El blog de Ed

Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Un problema interesante sobre un rectángulo.

Posted by wgs84 en Sábado, 3 mayo, 2008


Determine el area y las coordenadas de los vertices de le rectangulo si se sabe que:

  1. su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas
  2. una de las diagonales esta sobre la recta de ecuacion 3y=4x y tiene una longitud de 10 unidades.
  3. uno de los lados esta contenido en una recta de pendiente -2

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será (x_A , y_A) y el otro (x_B , y_B).

Como el punto media es 0:
\dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B (1)
\dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B (2)

La longitud de la diagonal es 10:
\sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25

Como una diagonal está sobre la recta y= \dfrac{4x}{3}
x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3
Si x= 3 \rightarrow y= 4
Si x= -3 \rightarrow y= -4
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: r_1:y-4=-2(x-3)
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: r_2:y+4=-2(x+3)

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a r_1 que pasa por (3, 4): y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)
2)Intersección de está recta con r_2:y+4=-2(x+3)

\left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}
La solución es (- 5, 0 )

3)recta perpendicular a r_2 que pasa por (-3, -4): y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)
4)Intersección de está recta con r_1: y-4=-2(x-3)
\left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}
La solución del sistema es (5, 0)

Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen

Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

\sqrt {(5-3)^2+(0-4)^2} \cdot \sqrt{ (3+5)^2+ (4-0)^2}=40

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
A %d blogueros les gusta esto: