El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Racionalización de denominadores

Publicado por wgs84 en Sábado, 5 abril, 2008

Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar 3 casos

  1. Un sólo radical de índice dos en el denominador

    Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical:
    \dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}
    Multiplicando los radicales de abajo y simplificando:
    \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}
    Veamos algunos ejemplos más:

    • \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}
    • \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}=\dfrac{x^2 \sqrt{x}}{x}= x \sqrt{x}
    • \dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^3}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^4 b^2 b}}=\dfrac{2a}{a^2 b \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab \sqrt{b} \sqrt{b}}=\dfrac{2 \sqrt{b}}{ab^2}. Aquí en primer lugar se han extraido del radical todos los factores posibles y después se ha racionalizado.
  2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador

    \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}= \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{m-n}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a \sqrt[a]{b^{m-n}}}{b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{5}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}}=\dfrac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}
    • \dfrac{ x}{\sqrt[5]{x^7}}=\dfrac{x}{\sqrt[5]{x^5 \cdot x^2}}=\dfrac{x}{ x \cdot \sqrt[5]{x^2}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}}=\dfrac{\sqrt[5]{x^3}}{x}. Primero se extraen todos los factores posibles, se simplifica la fracción si es necesario y por último se racionaliza.
    • \dfrac{3}{\sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^3 y} \cdot \sqrt[4]{x y^3}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{\sqrt[4]{x^4 y^4}}=\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x^3 y}}{x y}. Fijate que cuando hay varios factores en el radicando se trata cada uno de forma independiente.
    • Ejercicio propuesto: \dfrac{2 a^2}{4 \sqrt[3]{2a b^2 c^6}}
  3. Racionalización de binomios irracionales de índice 2

    binomios irracionales de índice 2: 1-\sqrt{2}, \sqrt{5}+7, \sqrt{7} -\sqrt{5}
    La eliminación de radicales se hace utilizando las propiedades de las expresiones conjugadas. Las expresiones a+b y a-b son expresiones conjugas. Si las multiplicamos se cumple (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Si os fijais, si a o b son radicales de índice 2 los radicales desaparecerán al quedar elevados al cuadrado.

    \dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
    Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador:
    \dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{\left (\sqrt{a}-\sqrt{b} \right ) \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right ) }=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{ \left ( \sqrt{a} \right )^2 -\left ( \sqrt{b} \right )^2}=\dfrac{2 \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )}{a-b}
    Ejemplos:

    • \dfrac{3}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{ (\sqrt {5} )^2-2^2}=\dfrac{3 \cdot ( \sqrt{5}+2)}{5-4}=3 \cdot ( \sqrt{5}+2)
    • \dfrac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\dfrac{ \sqrt{2} (\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{5})}=\dfrac {(\sqrt{2})^2-\sqrt{10}}{2-5}=\dfrac {2-\sqrt{10}}{-3}=-\dfrac {2-\sqrt{10}}{3}
    • \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\dfrac{3-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2}{3-2}=5-2 \sqrt{6}
    • \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

      Y ya estamos en un caso con un binomio

      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
      \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
      \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

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104 comentarios hacia “Racionalización de denominadores”

  1. noe escribió

    buena onda compa
    me ahorraste un resto de trabajo
    mis respetos
    att noe noe noe noe

  2. Alexis escribió

    Gracias Ed!

  3. rosana escribió

    no encontre lo que necesitava que desepcion

  4. Guillermo escribió

    GRACIAS!!!!
    ME RE-SIRVIÓ LA TEORIA. SOS UN CAPO GRACIAS ED

  5. Coni escribió

    Un genio verdaderamente… estaba traumada con este tema… Lo hiciste muy simple!!!!

  6. Diana escribió

    Necesito resolver el siguiente ejercicio:
    ____2____
    ³√2x²y

  7. wgs84 escribió

    \dfrac{2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} }{\sqrt[3]{2 x^2 y} \sqrt[3]{2^2 x y^2}}=
    \dfrac {2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} } {\sqrt[3]{2^3 x^3 y^3}}=\dfrac {2 \sqrt[3]{2^2 x y^2} }{2xy}=
    \dfrac {\sqrt[3]{2^2 x y^2} }{xy}

  8. Diana escribió

    Muchas Gracias por tu ayuda!

