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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 31 marzo 2008

Sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas con transformaciones previas

Posted by wgs84 en Lunes, 31 marzo, 2008

La forma estandad de un sistemas de ecuaciones con dos incognitas es esta:

\left. \begin{array}{rcl}  Ax+By & = & C  \\ A' x+B' y & = & C' \end{array} \right\}

Muchos sistemas no aparecen directamente con esta forma. En estos tendremos que eliminar paréntesis y denominadores y agrupar términos semajantes para dejarlos en la forma “estandard” y así podder aplicar algunos de los métodos de resolución.

Veamos algunos ejemplos:

  • Eliminación de denominadores

    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}+\dfrac{5y}{4} & = & 2 \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{5y}{3} & = & \dfrac{3}{2} \end{array} \right\}.
    Eliminamos denominadores en ambas ecuaciones:
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{4}+\dfrac{5y}{4} & = & \dfrac{8}{4} \\ \\ \dfrac{x}{6}- \dfrac{10y}{6} & = & \dfrac{9}{6} \end{array} \right\}.

    \left. \begin{array}{rcl} 2x+5y & = & 8 \\ x-10y & = & 9 \end{array} \right\}.

    Ya lo tenemos en la forma “standard” y lo resolvemos por sustitución.
    Despejamos la varible x de la segunda ecuación: x=9+10y
    Sustituimos en la primera y resolvemos:
    2(9+10y) +5y= 8
    18+20y+5y=8
    25y=-10
    y=-\dfrac{2}{5}
    x=9-10 \cdot \dfrac{2}{5}
    x=9-4
    x=5

  • Eliminación de paréntesis

    \left. \begin{array}{rcl} 3(x+4) & = & 2(2y+3) \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}.
    \left. \begin{array}{rcl} 3x+12 & = & 4y+6 \\ 6x-4 & = & 4y-4 \end{array} \right\}.

    \left. \begin{array}{rcl} 3x-4y & = & -6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}.
  • Esta es la forma “standard”. Lo resolvemos por reducción multiplicando por -1 la primera ecuación y sumandolas a continuación:
    \left. \begin{array}{rcl} -3x+4y & = & 6 \\ 6x-4y & = & 0 \end{array} \right\}.

    3x=6
    x= 2
    Sustituimos en la 1ª ecuación el valor de x
    3 \cdot 2-4y=-6
    6-4y=-6
    -4y=-12
    y= 3

  • Sistemas con paréntesis y denominadores

    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{2(x-3)}{3}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & 1 \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+2(3-y)=0 \end{array} \right\}
    Eliminamos primero los denominadores:
    \left. \begin{array}{rcl} \dfrac{4(x-3)}{6}-\dfrac{3(y-2)}{6} & = & \dfrac{6}{6} \\ \\ \dfrac{x-2}{2}+\dfrac{4(3-y)}{2}=0 \end{array} \right \}
    \left. \begin{array}{rcl} 4(x-3)-3(y-2) & = & 6 \\ x-2+4(3-y)=0 \end{array} \right \}
    Eliminamos parénteis:
    \left. \begin{array}{rcl} 4x-12-3y+6 & = & 6 \\ x-2+12-4y=0 \end{array} \right \}Transponemos términos y agrupamos y tenemos el sistema en la forma “standard”:

    \left. \begin{array}{rcl} 4x-3y & = & 12 \\ x-4y & = & -10 \end{array} \right \}

    Lo resolvemos por sustitcuión. Despejamos la x de la 2ª ecuación:
    x=4y-10
    Sustituimos en la 1ª ecuación: 4(4y-10)-3y=12
    16y -40-3y=12
    13y= 52
    y= 4
    Sustituyendo en x=4y-10 tenemos que x=4 \cdot 4 -10
    x=6

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Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Métodos de resolución

Posted by wgs84 en Viernes, 28 marzo, 2008

  • Método de sustitución

    Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes 1 o -1.
    \left.\begin{array}{rcl} 2x+y & = & 7 \\ 3x-2y & = & 21 \end{array} \right\}

    1. Despejamos la y de la primera ecuación: y=7-2x
    2. Sustituimos en la otra ecuaciñon:3x-2(7-2x)=21
    3. Resolvemos la ecuacón resultante:
      3x-14+4x=21
      7x=35
      x= 5
    4. Para averiguar el valor de y sustituimos el valor de x=5 en la expresión obtenida el el paso 1
      y= 7-2 \cdot 5
      y=-3
  • Método de igualación

    \left.\begin{array}{rcl} 4x-3y & = & -2 \\ 5x+2y & = & 9 \end{array} \right\}

    1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones
      x=\dfrac{3y-2}{4}
      x=\dfrac{9-2y}{5}
    2. Igualamos las dos expresiones anteriores
      \dfrac{3y-2}{4}=\dfrac{9-2y}{5}
    3. Resolvemos la ecuación resultante
      15y-10=36-8y
      23y=46
      y=2
    4. Para calcular el valor de x sustituimos y=2 en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1
      x= \dfrac{3 \cdot 2 -2}{4}=1
  • Método de reducción

    Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
    El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
    \left.\begin{array}{rcl} 2x+5y & = & -3 \\ -3x+4y & = & -7 \end{array} \right\}

    1. Vamos a eliminar la x. Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
      \left.\begin{array}{rcl} 6x+15y & = & -9 \\ -6x+8y & = & -14 \end{array} \right\}
    2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
      23y=-23
      y=-1
    3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
      2x +5 \cdot (-1)= -3
      2x=2
      x= 1

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Resolución de ecuaciones de primer grado mediante las propiedades de las igualdades

Posted by wgs84 en Jueves, 27 marzo, 2008

  • ECUACIONES SIN PARÉNTESIS Y SIN DENOMINADORES

    Vamos a resolver una ecuación sencilla: 2x-1=5x-3

    1)Transposicón de términos.

