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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 31 enero 2008

Propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado.Forma canónica

Posted by wgs84 en Jueves, 31 enero, 2008

Una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 tiene dos soluciones:

x_1=\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} y x_2=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

La suma de las soluciones (s) es:

s= x_1+x_2=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} -b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\dfrac{2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}

El producto de las soluciones (p) es:

x_1 \cdot x_2=\dfrac{ \left ( -b +\sqrt{b^2-4ac} \right ) \left ( -b-\sqrt{b^2-4ac} \right )}{4a^2}=\dfrac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac} )^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}

Concluyendo

s= -\dfrac {b}{a}

p= \dfrac{c}{a}

En la ecuación ax^2+b+c=0 dividimos por a a ambos lados: \dfrac{a}{a}x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=\dfrac{0}{a}. Si tenemos en cuenta los valores de (s) y (p) nos queda:

x^2-sx+p=0

que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado y sus coeficientes nos susurran al oido cosas interesantes:

Si una ecuación de segundo grado tiene como coeficiente del término de segundo grado la unidad, el coeficiente del término de primer grado es igual a la suma de las soluciones de la ecuación cambiada de signo (-s) y su término independiente es igual al producto dichas soluciones (p).

1) Escribe la ecuación de segundo grado que tenga como soluciones 3 y -8

s=3-8=-5 y p=3 \cdot (-8)=-24 por lo tanto la ecuación que buscamos es x^2+5x-24=0

2) Caclula el valor de m en la ecuación x^2-6x +m=0 sabiendo que las dos soluciones son iguales

x_1=x_2 por lo tanto s=2x_1.

Por otro lado viendo la ecuación que está en forma canónica s=6.

Igualando ambas expresiones de s tenemos que x_2=x_1=3.

Como m es el producto de las dos soluciones m=9

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iJam

Posted by wgs84 en Jueves, 31 enero, 2008

Esto estaba aquí y en el blog de Kirkob

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Limites infinito/infinito en funciones racionales (II)

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

Vamos a seguir resolviendo límites de este tipo utilizando un par de propiedades:

  1. El límite de una potencia es la potencia del límite: \displaystyle \lim_{x  \rightarrow a}\left  ( f(x) \right )^n=\left (\displaystyle \lim_{x  \rightarrow a} f(x) \right)^n
  2. El límite de una raíz es la raíz del límite: \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)}

Ejemplos:

  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left ( \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1}\right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x^3-3x+1}{x^3-1} \right )^3= \left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3}-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3}-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3=\left ( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}{1-\dfrac{1}{x^3}} \right )^3= \left ( \dfrac{2-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}} \right )^3=\left ( \dfrac{2-0+0}{1-0} \right )^3=2^3=8
  • \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x}{x^2+x}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}}=\sqrt{ \dfrac{\dfrac{2}{\infty}}{1+\dfrac{1}{\infty}}}=\sqrt{\dfrac{0}{1+0}}=\sqrt{0}=0

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Demostración de la fórmula que resuleve la ecuación de segundo grado completa

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

El objetivo es convertir el polinomio ax^2+bx+c en un cuadrado perfecto

Tenemos ax^2+bx+c=0

Multiplicamos a ambos lado po 4a: 4a^2x^2+ 4abx+4ac=0

Sumamos a ambos lados b^2: 4a^2x^2+ 4abx+4ac+b^2=b^2

Pasamos 4ac al miembro derecho y ya tenemos un cuadrado perfecto en el miembro izquierdo;

4a^2x^2+ 4abx+b^2=b^2-4ac

(2ax)^2+2 \cdot 2ax \cdot b+b^2=b^2-4ac

(2ax+b)^2=b^2-4ac

Eliminamos el cuadrado de la izquierda 2ax+b= \pm \sqrt{b^2-4ac}

Despejamos x: x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

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Limites infinito/infinito en funciones racionales

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

Para resolver la indeterminacion \dfrac{\infty}{\infty} se divide numerador y denominador por la parte literal del término de mayor grado. Se nos presentarán tres casos

1) Grado del numerador>grado denominador. En este caso el resultado será siempre \infty

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4-5x^2+3x-1}{2x^3+x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{3x^4}{x^4}-\dfrac{5x^2}{x^4}+\dfrac{3x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{x}{x^4}+\dfrac{2}{x^4}}

Simplificamos y sustituimos :

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^4}}= \dfrac{3-\dfrac{5}{\infty}+\dfrac{3}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{\dfrac{2}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{2}{\infty}}=\dfrac{3-0+0-0}{0+0+0}=\dfrac{3}{0}=\infty

2) Grado numerador < grado denominador. En este caso el resultado siempre es 0

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{x^2-3x+5}{x^4-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{x^2}{x^4}-\dfrac{3x}{x^4}+\dfrac{5}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}

Simplificando y sustituyendo

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{5}{x^4}}{1-\dfrac{1}{x^4}}=\dfrac{\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{5}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0-0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0

3) Grado numerador=grado denominador .En este caso el resultado esel cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador y denimoinador

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2x^2-2x}{3x^2-1}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{3x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2-\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{1}{x^2}}

Sustituyendo

\dfrac{2-\dfrac{2}{\infty}}{3-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{2-0}{3-0}=\dfrac{2}{3}

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