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Problemas de progresiones aritméticas III

Posted by wgs84 en Domingo, 11 mayo, 2008

En este apartado colocaremos problemas con enunciado “real”

1) Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?

El número de soldados que hay en cada fila es el término de la sucesión: 1, 2,3, 4,...... Se trata de una P.A con a_1=1 y con d=1, por los que su término general es a_n=n.

5050 es la suma de los soldados ha habrá en n filas. Por lo que: 5050=\dfrac{1+a_n}{2} \cdot n
Sustituimos el término general por n: 5050=\dfrac{1+n}{2} \cdot n
10100=n+n^2
Las soluciones de esta ecuación son n=100 y n=-101. Como n ha de ser un número natural mayor que cero la respuesta correcta es 100 filas.

2) Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?

El tiempo de entrenamiento es una P.A en la que a_1=60 y d=10 todo en minutos. su término general es: a_n=60+(n-1) \cdot 10.

Al cabo de 15 ddías deberá entrenar a_{15}=60+14 \cdot 10=200 minutos.

En un mes habrá entrenado S_{30}=\dfrac{60+a_{30}}{2} \cdot 30
Calculamos a30. a_{30}=60+29 \cdot 10 = 350 minutos.

En un més S_{30}=\dfrac{60+350}{2} \cdot 30= 6150 minutos.

3) En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?

Las distancias de las filas de butacas a la pantalla forman una P.A donde el número de orden “n” es el número de fila. Por lo tanto los datos que nos dan son:

  1. a_1=86 dm
  2. a_6=134 dm

Nos preguntan en número de fila “n” cuya distnacia a la pantalla es a_n=230 decimetros.

230=86+(n-1)d. (1)

Obtenemos d a partir del término sexto: 134= 86+5d \rightarrow d=\dfrac{48}{5}
Sustituyendo en (1): 230=86 +(n-1) \cdot \dfrac{48}{5}. De donde n= 16

4) Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos

Vamos a considerar que el mayor es a_4.

\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_2+a_3+a_4=32 \\ a_4-a_1= 6 \end{array} \right\}

Usando el término general nos queda:

\left. \begin{array}{rcl} a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=32 \\ a_1+3d-a_1= 6 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 4a_1+6d=32 \\ 3d= 6 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3d=16 \\ d=2 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} 2a_1+3 \cdot 2=16 \\ d= 2 \end{array} \right\}
\left. \begin{array}{rcl} a_1=5 \\ d= 2 \end{array} \right\}

Las edades de los hermanos serán 5, 7, 9, 11

5 comentarios to “Problemas de progresiones aritméticas III”

  1. so said

    estan muy interesantes estos situaciones problemáticas porque hacen pensar bastante a los chicos.

  2. danistyle said

    muy bueno, gracias me ha servido de mucho gRAcias a ustedes podemos entrenarnos mas menos mal qUe hay gente como ustedes GRACIAS de verdad

  3. sergio sanchez said

    grax

  4. Petronila said

    Muchas gracias gente guapa:)

  5. Matesfacil said

    Ejercicios resueltos de progresiones

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