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Raíz de un radical

Posted by wgs84 en Jueves, 4 octubre, 2007

La raíz de índice m de un radical de índice n es otro radical con el mismo radicando pero cuyo índice es el producto de los índices anteriores:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}

 

Demostración:

\sqrt[n]{A}=p por definición de radical p^n=A (1)

\sqrt[m]{p}= q por definición de radical q^m=p (2)

Tomamndo potencias de exponente n en ambos miembros de (2):

(q^m)^n=p^n=A(3)

Tomamos en (3) raíces de índice m·n y simplificando:

\sqrt[m \cdot n]{q^{m \cdot m}}=\sqrt[m \cdot n]{A}

q=\sqrt[m \cdot n]{A}

Teniendo en cuenta el valor de q en(2) :

\sqrt[m]{p}=\sqrt[m \cdot n]{A}

Teniendo en cuenta el valor de p en (1):

\sqrt[m]{\sqrt[n]{A}}= \sqrt[m \cdot n]{A}

Ejemplos:

  • \sqrt[3]{\sqrt[4]{x^3}}=\sqrt[12]{x^3}=\sqrt[4]{x}. Simplificando
  • \sqrt{ab^2 \sqrt[3]{ab}}. Introducimos ab^2 en el segundo radical (índice 3) elevando ambos factores al cubo: \sqrt{\sqrt[3]{a^3 b^6  ab}}=\sqrt[6]{a^4 b^7}. Extraemos factores: \sqrt[6]{a^4 b^6 b}=b \cdot \sqrt[6]{a^4 b}
  • \sqrt[3]{ \dfrac{a b^2}{c} \sqrt[4]{\dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{\dfrac{a^4 b^8}{c^4} \cdot \dfrac{c}{a^2 b^3}}}=\sqrt[12]{\dfrac{a^2 b^5}{c^3}}

 

5 comentarios to “Raíz de un radical”

  1. alex said

    deberian agregar raiz de un producto y de un cociente expreciones conjugadas, racionalizacion del denominador de una fracciony operaciones con radicales( suma, resta, multiplicacion y divicion…

  2. wgs84 said

    La raiz de un producto y un cociente estan explicadas en entradas anteriores. ¿oido barra a la falta de racionalización!. en cuanta disponga de un poco de tiemp lo añdiré.

    Gracias

  3. miriam said

    creo q deberian un poco mas de resumirlos y asi porder cada persona entender mejor de la teoria de las potencias

  4. mariaa said

    necesito ejercicios de los radicaless k me ha serviddoo de mucho esta teoriaa

  5. hola hay alguien

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