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Blog dedicado a las matemáticas de secundaria

Ecuaciones exponenciales. Igualación de base

Posted by wgs84 en Martes, 4 noviembre, 2008

La función exponencial es:

f(x)=a^x

donde aes un número positivo distinto de uno. Como consecuencia de esto, la función exponencial es “simpre positiva”. a^x  > 0 \forall x \in R

Una  ecuación exponencial, por lo tanto, es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

El método que vamos a ver en esta entrada es el de igualación de base. Se trata de conseguir la misma base a ambos lados del igual. Una vez conseguido esto, se igualan los exponentes dando lugar a una ecuación algebraica.

  1. 2^{x-3}= 128.
    Descomponemos en factores primos 128 y la ecuación nos queda 2^{x-3}=2^7 Ya tenemos las bases iguales.
    Igualando los exponenes nos queda la ecuación algebraica x-3=2 y por lo tanto x= 5
  2. 5^{\frac{x+2}{3}}= \frac{1}{125}.
    Hay que tenr en cuenta que: \dfrac{1}{a^n}=a^{-n}
    La base a conseguir a ambos lados del igual será 5.5^{\frac{x+2}{3}}= \dfrac{1}{5^3}=5^{-3}.
    Igualando exponentes nos queda: \dfrac{x+2}{3}=-3 x= -11
  3. 9^{x-2}=\sqrt{3^x}
    Hay que tener en cuenta que \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}
    {3^2}^{(x-2)}= 3^{\frac{x}{2}}
    3^{2x-4}= 3^{\frac{x}{2}}
    2x-4=\frac{x}{2}
    x= \dfrac{8}{3}
  4. 7^{x^2-5x+6}=1

    Como cualquier número elevado a cero es igual a 1 podemos escribir 7^{x^2-5x+6}=7^0
    La ecuación algebraica es x^2-5x+6=0 cuyas soluciones son x= 2, x= 3

Ejercicios propuestos:

  • 3^{5x-3}= \left ( \dfrac{1}{27} \right )^{2x+5}
    Solución
    3^{5x-3}= {3^{-3}}^{(2x+5)}
    5x-3=-6x-15
    11x=-12
    x=-\dfrac{12}{11}
  • \left ( \dfrac{1}{16} \right )^{3-x}= \sqrt[5]{8^{x-3}}
    Solución
    {2^{-4}}^{(3-x)}={2^3}^{\frac{x-3}{5}}
    -12+4x=\dfrac{3x-9}{5}
    -60+20x= 3x-9
    {17x= 51}
    x= 3
  • \sqrt[x+15]{2^{x-5}}= \dfrac{1}{4} \sqrt[x-5]{8^{x+5}} “NUEVO”
  • \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x-1}=\left ( \dfrac{9}{4} \right )^{2x-3} “NUEVO”

10 comentarios to “Ecuaciones exponenciales. Igualación de base”

  1. Javi said

    Buenas,

    me encantan este tipo de cálculos matemáticos. Te ayudan a ejercitar el cerebro, a recordar conceptos y afianzan los que ya tenemos. Mis soluciones son estas:

    1er. ejecicio: x= -12/11

    2do. ejercicio: x= -51

    ¿He aprobado?😛

    Saludos!.

  2. Javi said

    upss! Me comí el 17 en el segundo ejercicio. Eso me pasa por ‘entregar’ antes de repasar….

    La próxima estaré más atento.

    Saludos!!

  3. […] grado son y Deshacemos el cambio de variable: entonces, . En este caso no podemos aplicar la igualación de base y lo que hacemos es tomar logaritmos en base 2 a ambos lados del igual: […]

  4. andrea said

    mi pregunta es la siguiente como hago para hacer este ejercicio como hago para hace 2 ke lleva como exponente x y esta = 7

  5. wgs84 said

    Pues tomando logaritmos a mabos lados \log 2^x =\log 7
    Usando las propiedades de los logaritmos $latexx \cdot \log 2= log 7$
    Y queda $latexx= \dfrac{\log 7}{\log 2}$

  6. wgs84 said

    Pues tomando logaritmos a mabos lados \log 2^x =\log 7
    Usando las propiedades de los logaritmos x \cdot \log 2= \log 7
    Y queda x= \dfrac{\log 7}{\log 2}.

  7. andrea said

    ummmm pero es ke no es de logaritmo si no de ecuacion exponencias cuando las vases no son iguales.. porfix ayudenme

  8. wgs84 said

    Sólo se puede hacer así

  9. lili said

    este mejor nada no le entiendo ami profesor y ak en tendi todo ash mejor ya no boy al cole y estudio des d la web jiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii =D

  10. johnie said

    estos ejercicios son relamente facilisimos suban algo dificil q dificulte a alguien xfa vor

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