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Limites infinito/infinito en funciones racionales

Posted by wgs84 en Domingo, 27 enero, 2008

Para resolver la indeterminacion \dfrac{\infty}{\infty} se divide numerador y denominador por la parte literal del término de mayor grado. Se nos presentarán tres casos

1) Grado del numerador>grado denominador. En este caso el resultado será siempre \infty

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3x^4-5x^2+3x-1}{2x^3+x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{3x^4}{x^4}-\dfrac{5x^2}{x^4}+\dfrac{3x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{x}{x^4}+\dfrac{2}{x^4}}

Simplificamos y sustituimos :

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^4}}= \dfrac{3-\dfrac{5}{\infty}+\dfrac{3}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{\dfrac{2}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{2}{\infty}}=\dfrac{3-0+0-0}{0+0+0}=\dfrac{3}{0}=\infty

2) Grado numerador < grado denominador. En este caso el resultado siempre es 0

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{x^2-3x+5}{x^4-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{x^2}{x^4}-\dfrac{3x}{x^4}+\dfrac{5}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}

Simplificando y sustituyendo

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{5}{x^4}}{1-\dfrac{1}{x^4}}=\dfrac{\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{3}{\infty}+\dfrac{5}{\infty}}{1-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{0-0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0

3) Grado numerador=grado denominador .En este caso el resultado esel cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador y denimoinador

\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2x^2-2x}{3x^2-1}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}}{\dfrac{3x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}= \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{2-\dfrac{2}{x}}{3-\dfrac{1}{x^2}}

Sustituyendo

\dfrac{2-\dfrac{2}{\infty}}{3-\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{2-0}{3-0}=\dfrac{2}{3}

Una respuesta to “Limites infinito/infinito en funciones racionales”

  1. rommel said

    excelentes ejercicios, voy aprendiendo a mis años, deje de estudiar hace 30 años.gracias por los ejerc.

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