El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Ecuaciones irracionales (I)

Publicado por wgs84 en Martes, 5 febrero, 2008

Son ecuaciones irracionales aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.

La resolución de estas ecuaciones se basa en el siguiente principio:

 

Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que, además de tener las soluciones de la primera, puede contener las de una segunda, obtenida al cambiar de signo uno de los miembros de la ecuación dada.

Sea la ecuación: F(x)=G(x)

Elevamos al cuadrado ambos miembros: F(x)^2=G(x)^2

Ahora la ecuación puede escribirse como una diferencia de cuadrados : F(x)^2-G(x)^2=0

Descomponemos enfactores: (F(x)-G(x))(F(x)+G(x))=0

La solución de la ecuaión será la solución de las ecuaciones parciales:

  • F(x)-G(x)=0 equivalente a F(x)=G(x)
  • F(x)+G(x) =0 equivalente a F(x)=-G(x)

Por esta razón hay que comprobar las soluciones que resultan de elevar al cuadrado

Ejemplo 1 Con un solo radical 2+ \sqrt{2x+2}=x-1

1)Aislamos el radical en uno de los miembros

\sqrt{2x+2}=x-1-2

\sqrt{2x+2}=x-3

2)Elevamos al cuadrado ambos miembros

\left (\sqrt{2x+2} \right)^2=(x-3)^2

2x+2= x^2-6x+9

0=x^2-8x+7

3)Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante

x= \dfrac{8 \pm \sqrt{64-28}}{2}=\dfrac{ 8 \pm 6}{2}

Las soluciones son x= 7 y x=1

4)Comprobamos las soluciones

x=7 \rightarrow 2+\sqrt{14+2}=7-1 cierta

x=1 \rightarrow 2+\sqrt{2+2}=1-1 falsa

Ejemplo 2 con 2 radiclaes \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6

1)Aislamos uno de los radicales en uno de los miembros

\sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3}

2)Elevamos al cuadrado ambos términos

\left ( \sqrt{x+9} \right )^2= \left ( 6- \sqrt{x-3} \right )^2

x+9 = 36-12 \cdot \sqrt{x-3} +x-3

3)Ahora es una ecuación con un solo radical. Lo aislamos

12\sqrt{x-3}=24

\sqrt{x-3}=2

4)Elevamos al cuadrado ambos miembros y desarrollamos

\left ( \sqrt{x-3} \right )^2= 2^2

x-3=4

x= 7

5) Comprobamos la solución: \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3}=6 \rightarrow 4+2=6 es cierta

About these ads

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 29 seguidores

%d personas les gusta esto: