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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Problemas de progresiones aritméticas II

Posted by wgs84 en Sábado, 10 mayo, 2008

1) Calcula la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19…

Es una P.A en la que a_1=3 y d=4. su término general será a_n=3+(n-1)4.

Para calcular lo que nos piden usaremos la fórmula de la suma S_{20}=\dfrac{3+a_{20}}{2} \cdot 20.

Obtenemos a_{20} a partir del término general a_{20}=3+19 \cdot 4=79
S_{20}=\dfrac{3+79}{2} \cdot 20=820

2) Calcular la suma de los 30 primeros términos de una sucesión en la que a7=17 y a2=2.

\dfrac{a_1+a_{30}}{2} \cdot 30.

Obtenemos el término general substituyendo los datos del problema en la fórmula del término general:
\left. \begin{array}{rcl} 17=a_1+6d \\ 2=a_1+d \end{array} \right\}

Restando las dos ecuaciones nos queda 15=5d\rightarrow d= 3
Sustituimos en la 2ª ecuación para obtener y 2=a_1+3 \rightarrow a_1=-1.

El término general de la P.A que no ocupa es: a_n=-1+(n-1)3.
Calculamos a30 a_{30}=-1+29 \cdot 3 \rightarrow a_{30}=86.

Así pues S_{30}=\dfrac{-1+86}{2} \cdot 30=1275

3) Cuantos términos hay que escoger en una P.A en la que la diferencia es 7 y el primer término 8 para que su suma sea 30690

El término general de la P.A es 8+(n-1)7=7n+1.

La incognita es “n” (número de términos a sumar o posición del último término).
30690=\dfrac{8+a_n}{2} \cdot n.
Sustituimos an por el término general.
30690=\dfrac{8+7n+1}{2} \cdot n.
61380=7n^2+9n
0=7n^2+9n-61380.
De las soluciones de la ecuación escogemos la que es un número natural maor que cero: 93.

4) Calcula la suma de los múltiplos de 3 menores de 1000

Los múltiplos de 1000 forman una P.A cuyo primer término es 3 y la diferencia es 3. a_n=3n

El múltiplo de tres más cercano a 1000 es 999 y la posición que ocupa es la 333 999=3n\rightarrow n=333. Así pues hemos de sumar 333 términos:
S_{333}=\dfrac{3+999}{2} \cdot 333=166833.

5) Calcula la suma de los múltiplos de 5 mayores que 100 y menores que 1000.

Esos múltiplos de 5 forman un P. A en la el primer término es 105 y el último 995. Para averiguar cuántos términos hay. Introducimos 995 en el término general de la P.A:
995= 105+(n-1)5. De aquí n= 161

S_{161}=\dfrac{105+995}{2} \cdot 161=88550

6) Calcula a10 en una P.a en la que el primer término es 1 y la suma de los 40 primeros términos es 140 veces el sexto término.

La ecuación que resuleve el problema es S_40=140a_6.

\dfrac{a_1+a_{40}}{2} \cdot 40=140a_6

Sustituimos los términos a40 y a6 por el término general y a1 por su valor 1.

\dfrac{1+1+39d}{2} \cdot 40=140(1+5d)
Simplificamos: 2+39d=7(1+5d)
2+39d=7+35d \rightarrow d=\dfrac{5}{4}

a_{10}=1+9 \cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{49}{4}

7) La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Halla los términos de la progresión.

Las ecuaciones que nos van a permitir resolver el problema son:

1) 176=\dfrac{a_1+a_{11}}{2} \cdot 11
2) a_{11}-a_1=30.

Como a_{11}=a_1+10d nos queda el sistema:
\left. \begin{array}{rcl} 16=\dfrac{a_1+a_1+10d}{2} \\ a_1 +10d -a_1=30 \end{array} \right\}

\left. \begin{array}{rcl} 16=a_1 +5d \\ 10d=30 \end{array} \right\}

d= 3 y a_1=1
La progresión es: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

Una respuesta to “Problemas de progresiones aritméticas II”

  1. JESSICA said

    MUY BUENOS SUS EJERCICIOS DE MATEMATICAS ME AYUDARON MUCHO

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