    Este tema me tiene muy confundida!

  9. yadira escribió

    ___x___
    2-√(x+4)

    ____2___
    √(x-2)

    en los dos problemas la raiz abarca lo que esta entre parentesis

  10. wgs84 escribió

    \dfrac{x(2 + \sqrt{x+4})}{(2+\sqrt{x+4})(2-\sqrt{x+4})}=\dfrac{x(2+ \sqrt{x+4})}{4-(x+4)}=\dfrac{x(2+ \sqrt{x+4})}{-x}=-2- \sqrt{x+4}
    ————-
    \dfrac{2 \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} \sqrt{x-2}}=\dfrac{2 \sqrt{x-2}}{x-2}

  11. Yadira escribió

    Ok muchas gracias por ahi te voy a estar molestando,,.,. jijiji

  12. lety escribió

    hola este tema casi no le entiendo pero gracias por tu ayuda chido………..

  13. inecuacion escribió

    De paaana que han salvado con esto. Busque en 2155132 libros de matematica y no lograba entender!

    Grx!

  14. luryin escribió

    que bien me ayudaron con mi trabajo

  15. keila escribió

    no lo encontre que pena

  16. jonathan escribió

    creo que le falta profundisarse mas en el tema

  17. Ignacio escribió

    Muchas gracias, siempre viene bien este tipo de cosas. Saludos!

  18. fauxto escribió

    Terrible de fácil no hay porque complicarse ▄”6•lGS65•6~32s65♦6Î8dT4V4é6╩¼L87.8•68J68•86♦.»86•68•68•68
    XD

  19. javi escribió

    la verdad no entiendo nada, =(

  20. eitolo escribió

    el segundo ejercicio de “Con un radical de índice cualquiera en el denominador” está malo, por vafor corrinjanlo porque enves de ayudar a a confundir a muchos. el resultado real es raiz cuadrada de (5x^3)/x

  21. wgs84 escribió

    Me parece que estas equivocado

  22. dario escribió

    muy bueno e interesante. podrias haberte ahorrado el paso en algunos casos y haber puesto drectamente que se elevaba a la 2 pero igual muy bien. me sirvio bastante y mucho mejor de lo que explica mi profe XD

  23. mari escribió

    muchas gracias..me fue mui util!!

  24. Hernan escribió

    Que pasa si en el denominador hay trinomios?

  25. sami escribió

    hola los quiero miuchiiiiiiis

  26. GABRIELA escribió

    Hola
    Sacame de una duda, con el 2°ejercicio de ejemplo en Racionalización de binomios irracionales de índice 2,
    en el numerador tenés Raiz de 2 por ( raiz de 2 menos raiz de 5)
    lo que nos lleva en el siguiente paso a raiz de 2 al cuadrado y… aqui viene la duda por que decis que es MAS y no MENOS raiz de 10?
    que regla o propiedad me estoy olvidando?
    DESDE YA GRACIAS!!

    ERA UN ERROR MIO (ED)

  27. wgs84 escribió

    \dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{ (\sqrt{5}+\sqrt{2} )^2-(\sqrt{3})^2}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{5 +2 \sqrt{10} +2-3}=\dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{10}+4}

    Y ya estamos en un caso con un binomio

    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{(2 \sqrt{10}-4)(2 \sqrt{10}+4)}
    \dfrac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}) (2 \sqrt{10}-4)}{40-16}=
    \dfrac{1}{8} (\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{7}) (2 \sqrt{10}-4)

  28. wgs84 escribió

    Era un error, ya está corregido y gracias

  29. jhonatan gonazalez escribió

    este tema es muy dificil y necesito mas teorias sobre el tema por favo att: danilo

  30. mishel escribió

    tambien qiero saber el proceso de cuando hay 3y4 sumandos que son radicales

  31. shirley escribió

    ????????????’