    Se trata de dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro. Queremos que 5x desaparezca del miembro izquierdo y aparezca en el derecho. Para eso usamos la propiedad de la suma y sumamos a ambos lados el opuesto de 5x que es -5x:

    2x-1-5x=5x-5x-3

    Como la suma de los opuestos es el elemento neutro , es decir, “cero” , 5x desaparece y aparece en el otro miembro con el signo cambiado

    2x-1-5x=-3

    Repetimos el proceso con -1

    2x-5x-1+1=-3+1

    2x-5x=-3+1

    Si te fijas el resultado es el mismo que con 5x. La aplicación de la propiedad de la suma permite pasar un término de un miembro a otro cambiandole el signo,

    2) Agrupamos términos semejantes (sumar las x con las x y los números con los números)

    -3x=-2

    3)Despejamos x.Para dejar sóla la x en el miembro izquierdo vamos a utilizar la propiedad del producto. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por el inverso del coeficiente de la x. En este caso por el inverso de -3 que es - \dfrac{1}{3}.

    -\dfrac{1}{3} \cdot (-3)x=-2 \cdot \left (- \dfrac{1}{3} \right )

    Operamos y obtenemos la solución:

    x= \dfrac{-2}{-3}

    Si te fijas el -3 que esta multiplicando ha pasado al otro miembro dividiendo.

    x= \dfrac{2}{3}

    Todo esto se traduce en las conocida norma:

    Todo lo que esta sumando pasa al otro lado restando y viceversa

    Todo lo que está multiplicando a todo un miembro pasa al otro lado dividiendo y viceversa

  • ECUACIONES CON PARÉNTESIS

    Si la ecuación tiene paréntesis unicamente hay que añadir un paso a lo anterior: la eliminación de parénteis mediante la propiedad distributiva .

    2-3(x+1)+2(2-3x)=5-(4x-3)

    1)Eliminamos paréntesis:

    2-3x-3+4-6x=5-4x+3

    2)Transposición de términos

    -3x-6x+4x=5+3-2-4+3

    3)Agrupamos términos semejantes

    -5x=5

    4)Despejamos la x

    x= -\dfrac{5}{5}=-1

  • ECUACIONES CON DENOMINADORES

    Cuando en las ecuaciones aparecen denominadores lo primero que hacemos e s sacar común denominador para poder sumar/restar los numeradores.

    \dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{5}=\dfrac{3x}{4} +\dfrac{1}{2}

    \dfrac{10x}{20}-\dfrac{12}{20}=\dfrac{15x}{20}+\dfrac{10}{20}

    \dfrac{10x-12}{20}= \dfrac{15x+10}{20}

    Vamos a eliminar los denominadores usando la propiedad del producto. Multiplicamos ambos términos por el común denominador que es 20.

    20 \cdot \left ( \dfrac{10x-12}{20} \right )= 20 \cdot \left( \dfrac{15x+10}{20} \right )

    10x-12=15x+10

    Una vez eleiminados los denominadores se resuleve como los casos anteriores

    10x-15x=10+12

    -5x=22

    x= -\dfrac{22}{5}

Ejercicos propuesto:
Resuelve usando las propiedades de las igualdades la ecuación: \dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+2}{4}

Resolución :

  1. Sacamos común denominador en las fracciones que intervienen:
    \dfrac{6(x-1)}{12} -\dfrac{4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}
    \dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12}=\dfrac{3(x+2)}{12}
  2. Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el común denominador 12:
    12 \cdot \left (\dfrac{6(x-1)-4(2x-3)}{12} \right )= 12 \cdot \left (\dfrac{3(x+2)}{12} \right )
    6(x-1)-4(2x-3)=3(x+2)
  3. Eliminamos paréntesis:
    6x-6-8x+12=3x+6
  4. Transponemos términos mediante la propiedad de la suma:
    6x-8x-3x+12-12=3x-3x+6-12
    6x-8x-3x=6-12
  5. Agrupamos términos semejantes:
    -5x=-6
  6. Despejamos la x multiplicando ambos términos por -\dfrac{1}{5}, el inverso de -5:
    -\dfrac{1}{5} \cdot (-5x)=-6 \cdot \left (-\dfrac{1}{5} \right )
  7. La solución es x=\dfrac{6}{5}

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Sistemas de ecuaciones. Concepto de solución

Posted by wgs84 en Jueves, 27 marzo, 2008

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las que vamos a buscar una solución común.
Los sistemas los vamos a clasificar en lineales y no linelaes. Los sistemas de ecuaciones lineal son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación gráfica es una linea recta.

Vamos a explicar el concepto de solución de un sistema. Para ello vamos a utilizar un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incognitas.
\left. \begin{array}{rcl}  2x+y & = & 5  \\ x+y & = & 3 \end{array} \right\}
La pareja de valores (x, y)=(1, 0) no es solución dels sistema al sustituir dichos valores en el sistema las igualdades aritméticas que resultan son falsas. (Las ecuaciones no quedan satisfechas 😦 )
2 \cdot 1+ 0 \neq 5 y 1+0 \neq 3.

La pareja de valores ( 2, 1) sí que es solución del sistema porque “satisface” todas las ecuaciones 🙂
2 \cdot 2 +1= 5 y 2 +1 =3.

Para buscar las soluciones de los sistemas aplicaremos distintos métodos de resolución

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