas:

1. Simplificar radicales

Dividiremos el índice y el exponente del radicando por un mismo número. Si al hacer esto el índice resultante es 1, desparece el signo radical

  1. \sqrt[8]{x^2}=\sqrt[4]{x}
  2. \sqrt{x^6}=x^3
  3. \sqrt[6]{a^3 b^9}=\sqrt[6]{(ab^3)^3}=\sqrt{ab^3}
  4. \sqrt[20]{\dfrac{x^{10}}{y^5}}=\sqrt[20]{\left ( \dfrac{x^2}{y} \right )^5}=\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{y}}

2. Reducir radicales a índice común

Lo veremos con un ejemplo: \sqrt{x}; \sqrt[3]{y^2}; \sqrt[4]{x^2 y^3}

El índice común será en m.c.m de los índices: m.c.m(2,3,4)=12.

Luego elevaremos los exponentes de cada radicando al resultado de dividir el índice común por cada uno de lo índices originales.

\dfrac{12}{2}=6; \dfrac{12}{3}=4; \dfrac{12}{4}=3

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{(y^2)^4}; \sqrt[12]{(x^2 y^3)^3}

 

\sqrt[12] {x^6}; \sqrt[12]{y^8}; \sqrt[12]{x^6 y^9}

 

Ejercicio propuesto: \sqrt[6]{\dfrac{a^2 b^3 }{c^4}}; \sqrt[10]{\dfrac{a^3 c^7}{b^6}}

26 comentarios to “Transformación de radicales.Teorema fundamental de la radicación”

  1. aidalis said

    odio la matematicaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

  2. aidalis said

    no mentira la matematica nos enseña muchas cosas nuevas

  3. bersabe said

    aun no se porque algebra quiere formar parte de nuestra vida

  4. Ana said

    no entendi nada de la transformacion de un radical… explik bien please…

  5. yami said

    la matematica me tiene loca

  6. arthur philp said

    la matematica es divertida, siempre y cuando uno le pone muchas ganas y atención lo entendera😄.

  7. camel oner said

    amo las matematica, jaja se lo creyeron LAS ODIOOOOOO,

  8. katty said

    la matematica apesta qqq asco !!!!! x mi ese curso no debio existir

  9. PAULO said

    esta pagina me aburre asi que quiero que la borren del mapa

  10. MARIA ISABEL RAMIRES ALVARE said

    OLAAAAAAAAAAAAAAAP QUIRO QUE SEPAN QUE AUNQUE NO SOY MUY BUENA N LAS MATEMATICAS LAS AMO PS SI ELLAS NO PODRIA VIVIR

  11. profesor daniel said

    no sean ignorantes las matemáticas es lo mejor que se ha inventado por el ser humano, gracias a ellas soy profesor de secundaria en matematicas.

  12. ezequiel said

    aguante las matematikassss

  13. jhovana said

    bueno las matematicas son super padrisimas las amo hasta el fin del mundo

  14. BIOLETA said

    HOLA EN LO QUE AMI CONSIERNE LAS MATEMATICAS SON ALGO FUNDAMENTAL EN LA VIDA SIN ELLAS NO SERIAMOS NADA PERO AUN ASI NO ME GUSTAN

  15. Jennifer said

    Las matemáticas son cm un juego, pero hay muchos amargados q no quieren conocer las reglas y x eso no entienden nada

  16. Diego said

    las matematicas siempre estaran en tu vida ademas de ser de sus interrogantes y derivaciones una de las mejores cosas a descifrar
    por eso son lo mejor

  17. scarlet said

    ezte…a mi sinceramente no me gustan las matematicas ,prefiero otros campos como el arte q es lo q mas amo y por lo q vivo,pero las matematicas son un mal necesario , son re trabajosas , abuabuabuabuuuuuuuuuriiiidaaaaaaaaaaass,pero si no existieran viviriamos en un mundo desorganizado ,y sin razon de ser es lo QUE prueba del razonamiento humano , soy alumna de secundaria y he jalado este curso , x q no entendia naaada,y creo q la informacion q nos esta dando esta pagina pues es re util ya q no entendia este tema , asi q no se burlen de las matematicas x q hasta en el arte estan las matematicas , toodo tiene belleza , solo hay q saber tomarla y esculpirla , y como alguien dijo x ahi..NO SEAN IGNORANTES!SUPERENSE!LOL!

  18. exel said

    la matematica es cuestion de atencion

  19. jose antonio said

    buno yo en lo personal no megustan la matematicas pero es por que aveses no les entiendo o simplemente se me hacen aburrrrriiiiiiiiddddddiiiiiissssssiiiiiimmmmmaass en ocaciones y eso es lo que me fastidia

  20. Para mi son la forma de enseñar a las personas que no han terminado sus estudios o que desean ampliarlos las aplicaciones de la matemática a las tecnologías digitales, las finanzas personales, la administración de un hogar y los conceptos que pueden dar a la literatura el enfoque de la lógica matemática y el cálculo.

    ¡¡Y me encantan!!

  21. Piero Andres Lima-Peru said

    amooooooo esto

  22. fabi said

    i dont understand nothing😦 de que me va a servir esto despues!!!

  23. LAS MATEMATICAS LAS ODIO Y SON ABURRIDAS Y QUISIERA Q NO EXISTIERA LA MATEMATICA

  24. Mirian Jackeline alvares Reyes said

    No entendi:/

  25. anita said

    quiero masssssssssss

  26. Alfonso de Jesús said

    disculpen las molestias, pero sinceramente no se logra entender la idea claramente.
    no se si realmente la explicación concuerde con las imágenes.

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