  32. Santiago escribió

    daaaa … deberias usar numeros en las explicacionos.. yo entiendo mas…

  33. magolin escribió

    parce sos una bestia me ahorraste full consulta se te agradece sos una maquina y los que digan lo contrario tan locos

  34. Maariinaa :D escribió

    MuuChaas graciias :)
    pero buscaba otra cosa :S
    de todos modos me ha servido un poco :)
    Graciaas..!! :D

  35. ale escribió

    bue… ta bien

    pero ya sabia eso

    buscaba algo mas avanzado

    pero esta bn

    gracias…

  36. Joa escribió

    Gracias me re ayudo…..

  37. ABJ escribió

    BUENO DE TODA MANERA NO ENTIENDO NA……….ESO DE MATEMATICA NO QUIEN LO CREO

  38. Joseph escribió

    Exelente

  39. Joseph escribió

    Muy buena página

  40. melisa escribió

    no me sirvio para nada se supone que eso es racionalizar denominadores no me ayudo en nada con mi tarea

  41. Angel escribió

    Gracias me ayudo en mi trabajo de racionalizacion

  42. jozhep escribió

    gaxiasss me sirvioo muxooo esaaa bainaa

  43. maryory lisset escribió

    la verdad que lo agadesco mucho pues esto porque me lo hizo todo mas facil de entender thank you……..

  44. lucila santana escribió

    no entiendo ni papa tener mas teoria

  45. marcela escribió

    gracias……… super didactico, me encanto,

  46. Wena Men, Esta Super Resumido, lo has hecho mas simPle . Mis ResPeTozZ…!!!

  47. Oe Men como Te digo … esta Chevere Y super Entendible :D :). Te agradescon MuXo … MIs ResPeTosS :O :O …Gracias :P !!!

  48. emanuel escribió

    ME RR AYUDÓ PARA MI EVALUACION DE MATEMATICAS. TE FELICITO POR TU TRABAJO. GRACIASSS!!!!

  49. maria candia escribió

    la verdad muy bueno nos sirvio de mucho…

  50. tati escribió

    graciaaaaaaaaaaas me salvaste espero rendir bien mañana :D

  51. Rodrigo escribió

    Muy util che,, graxx porq me sirvio de muchoo,, mañana tengo examen y no entendia nada..!

  52. rodrigo escribió

    no entiendo! u.u jum!

  53. yeison escribió

    no pues gracias de verda eso es una ayuda que nos sirve mucho

  54. robert escribió

    hola ed, deseaba hacerte una consulta sobre el ejemplo que has hecho cuando en el denominador hay mas de dos raices.La teoria dice que se debe multiplicar por el conjugado del denominador y queria saber cuando tenes mas de tres o mas terminos , a quien le cambias el signo??? siempre al ultimo termino??? Gracias..

  55. wgs84 escribió

    No tiene por qué ser siempre el último término así pero una buena opción

  56. Prof. José Yovany Cañar escribió

    buenos ejercicios

  57. russel escribió

    buena

  58. diana escribió

    me parece que falta profundizacion no es buena l explicacion

  59. shark escribió

    le falta mas profundizacion

  60. Noelia escribió

    Muy buena explicación pero falta profundizar más aún,cUando en el denominador hay más de un término racionaL,CON ÍNDICES MAYORES A DOS…

  61. ...---mika_:D escribió

    hola la verdad muy buena explicacion xq la loka de matematik ni ella se entiende jejejej

  62. irene escribió

    en menos de un minuto lo comprendi, es justo lo que buscaba, muy bien explicado. gracias! un diez

  63. gabriela escribió

    garcias,me sirvio muchisimo,saludos desde san rafael, mendoza, argentina!!

  64. ariel escribió

    muchas gracias, me sirvió mucho.
    me gustaria tener un compañero como vos en el banco de a lado jaja..

  65. jaki escribió

    no entedi un choto por ke no explicas mejor paso a pasooooo

  66. Armando escribió

    Thanks very good. A good work! Please needs more information. Give me more please. Congratulations.

