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Problemas de progresiones aritméticas I

Posted by wgs84 en Viernes, 9 mayo, 2008

1) El problema de los tres términos

Calcula tres términos de una P.A tales que su suma sea 27 y su producto 693

El truco consiste en decir que el término central es “a” y la diferencia “d”. De este modo la sucesión queda así: a-d, a, a+d
Teniendo en cuenta la primera condición; a-d+a+a+d=27 .Por lo que 3a= 27 \rightarrow a=9.
La segunda condicón da lugar a la ecuación: (a-d) \cdot a \cdot (a+d)= 693
Sustituyendo a=9 queda:
(9-d) 9(9+d)=693
(9-d)(9+d)=77
81-d^2=77
d^2=4 \rightarrow d= \pm 2
La números buscados son : 7,9 ,11 ó 11,9 , 7

2)Los términos tercero y séptimo de una P.A suman 46 y la suma del segundo y el cuarto es 26. Calcula dischos términos

El enunciado da lugar al sistema:
\left. \begin{array}{rcl}  a_3+a_7  = 46 \\ a_2+a_4  =  26 \end{array} \right\}.
Utilizaremos la fómula del término general (a_n=a_1+(n-1)d) para reducir las incógnitas a dos:
\left. \begin{array}{rcl}  a_1+2d+a_1+6d=46 \\ a_1+d+a_1+3d=26 \end{array} \right\}.
\left. \begin{array}{rcl}  2a_1+8d=46 \\ 2a_1+4d=26 \end{array} \right\}.

Restando las dos ecuaciones queda 4d=20\rightarrow d= 5
Sustituyo en la segunda ecuación del sistema: 2a_1+20=26 \rightarrow a_1=3 y obtenmos a_1

El término general será :a_n=3+(n-1)5=5n-2
a_2= 8; a_3=13; a_4=18; y a_7=33

3) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.

Los lados en P.A tendrán la forma a, a+3, a+6. Como son los lados de un trinángulo rectángulo cumplirán el teorema de Pitágoras:
(a+6)^2=(a+3)^2+a^2
a+12a+36=a^2+6a+9+a^2 \rightarrow a^2-6a-27=0.
LKasa soluciones de esta ecuación son a= 9 y a= -3. Como se trata de los lados de un triángulo (longitud siempre positiva) nos quedamos con a= 9 y los lados del triangulo medirán 9, 12, 15.

4) Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.

Los tres números en P.A serán a, a+d, a+2d. Si los aumentamos en 5, 4 y 7 respectivamente quedan así: a+5, a+d+4, a+2d+7.
Si establecemos la proporcionalidad respecto a 5, 6 y 9 nos obtenemos una serie de tres razones de las sacaremos 2 proporciones para montar un sistema y calcular “a” y “d”.
\dfrac{a+5}{5}=\dfrac{a+d+4}{6}=\dfrac{a+2d+7}{9}.

Multiplicamos en cruz la 1ª y la 2ª y la 2ª con la tercera:
\left. \begin{array}{rcl}  6a+30=5a+5d+20 \\ 9a+9d+36=6a+12d+42 \end{array} \right\}.
Transponiendo y agrupando términos:
\left. \begin{array}{rcl}  a-5d=-10 \\ 3a-3d=6 \end{array} \right\}.
Simplificando la segunda ecuación
\left. \begin{array}{rcl}  a-5d=-10 \\a-d= 2 \end{array} \right\}.

Si restamos las ecuaciones (reducción) nos queda que d= 3
Sustituimos en la 2ª ecuación a-3=2 \rightarrow a=5
Así pues los números buscados son: 5, 8 , 11

5) Interpolación de medios aritméticos o diferenciales

Interpola 4 medios aritméticos o diferenciales en tre los números 8 y 18

Interpolar 4 medios diferenciales entre 8 y 18 es formar la siguiente P.A: 8, a_2, a_3, a_4, a_5, 18
Donde a_2, a_3, a_4, a_5 son los cuatro números a interpolar, 8= a_1 y 18=a_6.

Usando la expresión del término general de una P.A tenemos que 18=8+5d . De donde d=2. Y ya podemos formar la P.A: 8, 10, 12, 14, 16, 18.

6) Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.

Para facilitar la resolucion del sistema utilizamos el mismo truco que en el problema 1. Los números en cuestión serán: a-d, a, a+d, a+2d

El sistema de ecuaciones no lineal nos queda:

\left. \begin{array}{rcl}a-d+a+a+d+a+2d=22 \\ (a-d)^2+a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2= 166 \end{array} \right\}.

Agrupando en la primera ecuación 4a+2d=22 \rightarrow 2a+d= 11

d=11-2a. Sustituimos en la ecuación no lineal:

(3a-11)^2+a^2+(11-a)^2+(22-3a)^2=166

Desarrollando y agrupando: 20a^2-220a+560=0.

Simplificando a^2-11a+28. Cuyas soluciones son: a=7 y a=4.

Si a= 7 entonces d=11-2 \cdot 7=-3 y la P.A 10, 7, 4, 1

Si a= 4 entonces d=11-2 \cdot 4=3 y la P.A 1, 4, 7, 10 como debía de ser

2 comentarios to “Problemas de progresiones aritméticas I”

  1. Ricardo said

    Excelente material de ejercicios resueltos de progresiones aritméticas, sirve para estudiantes de secundaria que estén cursando grado noveno de bachillerato por ejemplo en Colombia. Realmente tiene una buena explicación sobre problemas verbales de progresiones aritméticas, donde explican la manera de resolver con diferentes temas relacionados con el algebra elemental.

  2. Matesfacil said

    Ejercicios resueltos de progresiones

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