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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Archive for 12 abril 2008

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.Método de doble sustitución

Posted by wgs84 en Sábado, 12 abril, 2008

\left. \begin{array}{rcl}   x+y+z & = & 4  \\ x-2y+3z & = & 13  \\ x+3y+4z & = & 11 \end{array} \right\}

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
x=4-y-z

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:
\left. \begin{array}{rcl} 4-y-z-2y+3z & = & 13 \\4-y-z+3y+4z & = & 11 \end{array} \right \}
\left. \begin{array}{rcl} -3y+2z & = & 9 \\ 2y +3z & = & 7 \end{array} \right\}
Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:
z=\dfrac{9+3y}{2 }=\dfrac{7-2y}{3}
27+9y=14-4y
13 y = -13
y=-1
z=\dfrac{9+3 \cdot (-1)}{2}=3
Sustituimos los dos valores obtenidos en x= 4-y-z
x= 4+1-3=2

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Racionalización de denominadores

Posted by wgs84 en Sábado, 5 abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

  1. Un sólo radical de índice dos en el denominador

    Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
    \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}
    Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
    \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}
    Veamos algunos ejemplos más:

    • \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}
    • \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}
    • \dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}. Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
  2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador

    \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}
    • \dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{x}. Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
    • \dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}. Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
    • Ejercicio propuesto: \dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}
  3. Racionalización de binomios irracionales de índice 2

    binomios irracionales de índice 2: 1-\sqrt{2}, \sqrt{5}+7, \sqrt{7} -\sqrt{5}
    La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones a+b y a-b son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

    \dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
    Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
    \dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)
    • \dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2-\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2-\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2-\sqrt{10}}{3}
    • \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}
    • \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

      Y ya estamos en un caso con un binomio

      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
      \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

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