  67. J.J escribió

    NO VPAE NO ENCONTRE NAITA PERO GRACIAS POR EL INTENTO:-/ :* :D :8)

  68. edgar escribió

    tema divertido me ofienden estos problemas

  69. nicolas escribió

    grasias amigo me ayudaste muchisimo esta muy bien redactado

  70. mica escribió

    me re sirvio muchas grasias !!!!!!!!! :)

  71. taty ariza oviedo escribió

    esta muy buena la pagina gracias me saco muchas dudas

  72. Joakox escribió

    Gracias, me soluciono muchas dudas =)!

  73. joaquin escribió

    Muchas gracias, siempre viene bien este tipo de cosas. Saludos!

  74. yuli escribió

    no encontre lo que queria gracias x nada

  75. nicolas escribió

    No entiendooooooooooooo un chotoooooooooooooooooooooo

  76. Cinthia escribió

    de los 3 casos.. el segundo realmente no lo entiendo.. no se de donde salen los indices y exponentes en el radical del numerador, alguien me puede ayudar?? =( waaa.. y el 3ro me mato pero creo que no necesito saberlo fiuuu jeje

  77. Cinthia escribió

    hay mas que estos 3 casos??

  78. Cinthia escribió

    estoy re densa.. pero un poquitito mas de teoria en los pasos me hubiera venido al pelo xD jeje… gracias igual me sirve =)… voy a estar esperando que alguien me ayude AAAAAAAAAA jaja

  79. carlos samaniego escribió

    esta complicado pai

  80. ariel escribió

    buenisiimoo, q buena onda !

  81. maiker sanchez escribió

    graxiias..” Hermano!!

  82. martin escribió

    no encontre lo que buscaba que desepcion

  83. william escribió

    me ayudo mucho

  84. horacio,profe recien recibido escribió

    ME PARECE QUE FALTA EL CASO,DONDE EL DIVISOR,ES UNA SUMA O DIFERENCIA DE RAICES CUADRATICAS. ESTA BUENO EL ARTUCULO. AH,Y EL CASO DONDE UN RADICAL DE INDICE CUALQUIERA EN EL DENOMINADOR,HUBO UN ERROR,EN UN EJERCICIO,A MI MANERA DE RESOLVER. GRACIAS,ES UTIL EL MATERIAL

  85. horacio,profe recien recibido escribió

    perdon,no dije nada!!!!!!!!

  86. Anto escribió

    Gracias por todo! Me sirvio de mucho :)

  87. angel gabriel escribió

    no encontre lo que buscaba

  88. angel eaño escribió

    no encontre lo que estaba buscando

  89. Si te fijas en “2. Con un radical de índice cualquiera en el denominador”, das 3 ejemplos. El segundo ejemplo esta mal al final, porque multiplicas el numerador por la raiz de indice 5, con x elevado al cuadrado(2), y es elevado al cubo(3), como lo multiplicas debajo correctamente.
    Otra consulta, soy programador, y veo q usas algun plugin para generar imagenes con fracciones, raices y exponentes. Me podrias decir q usas? seguramente algun plugin para wordpress no?.

  90. wgs84 escribió

    Gracias. Es un plugin de Latex propio de wordpress

  91. GRACIAS AHORA PUEDO ESTUDIAR Y ALIMENTAR A MI FAMILIA !!!

  92. kervin jose viera leon escribió

    gracias me ayudo bastante en mi tarea

  93. lola escribió

    no encontré lo necesitaba

  94. Prinnzeziiita escribió

    aaawww graziiazz me haziia faltaaa

  95. johana gabriela escribió

    gracias

  96. johana gabriela escribió

    me ayudo mucho aser my deber

  97. enzo escribió

    gracia me sirvio

  98. rofoch escribió

    ta bueno

  99. jasmin escribió

    gracias por la ayuda, me sirvio bastante

  100. katerinne escribió

    gracias me sirvio de mucha ayuda……. para la clase de matematicas que tengo esta semana….
    y ps estamos viendo recionalizacion y lo que acabo de ver en esta pagina me ayuda demaciado

  101. adrian escribió

    ni idea

  102. nancy escribió

    gracias :)

  103. mariia escribió

    no encontre lo q queriia.. :P

  104. JAZMIN RAMIRES escribió

    ES DIVERTIDO JUGAR CON LA RASONALIZACION X Q ME ENSEÑA MUCHO

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